QCM : Géométrie du plan et de l’espace (35 questions)

Explication

Le plan réel est constitué de tous les couples de nombres réels, ce qui se note $\mathbb{R}^2$. L’ensemble comportant trois composantes décrit l’espace $\mathbb{R}^3$, et non le plan.

Explication

Un point de $\mathbb{R}^3$ est un triplet de nombres réels et possède donc trois coordonnées. Un point de $\mathbb{R}^2$ est, lui, décrit par deux coordonnées.

Explication

Dans l’approche affine, $E$ est vu comme un ensemble de points, tandis que l’approche vectorielle considère le même ensemble comme un ensemble de vecteurs, noté $\vec E$. La notation distingue donc la nature des objets étudiés, et non leur nombre de coordonnées.

Explication

Une translation de vecteur $(a,b)$ transforme $(x,y)$ en $(x+a,y+b)$, donc $A'=(2+3,-1+4)=(5,3)$. Soustraire les composantes ou les combiner par multiplication ne correspond pas à la règle de translation.

Explication

Par définition, le vecteur qui translate $A$ sur $B$ est $\overrightarrow{AB}$, et il est unique. Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ réalise le déplacement inverse, tandis que la somme des deux vecteurs est nulle.

Explication

Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur, cette dernière étant égale à la distance $AB$. La direction indique une famille de parallèles, tandis que le sens distingue le déplacement de $A$ vers $B$ de celui de $B$ vers $A$.

Explication

L’addition vectorielle s’effectue composante par composante : $(2+4,-3+5)=(6,2)$. Le produit des composantes ou la combinaison de leurs différences ne définit pas la somme de deux vecteurs.

Explication

L’opposé d’un vecteur s’obtient en changeant le signe de chacune de ses composantes, donc $-\vec u=(2,-5)$. Cette règle garantit que $\vec u+(-\vec u)=\vec 0$.

Explication

La multiplication par un réel se fait sur chaque composante : $-2(2,-3)=(-4,6)$. Comme le facteur est négatif, le sens du vecteur est inversé, contrairement à une multiplication par un facteur positif.

Explication

La relation de Chasles additionne les déplacements successifs de $A$ vers $B$ puis de $B$ vers $C$, ce qui donne le déplacement direct de $A$ vers $C$. Les autres égalités ne respectent pas l’enchaînement des extrémités et des origines.

Explication

Le produit scalaire se calcule en multipliant les normes des deux vecteurs par le cosinus de l’angle non orienté qui les sépare. Contrairement au produit vectoriel, son résultat est un nombre réel et non un vecteur.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut zéro. Des coordonnées proportionnelles caractérisent plutôt la colinéarité, qui conduit à un produit scalaire de valeur $\pm\|\vec u\|\|\vec v\|$.

Explication

La projection orthogonale est le vecteur appartenant à $D$ obtenu après la projection orthogonale de l’extrémité de $\vec u$ sur cette droite. Une projection parallèle ou le choix d’un vecteur de même norme ne définit pas cette construction.

Explication

Lorsque le vecteur directeur $\vec v$ est unitaire, la projection est le produit scalaire de $\vec u$ par $\vec v$, multiplié par $\vec v$. La formule utilise donc la composante de $\vec u$ selon la direction de $D$, et non sa norme seule.

Explication

Une famille est libre lorsque la relation linéaire donnant le vecteur nul impose que tous les coefficients soient nuls. L’existence d’une relation non triviale caractérise au contraire une famille liée.

Explication

Une famille liée admet une relation linéaire non triviale, c’est-à-dire une combinaison nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls. La condition où tous les coefficients doivent être nuls correspond à une famille libre.

Explication

Une base permet d’écrire chaque vecteur de l’espace d’une manière unique comme combinaison linéaire de ses vecteurs. L’orthogonalité et l’égalité des normes ne sont pas requises pour définir une base.

Explication

Pour une famille de deux vecteurs du plan, être une base est équivalent à être libre. Deux vecteurs colinéaires forment au contraire une famille liée et ne peuvent pas constituer une base du plan.

