Flashcards : Géométrie du plan et de l’espace (65 cartes)

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1Question

Qu'est-ce que le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ ?

Réponse

L'ensemble de tous les couples de nombres réels.

2Question

Qu'est-ce que l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ ?

Réponse

L'ensemble de tous les triplets de nombres réels.

3Question

Comment l'approche affine considère-t-elle l'ensemble E ?

Réponse

Comme un ensemble de points.

4Question

Comment l'approche vectorielle considère-t-elle l'ensemble E ?

Réponse

Comme un ensemble de vecteurs noté $\vec E$ .

5Question

Comment la translation de vecteur $\vec u=(a,b)$ transforme-t-elle un point $A=(x,y)$ ?

Réponse

Elle transforme $A$ en $A'=(x+a,y+b)$ .

6Question

Quel vecteur existe entre deux points A et B ?

Réponse

Un unique vecteur $\vec u$ tel que $A+\vec u=B$ .

7Question

Comment se note le vecteur allant de A vers B ?

Réponse

Il se note $\overrightarrow{AB}$ .

8Question

Quelles sont les caractéristiques d'un vecteur $\vec u=\overrightarrow{AB}$ ?

Réponse

Sa direction, son sens de A vers B, et sa longueur $\|\vec u\|$ .

9Question

À quoi correspond la longueur $\|\vec u\|$ d'un vecteur $\vec u=\overrightarrow{AB}$ ?

Réponse

Elle est égale à la distance entre A et B.

10Question

Quelle est la formule de la somme de $\vec u=(a,b)$ et $\vec v=(c,d)$ ?

Réponse

La somme est (a+c,b+d).

11Question

Qu'est-ce que le vecteur nul dans le plan ?

Réponse

Le vecteur nul est $\vec 0=(0,0)$ .

12Question

Quelle proprie9te9 caracte9rise le vecteur nul $\vec 0$ ?

Réponse

Il $ve9rifie \vec u+\vec 0=\vec$ u.

13Question

Comment s'exprime l'oppose9 d'un vecteur $\vec u=(a,b)$ ?

Réponse

L'oppose9 est (-a,-b).

14Question

Quelle $e9galite9 ve9rifie \vec u$ et son oppose9 ?

Réponse

$\vec u+(-\vec u)=\vec 0$ .

15Question

Comment se de9finit la multiplication d'un vecteur par un re9el ?

Réponse

(a,b)=(a,b) avec e9le9ment de .

16Question

Quand deux vecteurs non nuls sont-ils proportionnels ?

Réponse

S'il existe tel que $\vec v=\vec$ u.

17Question

Quelle est la relation de Chasles pour les vecteurs ?

Réponse

$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ .

18Question

Quelle est la formule du produit scalaire pour deux vecteurs non nuls ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)$ avec $\theta\in[0,\pi]$ angle non orienté.

19Question

Quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

Réponse

Quand leur produit scalaire est nul.

20Question

Qu'est-ce que la projection orthogonale d'un vecteur sur une droite vectorielle ?

Réponse

Le vecteur de la droite obtenu en projetant orthogonalement l'extrémité du vecteur.

21Question

Quelle formule donne la projection orthogonale si $\vec v$ est unitaire et dirige $D$ ?

Réponse

$p_D(\vec u)=(\vec u\cdot\vec v)\vec v$ .

22Question

Quelle condition caractérise une famille libre de vecteurs ?

Réponse

La seule solution de $\lambda_1\vec u_1+\cdots+\lambda_k\vec u_k=\vec0$ est $\lambda_1=\cdots=\lambda_k=0$ .

23Question

Qu'impose l'existence de réels non tous nuls dans une famille liée ?

Réponse

Il existe $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ non tous nuls tels que $\lambda_1\vec u_1+\cdots+\lambda_k\vec u_k=\vec0$ .

24Question

Qu'est-ce qui définit une base vectorielle ?

Réponse

Tout vecteur s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de ses vecteurs.

25Question

Quand une famille de 2 vecteurs du plan est-elle une base ?

Réponse

Si et seulement si elle est libre.

26Question

Quand une famille de 3 vecteurs de l'espace est-elle une base ?

Réponse

Si et seulement si elle est libre.

27Question

Qu'est-ce qu'un repère affine dans le plan ?

Réponse

Un triplet (O,I,J) de points non alignés.

28Question

Qu'est-ce qu'un repère de l'espace ?

Réponse

Un quadruplet (O,I,J,K) de points non coplanaires.

29Question

Comment s'exprime un vecteur dans une base F de l'espace ?

Réponse

Comme une combinaison linéaire unique x⃗i+y⃗j+z⃗k.

30Question

Que représentent les coordonnées (x,y,z) d'un vecteur dans une base F ?

Réponse

Les coefficients de sa décomposition selon les vecteurs de F.

31Question

Comment obtient-on les coordonnées affines d'un point M dans un repère R ?

Réponse

Ce sont les coordonnées du vecteur 1OM1 dans la base du repère.

32Question

Qu'est-ce qu'une base orthonormée ?

Réponse

Une base dont les vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux.

33Question

Quelle formule donne le produit scalaire dans une base orthonormée du plan ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ si $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$ .

34Question

Quelle formule donne le produit scalaire dans une base orthonormée de l'espace ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$ si $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$ .

