Fiche de révision : Géométrie du plan et de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Approches et coordonnées canoniques
2. Points, vecteurs et translations
3. Opérations et relations vectorielles
4. Produit scalaire et projections
5. Bases et familles de vecteurs
6. Coordonnées dans un repère
7. Bases orthonormées
8. Produit vectoriel dans l’espace
9. Équations paramétriques
10. Équations cartésiennes

📖 1. Approches et coordonnées canoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan euclidien : Ensemble $\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ de tous les couples de nombres réels.
• Espace euclidien : Ensemble $\mathbb{R}^3=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}$ de tous les triplets de nombres réels.

★ À maîtriser

📌 L’approche affine considère E comme un ensemble de points, tandis que l’approche vectorielle considère le même ensemble comme un ensemble de vecteurs, noté $\vec E$.

Compléments

• Les coordonnées canoniques d’un point du plan sont les composantes $x,y$ de son couple, et celles d’un point de l’espace sont les composantes $x,y,z$ de son triplet.

💡 Astuce mémo

E = points ; E⃗ = vecteurs

📖 2. Points, vecteurs et translations

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractéristiques d’un vecteur : Un vecteur $\vec u=\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par sa direction, son sens de A vers B et sa longueur $\|\vec u\|$, égale à la distance AB.

★ À maîtriser

• La translation de vecteur $\vec u=(a,b)$ transforme le point $A=(x,y)$ en le point $A'=A+\vec u=(x+a,y+b)$.

📌 Pour deux points A et B, il existe un unique vecteur $\vec u$ tel que $A+\vec u=B$, et ce vecteur est noté $\overrightarrow{AB}$.

Compléments

• L’identification des vecteurs avec les points dépend du choix d’une origine.

💡 Astuce mémo

Une flèche transportée d’un point A vers un point B

📖 3. Opérations et relations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Le vecteur nul est $\vec 0=(0{,}0)$ dans le plan, il vérifie $\vec u+\vec 0=\vec u$ et il ne modifie aucun point par translation.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $\vec u=(a,b)$ et $\vec v=(c,d)$, alors $\vec u+\vec v=(a+c,b+d)$.

📐 Formule — Si $\vec u=(a,b)$, alors son opposé est $-\vec u=(-a,-b)$ et vérifie $\vec u+(-\vec u)=\vec 0$.

📐 Formule — La multiplication par un réel est définie par $\lambda(a,b)=(\lambda a,\lambda b)$, avec $\lambda\in\mathbb R$.

📌 Deux vecteurs non nuls sont proportionnels s’il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $\vec v=\lambda\vec u$, et ils sont colinéaires s’ils ont la même direction.

📌 Les vecteurs satisfont $\overrightarrow{AA}=\vec0$, $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, cette dernière égalité étant la relation de Chasles.

💡 Astuce mémo

Addition → opposé → multiplication → proportionnalité

📖 4. Produit scalaire et projections

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : La projection orthogonale de $\vec u$ sur une droite vectorielle D est le vecteur de D obtenu en projetant orthogonalement l’extrémité de $\vec u$ sur D.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des vecteurs non nuls, le produit scalaire est $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)$, où $\theta\in[0,\pi]$ est l’angle non orienté entre eux.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule — Si $\vec v$ est unitaire et dirige D, alors $p_D(\vec u)=(\vec u\cdot\vec v)\vec v$.

Compléments

📐 Formule — Le produit scalaire vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz $|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\,\|\vec v\|$.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité → produit scalaire nul

📖 5. Bases et familles de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Une famille $(\vec u_1,\ldots,\vec u_k)$ est libre si la seule solution de $\lambda_1\vec u_1+\cdots+\lambda_k\vec u_k=\vec0$ est $\lambda_1=\cdots=\lambda_k=0$.
• Famille liée : Une famille $(\vec u_1,\ldots,\vec u_k)$ est liée s’il existe des réels non tous nuls tels que $\lambda_1\vec u_1+\cdots+\lambda_k\vec u_k=\vec0$.
• Base vectorielle : Une famille est une base si tout vecteur s’écrit d’une manière unique comme combinaison linéaire de ses vecteurs.

★ À maîtriser

📌 Une famille de 2 vecteurs du plan ou de 3 vecteurs de l’espace est une base si et seulement si elle est libre.

Compléments

• Toute famille d’au moins 3 vecteurs du plan est liée, et toute famille d’au moins 4 vecteurs de l’espace est liée.

