Fiche de révision : Calcul différentiel : dérivées fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Dérivée de 1/x
2. Dérivées usuelles
3. Opérations sur les dérivées
4. Dérivée somme et constante
5. Dérivée produit
6. Dérivée quotient
7. Composition affine

📖 1. Dérivée de 1/x

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction g : x ↦ 1/x : Fonction définie sur IR* (IR sans zéro), associant à chaque x ≠ 0 son inverse. AUTEUR (date) : définition de la fonction dérivée de g.
• Taux de variation : Expression (g(a+h) - g(a)) / h, permettant de mesurer la variation moyenne de g entre a et a+h lorsque h tend vers 0. AUTEUR (date) : calcul du taux de variation pour g.
• Limite du taux de variation : Limite lorsque h → 0 du taux de variation, qui donne la dérivée g'(x). Ici, lim_{h→0} -1 / a(a+h) = -1 / a². AUTEUR (date) : limite du taux de variation donnant g'(x) = -1/x².
• Dérivabilité de 1/x sur IR* : La fonction 1/x est dérivable sur IR* (ensemble des réels sauf zéro), avec dérivée g'(x) = -1/x². AUTEUR (date) : propriété de dérivabilité de 1/x.
• Notion de limite : La limite du taux de variation lorsque h → 0 permet de définir la dérivée en un point. AUTEUR (date) : limite du taux de variation pour obtenir g'(x).

📝 Points essentiels

• La fonction g : x ↦ 1/x est dérivable sur IR*.
• La dérivée de g se calcule en utilisant la limite du taux de variation :
  $g'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a+h) - g(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h}$
• En simplifiant, on obtient :
  $\frac{(a - (a+h))}{a(a+h)} \times \frac{1}{h} = -\frac{h}{a(a+h)} \times \frac{1}{h} = -\frac{1}{a(a+h)}$
• La limite lorsque h → 0 donne :
  $g'(a) = -\frac{1}{a^2}$
• La dérivée générale de 1/x est donc :
  $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$
• La fonction 1/x est dérivable sur IR*, mais pas en 0, où elle n'est pas définie ni dérivable.

💡 À retenir

La dérivée de la fonction g : x ↦ 1/x est g'(x) = -1/x², ce qui reflète la rapidité avec laquelle la fonction décroît en fonction de x. La limite du taux de variation en h → 0 permet d'obtenir cette dérivée, en excluant le point zéro où la fonction n'est pas définie.

📖 2. Dérivées usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une constante (sans auteur spécifique) : La dérivée d'une fonction constante $k \in \mathbb{R}$ est nulle, c'est-à-dire $f(x) = k \Rightarrow f'(x) = 0$.

• Dérivée de $x$ (sans auteur spécifique) : La dérivée de la fonction identité $f(x) = x$ est 1, soit $f'(x) = 1$.

• Dérivée de $x^m$ (sans auteur spécifique) : Pour tout réel $m$, la dérivée de $x^m$ est $m x^{m-1}$ multipliée par une constante $k$ si la fonction est de la forme $f(x) = x^m \times k$.

• Dérivée de $1/x$ (référence à section 1) : La dérivée de la fonction $g(x) = 1/x$ est $-1/x^2$.

• AUTEUR (PERROUX, 1960) : La formule générale pour la dérivée de $x^m$ est $m x^{m-1}$, ce qui constitue une règle fondamentale pour les puissances.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une constante est toujours nulle, ce qui reflète l'absence de variation de la fonction constante.

• La dérivée de $x$ étant 1, la fonction identité est la base pour la dérivation de fonctions plus complexes.

• La formule $f'(x) = m x^{m-1}$ est essentielle pour dériver toute puissance de $x$, qu'elle soit positive, négative ou fractionnaire.

• La dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$, ce qui est crucial pour manipuler des fonctions rationnelles.

• La liste des dérivées usuelles inclut également celles de fonctions trigonométriques : $\cos(x)$ et $\sin(x)$, avec leurs dérivées respectives $-\sin(x)$ et $-\cos(x)$.

💡 À retenir

Les dérivées usuelles forment la base du calcul différentiel, permettant de dériver rapidement des fonctions courantes et d'établir des règles pour des opérations plus complexes. La formule de la dérivée de $x^m$ est particulièrement fondamentale pour toutes les dérivations de puissances.

📖 3. Opérations sur les dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de la dérivée de la somme : Si f et g sont dérivables sur un intervalle I, alors la fonction h définie par h(x) = f(x) + g(x) est dérivable sur I, et sa dérivée est donnée par h'(x) = f'(x) + g'(x).
  AUTEUR (date inconnue) : cette propriété permet de calculer la dérivée d'une somme en additionnant simplement les dérivées.

• Dérivée d'une fonction constante multipliée par une fonction : Si c est une constante et f une fonction dérivable, alors la dérivée de la fonction cf est donnée par (cf)' = c f'.
  AUTEUR (date inconnue) : cette règle facilite la dérivation de fonctions multipliées par une constante.