35Question

Qu'est-ce que le produit vectoriel dans l'espace ?

Réponse

Un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés.

36Question

Quelle est la norme du produit vectoriel $\vec u \wedge \vec v$ ?

Réponse

Elle vaut $\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)$ .

37Question

Comment est orienté le vecteur $\vec u \wedge \vec v$ ?

Réponse

Pour que $(\vec u, \vec v, \vec u \wedge \vec v)$ soit une base directe.

38Question

Que vaut le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires ?

Réponse

Le vecteur nul $\vec0$ .

39Question

Quelle est la formule du produit vectoriel $\vec u \wedge \vec v$ en base orthonormée directe ?

Réponse

$\vec u \wedge \vec v = (yz'-zy', zx'-xz', xy'-yx')$ .

40Question

Quelle est la forme paramétrique d'une droite passant par A et dirigée par $\vec u$ ?

Réponse

$D=\{A+\lambda\vec u \mid \lambda \in \mathbb{R}\}$

41Question

Comment s'écrit la droite dans le plan passant par $A=(a_1,a_2)$ dirigée par $\vec u=(u_1,u_2)$ ?

Réponse

$M(\lambda)=(a_1+\lambda u_1,a_2+\lambda u_2)$

42Question

Quelle est la forme paramétrique d'un plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$ ?

Réponse

$P=\{A+\lambda\vec u + \mu \vec v \mid \lambda,\mu \in \mathbb{R}\}$

43Question

Combien de paramètres faut-il pour paramétrer une droite et un plan ?

Réponse

Une droite nécessite un paramètre, un plan en nécessite deux.

44Question

Quelle est l'équation cartésienne d'une droite passant par A et dirigée par $\vec u$ ?

Réponse

$u_2(x-a_1)-u_1(y-a_2)=0$

45Question

Quelle forme générale a toute équation cartésienne d'une droite du plan ?

Réponse

$Ax+By+C=0$ avec A ou B non nul.

46Question

Quel vecteur dirige une droite d'équation $Ax+By+C=0$ ?

Réponse

Le vecteur $(-B,A)$ .

47Question

Quelle est l'équation cartésienne d'un plan passant par A et dirigé par $\vec u, \vec v$ ?

Réponse

$w_1(x-a_1)+w_2(y-a_2)+w_3(z-a_3)=0$ avec $\vec w=\vec u \wedge \vec v$ .

48Question

Quelle est la forme générale d'une équation cartésienne d'un plan dans l'espace ?

Réponse

$Ax+By+Cz+D=0$ avec A, B et C non tous nuls.

49Question

Quel vecteur est orthogonal à un plan d'équation $Ax+By+Cz+D=0$ ?

Réponse

Le vecteur $(A,B,C)$ .

50Question

Comment caractérise-t-on l'appartenance à une droite dans l'espace ?

Réponse

Par un système de deux équations cartésiennes non proportionnelles.

51Question

Comment caractérise-t-on l'appartenance à un plan dans l'espace ?

Réponse

Par une seule équation cartésienne.

52Question

Quelles sont les coordonnées canoniques d'un point du plan ?

Réponse

Les composantes $x,y$ de son couple.

53Question

Quelles sont les coordonnées canoniques d'un point de l'espace ?

Réponse

Les composantes $x,y,z$ de son triplet.

54Question

De quoi dépend l'identification des vecteurs avec les points ?

Réponse

Elle dépend du choix d'une origine.

55Question

Quelle inégalité vérifie le produit scalaire ?

Réponse

L'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\,\|\vec v\|$ .

56Question

Quelle est la propriété des familles d'au moins 3 vecteurs dans le plan ?

Réponse

Elles sont liées.

57Question

Quelle est la propriété des familles d'au moins 4 vecteurs dans l'espace ?

Réponse

Elles sont liées.

58Question

Pourquoi le vecteur (3,2,1) a-t-il pour coordonnées (1,1,1) dans la base F ?

Réponse

Parce qu'il est la somme des trois vecteurs de F.

59Question

Quel vecteur est orthogonal à $\vec u=(x,y)$ dans une base orthonormée du plan ?

Réponse

Le vecteur $\vec v=(y,-x)$ est orthogonal à $\vec u$ .

60Question

Quelle propriété symétrique possède le produit scalaire ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ .

61Question

Comment le produit scalaire se comporte-t-il avec un scalaire ?

Réponse

$(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$ .

62Question

Comment le produit scalaire se comporte-t-il avec une somme de vecteurs ?

Réponse

$(\vec u+\vec v)\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w+\vec v\cdot\vec w$ .

63Question

Quelles propriétés algébriques possède le produit vectoriel ?

Réponse

Il est antisymétrique, homogène et distributif.

64Question

Comment tester le parallélisme de deux vecteurs dans l'espace ?

Réponse

Calculer leur produit vectoriel et vérifier s'il est nul.

65Question

Quelle est l'expression paramétrique d'une droite dans l'espace passant par $A=(a_1,a_2,a_3)$ dirigée par $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ ?

Réponse

$M(\lambda)=(a_1+\lambda u_1,a_2+\lambda u_2,a_3+\lambda u_3)$

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1. Lequel des ensembles suivants décrit le plan réel ?

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