Fiche de révision : Calcul des limites

📋 Plan du Cours

1. Continuité et dérivabilité
2. Substitution et formes indéterminées
3. Factorisation et identités remarquables
4. Racines et discriminant
5. Méthode de rédaction
6. Technique du jeu des Indiens
7. Rationalisation par le conjugué

📖 1. Continuité et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : La limite de la fonction en ce point est égale à sa valeur en ce point.
• Dérivabilité : Une fonction est dérivable en un point si la limite du quotient $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lorsque x tend vers a est un nombre réel fini.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La continuité en a se vérifie par l’égalité $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

💡 Astuce mémo

Continuité : limite = valeur ; dérivabilité : quotient différentiel fini

📖 2. Substitution et formes indéterminées

★ À maîtriser

• Pour calculer une limite, on commence par remplacer toutes les occurrences de x par la valeur vers laquelle x tend.

• Les principales formes indéterminées présentées sont $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$, $-\infty+\infty$ et $+\infty-\infty$.

📌 Lorsqu’une substitution donne une forme indéterminée, il faut transformer l’expression avant de poursuivre le calcul de la limite.

• Pour calculer une limite par substitution, on remplace toutes les occurrences de la variable par la valeur donnée, puis on calcule séparément le numérateur et le dénominateur.

📌 Une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ne donne pas directement la valeur de la limite, tandis qu’une fraction dont le dénominateur est non nul peut être calculée par substitution directe.

Compléments

• Pour $\lim_{x\to -3}\frac{x^2-10x+12}{x+3}$, la substitution donne un numérateur nul et un dénominateur nul, donc la forme obtenue est $\frac{0}{0}$.

• Pour $\lim_{x\to -2}\frac{x^2+5\sqrt{x^2+3x}-6}{x^2-4}$, la substitution donne $\frac{0}{0}$, ce qui impose une transformation algébrique avant le calcul final.

💡 Astuce mémo

Substituer → détecter l’indétermination → transformer

📖 3. Factorisation et identités remarquables

★ À maîtriser

📌 La factorisation par facteur commun consiste à mettre en évidence le facteur présent dans plusieurs termes, par exemple $ab+ac=a(b+c)$.

📐 Formule — La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Compléments

📐 Formule — La différence de deux cubes se factorise selon $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

📐 Formule — La somme de deux cubes se factorise selon $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

• Les expressions $x^2-16$ et $x^2-25$ se factorisent respectivement en $(x-4)(x+4)$ et $(x-5)(x+5)$.

💡 Astuce mémo

F-I : Factoriser puis utiliser les Identités remarquables

📖 4. Racines et discriminant

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Un trinôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif n’a pas de racine réelle.

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les deux racines d’un trinôme $ax^2+bx+c$ sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Lorsque $\Delta=0$, le trinôme possède une racine réelle double et peut être factorisé à partir de cette racine.

• Pour le trinôme $x^2-6x+8$, le discriminant vaut $\Delta=4$ et les racines sont 2 et 4, donc le trinôme se factorise en $(x-2)(x-4)$.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif → deux racines → factorisation du trinôme

📖 5. Méthode de rédaction

★ À maîtriser

• Pour rédiger une limite, on écrit la limite initiale, effectue la substitution, transforme l’expression si nécessaire, simplifie les facteurs communs, puis remplace finalement la variable par sa valeur.

📌 Lorsqu’un facteur commun apparaît au numérateur et au dénominateur, il peut être simplifié avant la substitution finale, à condition de conserver une rédaction par étapes.

Compléments

📌 Après simplification complète d’une expression, il ne faut plus conserver le symbole de limite si la variable a disparu.

• Pour une expression comme $\frac{5x^2-20}{x^2-4}$, on factorise le numérateur en $5(x-2)(x+2)$ et le dénominateur en $(x-2)(x+2)$ avant de simplifier le facteur commun.

💡 Astuce mémo

Limite → substitution → transformation → simplification → résultat

📖 6. Technique du jeu des Indiens

★ À maîtriser

• Pour une limite d’un polynôme du second degré sous forme indéterminée, on écrit la limite, on repère la forme indéterminée, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie avant de remplacer la variable.

📌 Dans une factorisation de type $x^2-a^2$, on utilise l’identité remarquable $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ afin de faire apparaître un facteur commun et de le simplifier.

Compléments

• Pour le polynôme $x^2-7x$, le facteur commun est $x$ et l’expression se factorise en $x(x-7)$.

💡 Astuce mémo

Écrire la limite, repérer la forme indéterminée, factoriser puis simplifier

📖 7. Rationalisation par le conjugué

🔑 Notions clés & Définitions

• Expressions conjuguées : Ces deux expressions dont le produit donne l’identité remarquable $a^2-b^2$.

★ À maîtriser

📌 Pour rationaliser une expression contenant une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur.

📐 Formule — Le produit de deux expressions conjuguées vérifie $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$.

Compléments

• Pour rationaliser le dénominateur $\sqrt{x^2+5}-3$, on le multiplie par son conjugué $\sqrt{x^2+5}+3$, ce qui fait apparaître la différence de carrés.

• Dans l’exemple étudié, après rationalisation et simplification, la limite se réduit à $\frac{7}{24}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par le conjugué fait apparaître une identité remarquable et permet la simplification

📊 Tableaux de synthèse

Valeur du discriminant

Étapes du calcul d’une limite