Explication

Un repère de l’espace exige que les quatre points ne soient pas coplanaires. La non-coplanarité distingue cette condition de celle d’un repère du plan, qui repose sur trois points non alignés.

Explication

Les coordonnées de $\vec u$ dans la base $F$ sont les coefficients de son écriture unique comme combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Elles dépendent donc de la base choisie, contrairement au vecteur lui-même.

Explication

Les coordonnées du point $M$ sont définies comme celles du vecteur position $\overrightarrow{OM}$ dans la base associée au repère. Le vecteur $\overrightarrow{MO}$ a le sens opposé et ne fournit donc pas les coordonnées recherchées.

Explication

Une base orthonormée est formée de vecteurs unitaires qui sont orthogonaux deux à deux. Des vecteurs colinéaires ne peuvent pas constituer une telle base, car ils ne sont pas orthogonaux entre eux.

Explication

Dans le plan, on calcule $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'=3\times4+(-2)\times5=2$. La présence de trois produits correspondrait à la formule utilisée dans l’espace, et non dans le plan.

Explication

Dans l’espace, le produit scalaire additionne les produits des trois coordonnées correspondantes, soit $xx'+yy'+zz'$. L’expression à deux termes est celle du plan et ne tient pas compte de la troisième dimension.

Explication

Le produit vectoriel est un vecteur orthogonal aux deux vecteurs de départ, avec une orientation déterminée par la base directe. Un nombre obtenu à partir de deux vecteurs correspond plutôt au produit scalaire.

Explication

Deux vecteurs colinéaires forment un angle de mesure nulle ou de mesure $\pi$, donc le sinus de cet angle est nul et le produit vectoriel vaut $\vec0$. Il ne produit donc pas un vecteur unitaire dans ce cas.

Explication

La formule du produit vectoriel est $\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',zx'-xz',xy'-yx')$. L’expression opposée dans chaque coordonnée correspondrait au produit vectoriel pris dans l’ordre inverse, qui change de signe.

Explication

Chaque point de la droite s’obtient en ajoutant à $A$ un multiple réel de $\vec u$, ce qui donne $D=\{A+\lambda\vec u\mid\lambda\in\mathbb R\}$. Le paramètre doit être réel et le point de départ reste fixé par $A$.

Explication

La formule utilise les coordonnées de $A$ comme point de départ et celles de $\vec u$ comme coefficients de $\lambda$, d’où $M(\lambda)=(2+3\lambda,-1+4\lambda)$. Intervertir ces rôles modifierait à la fois la position ou la direction de la droite.

Explication

Un plan est paramétré par deux vecteurs directeurs non colinéaires, afin qu’ils déterminent deux directions indépendantes. Deux vecteurs colinéaires engendreraient seulement une droite et ne couvriraient pas un plan.

Explication

Une droite se décrit par un multiple réel de son vecteur directeur, tandis qu’un plan nécessite deux multiples réels associés à deux directions indépendantes. Il faut donc un paramètre pour une droite et deux pour un plan.

Explication

La formule utilise les coordonnées du vecteur directeur dans l’expression $u_2(x-a_1)-u_1(y-a_2)=0$, ce qui donne $4(x-2)-3(y+1)=0$. L’expression avec les coefficients inversés ne respecte pas cette construction et ne correspond pas au vecteur directeur donné.

Explication

Dans une équation $Ax+By+C=0$, le vecteur $(A,B)$ est normal et $(-B,A)$ est directeur, donc on obtient $\vec n=(5,-2)$ et $\vec u=(2,5)$. Confondre ces deux rôles conduirait à utiliser le vecteur normal comme direction de la droite.

Explication

Le produit vectoriel $\vec u\wedge\vec v$ vaut $(-2,-1,1)$ et fournit un vecteur normal au plan. Le vecteur $\vec v$ est une direction contenue dans le plan, tandis qu’un vecteur normal doit être orthogonal aux deux directions.

Explication

Une droite de l’espace est l’intersection de deux surfaces planes décrites par des équations non proportionnelles, alors qu’un plan est décrit par une seule équation cartésienne. Des équations proportionnelles représenteraient la même contrainte et ne caractériseraient pas une droite spatiale.