Fiche de révision : Calcul littéral et proportionnalité

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Diviseurs communs et multiples communs
3. Nombres premiers et décomposition
4. Applications du PGCD et du PPCM
5. Opérations sur les nombres relatifs
6. Priorités opératoires et calculs
7. Expressions littérales
8. Développement et distributivité
9. Situations de proportionnalité
10. Notion de ratio
11. Racines carrées et théorème de Pythagore

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de deux entiers naturels a et b, avec b ≠ 0, détermine un quotient entier q et un reste r tels que $a=bq+r$ et $r<b$.

📝 Points essentiels

📌 Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a=bq pour un entier q, b est un diviseur de a et a est un multiple de b.

📖 2. Diviseurs communs et multiples communs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur commun : Un nombre d est un diviseur commun de deux entiers a et b lorsque a et b sont tous deux divisibles par d.
• PGCD : Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun non nul.
• PPCM : Le PPCM de deux entiers est leur plus petit multiple commun non nul.

💡 Astuce mémo

PGCD : plus grand diviseur commun ; PPCM : plus petit multiple commun non nul.

📖 3. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

📖 4. Applications du PGCD et du PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction a/b est irréductible lorsque le seul diviseur commun de a et b est 1.

📝 Points essentiels

• Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie les facteurs communs.

📖 5. Opérations sur les nombres relatifs

📝 Points essentiels

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde leur signe commun et on additionne leurs distances à zéro.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on garde le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et on soustrait les deux distances.

• Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé, selon $a-b=a+\operatorname{opposé}(b)$.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne les distances ; signes contraires : on les soustrait.

📖 6. Priorités opératoires et calculs

📝 Points essentiels

📌 Lorsque des opérations ont la même priorité, elles se calculent de gauche à droite.

📖 7. Expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Une expression dans laquelle certains nombres sont remplacés par des lettres.

📝 Points essentiels

📌 Dans une expression littérale, le signe de multiplication peut être supprimé lorsqu’il est placé devant une lettre ou une parenthèse.

• Pour réduire une expression littérale, on multiplie les variables identiques en utilisant les puissances et on additionne les termes de même nature.

• Pour calculer la valeur d’une expression littérale, on remplace chaque lettre par sa valeur numérique, puis on effectue les opérations en respectant les priorités.

📖 8. Développement et distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Transformer un produit en une somme.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, la distributivité simple s’écrit $k \times a + k \times b = k(a+b)$.

📌 Une parenthèse précédée du signe − peut être supprimée en changeant le signe de chacun de ses termes.

📖 9. Situations de proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs sont telles que l’une s’obtient en multipliant ou en divisant l’autre par un même nombre non nul.

📝 Points essentiels

• Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on vérifie soit l’égalité de tous les quotients correspondants, soit l’égalité des produits en croix.

📌 Sur un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l’origine du repère.

💡 Astuce mémo

Proportionnalité : droite passant par l’origine ; non-proportionnalité : points qui ne suivent pas cette droite.

📖 10. Notion de ratio

🔑 Notions clés & Définitions

• Ratio : Deux nombres $a$ et $b$ sont dans le ratio $c:d$, avec $c$ et $d$ strictement positifs, si $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

📖 11. Racines carrées et théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Le nombre positif dont le carré vaut $a$.

📝 Points essentiels

📌 Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors l’hypoténuse $BC$ vérifie $BC^2=AC^2+AB^2$.

• 🔄 Pour calculer une longueur inconnue d’un triangle rectangle :
  1. appliquer le théorème de Pythagore
  2. remplacer les longueurs connues
  3. isoler le carré de la longueur recherchée
  4. prendre sa racine carrée