QCM : Calcul littéral et vecteurs (22 questions)

Explication

Une somme est obtenue en additionnant deux termes, ce qui s’écrit $A+B$. L’écriture $A-B$ représente une différence, tandis que les deux autres correspondent à un produit et à un quotient.

Explication

Soustraire $B$ revient à ajouter son opposé, donc $A-B=A+(-B)$. Les autres écritures modifient l’opération ou le signe d’un terme différent.

Explication

Le résultat d’une multiplication de deux facteurs est appelé un produit. Une somme résulte d’une addition, une différence d’une soustraction et un quotient d’une division.

Explication

Un quotient $A/B$ est défini lorsque le dénominateur $B$ est différent de zéro. La valeur du numérateur peut, elle, être nulle.

Explication

Développer une expression consiste à la transformer en une somme ou une différence. La transformation en produit correspond à la factorisation, et non au développement.

Explication

La double distributivité s’applique à deux parenthèses et produit les quatre termes $ac$, $ad$, $bc$ et $bd$. L’égalité $k(a+b)=ka+kb$ correspond à la distributivité simple.

Explication

Factoriser consiste à écrire une expression sous la forme d’un produit de facteurs. Transformer une expression en somme ou en différence relève du développement.

Explication

La factorisation par facteur commun commence par la recherche d’un élément commun aux différents termes, comme un nombre, une lettre ou une parenthèse. On le met ensuite en évidence dans un produit.

Explication

Le carré d’une somme contient le terme médian positif $2ab$, ce qui donne $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$. L’expression $a^2-2ab+b^2$ correspond au carré d’une différence, tandis que $a^2-b^2$ correspond à une différence de deux carrés.

Explication

L’expression est une différence de deux carrés, car $25x^2-36=\left(5x\right)^2-6^2$. Elle se factorise donc en produit de la somme et de la différence des deux termes, tandis que le carré d’une différence produirait un terme médian.

Explication

Réduire au même dénominateur consiste à regrouper une somme de deux écritures fractionnaires en une seule fraction. La transformation en produit de facteurs relève de la factorisation, qui répond à une autre opération algébrique.

Explication

Chaque numérateur est multiplié par le dénominateur de l’autre fraction, ce qui donne $\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{bd}=\frac{ad+cb}{bd}$. L’écriture $\frac{a+c}{b+d}$ additionne séparément les numérateurs et les dénominateurs, ce qui ne conserve pas la valeur de la somme.

Explication

Le dénominateur $2x-1$ doit être non nul ; en résolvant $2x-1=0$, on obtient $x=\frac{1}{2}$. La valeur $x=0$ annule le numérateur, mais elle ne rend aucun dénominateur nul.

Explication

Une translation de $A$ vers $B$ suit la droite $(AB)$, est orientée de $A$ vers $B$ et a pour déplacement la longueur $AB$. La direction désigne la droite porteuse, tandis que le sens précise l’orientation sur cette droite.

Explication

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur, appelée norme. L’origine et l’extrémité peuvent servir à le représenter, mais elles ne constituent pas les trois caractéristiques fondamentales demandées ici.

Explication

Deux vecteurs égaux définissent la même translation et possèdent donc la même direction, le même sens et la même norme. Des vecteurs de même direction et de même norme peuvent toutefois avoir des sens opposés, ce qui les rend opposés plutôt qu’égaux.

Explication

L’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ est équivalente au fait que $ABDC$ soit un parallélogramme. L’ordre des sommets est essentiel : écrire $ABCD$ ne correspond pas à cette égalité vectorielle.

Explication

La relation $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ signifie que les deux déplacements successifs sont identiques, ce qui caractérise le milieu de $[AB]$. Les vecteurs ont ici le même sens le long du trajet de $A$ vers $B$, et non des sens opposés.

Explication

Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires ; l’opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$. Des sens contraires ne suffisent donc pas si la direction ou la longueur diffère.

Explication

La relation de Chasles enchaîne le déplacement de $A$ vers $B$ avec celui de $B$ vers $C$, donnant le déplacement de $A$ vers $C$. La règle du parallélogramme correspond plutôt à deux vecteurs ayant la même origine.

Explication

Dans $ABDC$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont la même origine $A$, et leur somme est la diagonale $\overrightarrow{AD}$. Une somme comme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ relève de l’enchaînement de deux vecteurs par la relation de Chasles.

Explication

Soustraire $\vec{v}$ revient à ajouter son vecteur opposé, d’où $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$. Remplacer la différence par une somme des deux vecteurs conserve le sens de $\vec{v}$ et ne donne donc pas la même opération.