• Propriété du produit : Si f et g sont dérivables, alors la dérivée du produit h(x) = f(x) × g(x) est h'(x) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x).
  AUTEUR (date inconnue) : cette formule est essentielle pour différencier le produit de deux fonctions.

• Propriété du quotient : Si g(x) ≠ 0, alors la dérivée du quotient h(x) = f(x) / g(x) est h'(x) = (f'(x) g(x) - g'(x) f(x)) / g(x)².
  AUTEUR (date inconnue) : elle permet de différencier un quotient de fonctions.

• Composition par une fonction affine : Si f est dérivable sur I et g(x) = ax + b, alors la composition f o g est définie par (f o g)(x) = f(ax + b). La dérivée se calcule via la règle de la chaîne.
  AUTEUR (date inconnue) : cette opération est fondamentale pour traiter des fonctions composées.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme de fonctions est la somme de leurs dérivées, ce qui simplifie le calcul de dérivées complexes en décomposant en opérations plus simples.
• La règle de la constante multiplicative indique que multiplier une fonction par une constante c ne change pas la forme de sa dérivée, sauf par un facteur c.
• La formule du produit dérive de la règle de Leibniz, permettant de différencier efficacement le produit de deux fonctions.
• La règle du quotient nécessite que g(x) ≠ 0 pour éviter la division par zéro, et elle est utilisée pour différencier des ratios.
• La composition avec une fonction affine g(x) = ax + b permet d'appliquer la règle de la chaîne, en différenciant une fonction composée.

💡 À retenir

Les opérations sur les dérivées (somme, produit, quotient, composition) suivent des règles précises qui facilitent le calcul de dérivées complexes en décomposant en opérations simples, tout en respectant les propriétés fondamentales de la différentiation.

📖 4. Dérivée somme et constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de la dérivée de la somme : Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction h définie par h(x) = f(x) + g(x) est dérivable sur I, et sa dérivée est donnée par :
  $h'(x) = f'(x) + g'(x)$
  (section 3)

• Dérivée d'une fonction constante multipliée par une fonction : Si c est une constante et f une fonction dérivable, alors la dérivée de c·f(x) est :
  $(c f)'(x) = c f'(x)$
  (section 3)

• Propriété de la dérivée du produit : Pour deux fonctions dérivables f et g, la dérivée du produit est :
  $(f g)'(x) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x)$
  (section 5)

• Exemple de dérivée du produit avec racine et puissance : Si g(x) = 4x² √x, alors :
  $g'(x) = 12 x^2 \sqrt{x} + 2 x^2 \sqrt{x} = 14 x^2 \sqrt{x}$
  (calcul détaillé dans le contenu source)

• Dérivée d'une fonction constante : La dérivée d'une constante k est nulle :
  $(k)' = 0$
  (section 2)

📝 Points essentiels

• La dérivée de la somme de deux fonctions dérivables est la somme de leurs dérivées.
• La dérivée d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la dérivée de la fonction.
• La propriété du produit permet de dériver le produit de deux fonctions en utilisant la formule : (f g)' = f'g + fg'.
• Lorsqu'on dérive une expression comme g(x) = 4x² √x, on utilise la règle du produit et la dérivée de x^m (avec m = 2 + 1/2 = 5/2).
• La dérivée d'une constante est toujours nulle, ce qui est une notion fondamentale pour simplifier les calculs.

💡 À retenir

La dérivée d'une somme ou d'un produit de fonctions peut être calculée en utilisant des propriétés simples : la somme des dérivées pour la somme, et la formule du produit pour le produit. La constante multiplie la dérivée de la fonction.

📖 5. Dérivée produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de la dérivée du produit : Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la dérivée du produit f(x)g(x) est donnée par
  $(f g)'(x) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x)$
  (source : section 4)

• Exemple de dérivée du produit : Pour F(x) = x² cos(x), on obtient
  $F'(x) = 2x \cos(x) - \sin(x) x^2$
  illustrant la règle du produit.

• Dérivée de fonctions composées par une affine : Si g(x) = ax + b, alors la dérivée de la composé f∘g est donnée par
  $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times a$
  (source : section 7)

📝 Points essentiels

• La propriété du produit permet de différencier le produit de deux fonctions en utilisant la somme de deux termes : la dérivée de la première fois la seconde, plus la dérivée de la seconde fois la première.
• La règle s'applique même si l'une des fonctions est une constante, ce qui donne une dérivée simple : $(c f)' = c f'$.
• Exemple illustratif : si $f(x) = 5x^2$, alors $f'(x) = 10x$.

💡 À retenir

La dérivée du produit de deux fonctions est la somme de la dérivée de la première multipliée par la seconde, et de la première multipliée par la dérivée de la seconde, ce qui facilite la différenciation de produits complexes.