💡 Astuce mémo

Libre = seule combinaison nulle ; liée = relation non triviale

📖 6. Coordonnées dans un repère

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère affine : Un triplet $(O,I,J)$ est un repère du plan si ses points ne sont pas alignés, et un quadruplet $(O,I,J,K)$ est un repère de l’espace si ses points ne sont pas coplanaires.
• Coordonnées vectorielles : Dans une base $F=(\vec i,\vec j,\vec k)$ de l’espace, tout vecteur s’écrit de manière unique $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$, et $(x,y,z)$ sont ses coordonnées dans F.
• Coordonnées affines : Les coordonnées d’un point M dans le repère R sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dans la base formée par les vecteurs du repère.

📝 Points essentiels

• Dans la base $F=((1{,}0{,}0),(1{,}1{,}0),(1{,}1{,}1))$, le vecteur $(3{,}2{,}1)$ a pour coordonnées $(1{,}1{,}1)$, car il est égal à la somme des trois vecteurs de F.

💡 Astuce mémo

Base vectorielle → coordonnées d’un vecteur → coordonnées d’un point

📖 7. Bases orthonormées

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée : Une base est orthonormée lorsque ses vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée du plan, si $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.

📐 Formule — Dans une base orthonormée de l’espace, si $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

Compléments

• Dans une base orthonormée du plan, si $\vec u=(x,y)$, alors $\vec v=(y,-x)$ est orthogonal à $\vec u$.

📌 Le produit scalaire est symétrique, homogène et additif : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$, $(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$ et $(\vec u+\vec v)\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w+\vec v\cdot\vec w$.

📖 8. Produit vectoriel dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Dans l’espace, le produit vectoriel $\vec u\wedge\vec v$ est un vecteur orthogonal à $\vec u$ et $\vec v$, de norme $\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)$, orienté pour que $(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)$ soit une base directe.

★ À maîtriser

📌 Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, alors $\vec u\wedge\vec v=\vec0$.

📐 Formule — Dans une base orthonormée directe, si $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$, alors $\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',zx'-xz',xy'-yx')$.

Compléments

📌 Le produit vectoriel est antisymétrique, homogène et distributif par rapport à l’addition.

• Pour tester le parallélisme de deux vecteurs de l’espace, on calcule leur produit vectoriel et on vérifie s’il est nul.

💡 Astuce mémo

La main droite donne le vecteur perpendiculaire

📖 9. Équations paramétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite paramétrique : La droite passant par A et dirigée par un vecteur non nul $\vec u$ est l’ensemble $D=\{A+\lambda\vec u\mid\lambda\in\mathbb R\}$.
• Plan paramétrique : Le plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$ est $P=\{A+\lambda\vec u+\mu\vec v\mid\lambda,\mu\in\mathbb R\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le plan, une droite passant par $A=(a_1,a_2)$ et dirigée par $\vec u=(u_1,u_2)$ s’écrit $M(\lambda)=(a_1+\lambda u_1,a_2+\lambda u_2)$.

• Il faut un paramètre pour paramétrer une droite et deux paramètres pour paramétrer un plan.

Compléments

📐 Formule — Dans l’espace, une droite passant par $A=(a_1,a_2,a_3)$ et dirigée par $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ s’écrit $M(\lambda)=(a_1+\lambda u_1,a_2+\lambda u_2,a_3+\lambda u_3)$.

💡 Astuce mémo

Droite : un paramètre ; plan : deux paramètres

📖 10. Équations cartésiennes

★ À maîtriser

📐 Formule — Une droite du plan passant par $A=(a_1,a_2)$ et dirigée par $\vec u=(u_1,u_2)$ admet l’équation cartésienne $u_2(x-a_1)-u_1(y-a_2)=0$.

📌 Toute droite du plan admet une équation $Ax+By+C=0$ avec A ou B non nul, et elle est dirigée par le vecteur $(-B,A)$.

📐 Formule — Un plan de l’espace passant par A et dirigé par $\vec u,\vec v$ admet une équation $w_1(x-a_1)+w_2(y-a_2)+w_3(z-a_3)=0$ où $\vec w=\vec u\wedge\vec v$.

📌 Toute plan de l’espace admet une équation $Ax+By+Cz+D=0$ avec A, B et C non tous nuls, et le vecteur $(A,B,C)$ est orthogonal au plan.

📌 Dans l’espace, l’appartenance à une droite est caractérisée par un système de deux équations cartésiennes non proportionnelles, alors que l’appartenance à un plan est caractérisée par une seule équation.

Compléments

📌 Pour une droite spatiale de direction $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$, si les trois composantes sont non nulles, l’appartenance s’écrit $\frac{x-a_1}{u_1}=\frac{y-a_2}{u_2}=\frac{z-a_3}{u_3}$.

📌 Si une composante du vecteur directeur d’une droite spatiale est nulle, la coordonnée correspondante est fixée, tandis que les autres coordonnées fournissent l’équation restante.

💡 Astuce mémo

Paramétrique : fabriquer les points ; cartésienne : tester l’appartenance

📊 Tableaux de synthèse

Paramétrique et cartésienne