Fiche de révision : Calcul littéral et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire du calcul littéral
2. Développer et réduire une expression
3. Factoriser par facteur commun
4. Identités remarquables
5. Fractions algébriques
6. Translation et caractéristiques vectorielles
7. Égalité et représentants vectoriels
8. Somme et différence de vecteurs

📖 1. Vocabulaire du calcul littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : le résultat de l’addition de deux termes, notée A + B
• Différence : le résultat de la soustraction de deux termes, notée A - B, et soustraire un terme revient à ajouter son opposé : A + (-B)
• Produit : le résultat de la multiplication de deux facteurs, notée A × B
• Quotient : le résultat de la division de deux nombres ou expressions algébriques, noté A/B avec B ≠ 0

💡 Astuce mémo

Somme et différence ajoutent ou soustraient ; produit et quotient multiplient ou divisent.

📖 2. Développer et réduire une expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : transformer une expression algébrique en somme ou en différence

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité simple s’écrit $k(a+b)=ka+kb$ et la double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Compléments

• En développant et en réduisant $C=(2x+3)(3x-5)$, on obtient $C=6x^2-x-15$.

💡 Astuce mémo

Distribuer, supprimer les parenthèses, puis regrouper les termes semblables.

📖 3. Factoriser par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : transformer une expression algébrique en produit

★ À maîtriser

📌 Pour factoriser par facteur commun, on recherche un facteur commun qui peut être une lettre, un nombre, une lettre et un nombre, ou une parenthèse.

Compléments

• L’expression $20x^2-4x-8$ se factorise par le facteur commun 4 en $4(5x^2-x-2)$.

💡 Astuce mémo

Repérer le facteur commun comme un élément placé devant toute la parenthèse.

📖 4. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ pour tous nombres a et b.

Compléments

• L’expression $16x^2+16x+4$ se factorise en $(4x+2)^2$ grâce au carré d’une somme.

• L’expression $25x^2-36$ se factorise en $(5x+6)(5x-6)$ grâce à la différence de deux carrés.

💡 Astuce mémo

C-D-D : carré d’une somme, carré d’une différence, différence de deux carrés.

📖 5. Fractions algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction au même dénominateur : transformer une somme de deux écritures fractionnaires en une seule écriture fractionnaire

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour b et d non nuls, on a $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{bd}=\frac{ad+cb}{bd}$.

• Dans $\frac{5x}{1}-\frac{3x}{2x-1}$, la valeur interdite est $x=\frac12$ car le dénominateur 2x - 1 doit être non nul.

💡 Astuce mémo

Dénominateurs communs, produits croisés, réduction, valeurs interdites.

📖 6. Translation et caractéristiques vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : fait glisser une figure selon la direction de la droite (AB), dans le sens de A vers B et sur une longueur AB
• Vecteur : caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur, appelée norme et notée ||AB|| pour le vecteur AB

📝 Points essentiels

• Dans un carré ABCD de côté 3 cm, le vecteur AB a pour direction (AB), pour sens A vers B et pour norme 3 cm.

💡 Astuce mémo

DSN : direction, sens, norme.

📖 7. Égalité et représentants vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité de vecteurs : ont la même direction, le même sens et la même norme, c’est-à-dire s’ils définissent la même translation
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires ; l’opposé de AB est BA.
• Vecteur nul : le vecteur AA, noté 0, qui n’a ni direction ni sens et dont la norme est nulle

📝 Points essentiels

📌 Pour quatre points A, B, C et D, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ est équivalent à ABDC parallélogramme.

📌 Pour trois points A, B et I, $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ est équivalent à I milieu de [AB].

💡 Astuce mémo

Même direction, même sens et même norme : vecteurs égaux ; sens contraire : vecteurs opposés.

📖 8. Somme et différence de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Soustraction de vecteurs : vérifie $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$

📝 Points essentiels

📌 La relation de Chasles définit l’addition vectorielle par $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📌 Lorsque deux vecteurs ont la même origine, la règle du parallélogramme donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ lorsque ABDC est un parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Chasles enchaîne les vecteurs ; le parallélogramme additionne deux vecteurs de même origine ; soustraire revient à ajouter l’opposé.

📊 Tableaux de synthèse

Transformations algébriques