📖 6. Dérivée quotient

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de g(x) = 1/x : AUTEUR (source) montre que g est dérivable sur IR* et que sa dérivée est g'(x) = -1/x². La démonstration utilise le taux de variation et la limite lorsque h tend vers 0, aboutissant à cette formule.
• Composition f o g(x) = f(g(x)) : Opération consistant à appliquer une fonction f à l'image d'une autre fonction g, où g est une fonction affine g(x) = ax + b.
• Fonction affine g(x) = ax + b : Fonction de la forme linéaire + constante, dérivable sur IR, avec dérivée g'(x) = a.
• Propriété de la dérivée du quotient : Si g(x) ≠ 0, alors h(x) = f(x)/g(x) est dérivable et h'(x) = (f'(x)g(x) - g'(x)f(x))/g(x)², selon AUTEUR (source).
• Exemple de composition inverse : g o f(x) = 2√x + 5, illustrant la composition de fonctions f et g.

📝 Points essentiels

• La dérivée de g(x) = 1/x est obtenue en utilisant la limite du taux de variation : lim (h→0) [(g(a+h) - g(a))/h] = -1/a².
• La formule de la dérivée du quotient est essentielle pour différencier des fonctions rationnelles, notamment lorsque g(x) ≠ 0. Elle s’écrit :
  $(f/g)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}$
• La composition f o g(x) = f(ax + b) permet de simplifier la dérivation en utilisant la règle de la chaîne, en particulier pour des fonctions composées avec une fonction affine g.
• La dérivée de fonctions usuelles comme x^m, √x, sin(x), cos(x), et leur comportement lors de compositions ou opérations (somme, produit, quotient).
• La propriété de dérivation du produit : (f g)' = f' g + g' f, et du quotient : (f/g)' = (f' g - g' f)/g², sont fondamentales pour manipuler des expressions différentiables.

💡 À retenir

La dérivée du quotient d’une fonction par une fonction non nulle se calcule à l’aide de la formule $(f/g)' = (f'g - g'f)/g^2$, en utilisant la règle de la dérivée du quotient. La composition avec une fonction affine facilite la différentiation de fonctions composées.

📖 7. Composition affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme g(x) = ax + b, où a et b sont des constantes réelles. (source : définition standard)
• Composition de fonctions : Fonction obtenue en appliquant une fonction f à une autre fonction g, notée (f ∘ g)(x) = f(g(x)). (source : définition générale)
• Dérivée de la composition (règle de la chaîne) : Si f est dérivable en g(x) et g est dérivable en x, alors (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x). (source : rappel classique)

📝 Points essentiels

• La composition affine consiste à composer une fonction dérivable f avec une fonction affine g(x) = ax + b, ce qui donne (f ∘ g)(x) = f(ax + b).
• La règle de dérivation pour la composition affine s'applique : (f ∘ g)'(x) = f'(ax + b) × a, où a est la pente de g(x).
• Exemple : si F(x) = √x et g(x) = 2x + 5, alors (F ∘ g)(x) = √(2x + 5). La dérivée est (F ∘ g)'(x) = (1 / 2√(2x + 5)) × 2 = 1 / √(2x + 5).
• La composition inverse g ∘ f(x) = g(f(x)) est aussi une opération courante, avec une dérivée donnée par la règle de la chaîne.
• La composition affine permet de simplifier le calcul de dérivées en transformant la variable d'une fonction par une fonction affine, facilitant ainsi l'application de la règle de la chaîne.

💡 À retenir

La composition affine consiste à appliquer une fonction dérivable à une fonction affine, et sa dérivée se calcule en multipliant la dérivée de la fonction par le coefficient de l'affine, conformément à la règle de la chaîne.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la dérivée de $1/x$ avec celle de $x$ ou d’autres fonctions puissances.
2. Oublier que la fonction $1/x$ n’est pas dérivable en 0.
3. Appliquer incorrectement la règle de la somme ou du produit, notamment en oubliant de dériver chaque terme.
4. Confondre la dérivée d’une constante (0) avec celle d’une fonction variable.
5. Mauvaise utilisation de la règle du quotient, notamment en oubliant que g(x) ≠ 0.
6. Confusion entre la dérivée d’une puissance positive et négative, ou erreur dans le calcul de $m x^{m-1}$.
7. Oublier d’appliquer la règle de la chaîne pour les compositions avec fonctions affines.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la dérivée à partir du taux de variation limite (Section 1).
2. Savoir que la dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$ et comprendre la limite qui mène à cette formule.
3. Maîtriser la dérivée des fonctions usuelles : constantes, identité, puissances $x^m$, trigonométriques $\sin$, $\cos$.
4. Appliquer la propriété de la dérivée de la somme : $(f+g)'=f'+g'$.
5. Appliquer la propriété de la dérivée d’une constante multipliée : $(c f)'= c f'$.
6. Utiliser la formule du produit : $(f g)'=f' g + g' f$.
7. Utiliser la formule du quotient : $\left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{f' g - g' f}{g^2}$.
8. Appliquer la règle de la chaîne pour la dérivée d’une composition avec une fonction affine $g(x)=ax+b$.
9. Savoir que la dérivée d’une constante est nulle.
10. Comprendre que la dérivée de $1/x$ n’est pas définie en 0.
11. Être capable de dériver une expression comme $4x^2 \sqrt{x}$ en utilisant la règle du produit et la formule de dérivation des puissances.
12. Connaître la référence de PERROUX (1960) pour la formule de dérivée de $x^m$.