Fiche de révision : Calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Fractions et égalité
2. Opérations sur les fractions
3. Puissances d’un nombre
4. Puissances de dix
5. Écriture scientifique
6. Racines carrées

📖 1. Fractions et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers.

📝 Points essentiels

📌 Si a, b et k sont des nombres relatifs avec b et k non nuls, alors $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$.

📌 Pour établir l’égalité de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ avec b et d non nuls, il suffit de vérifier que $a\times d=b\times c$.

💡 Astuce mémo

Écriture fractionnaire ≠ fraction : seuls le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont entiers.

📖 2. Opérations sur les fractions

📝 Points essentiels

• Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Pour diviser deux fractions, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde fraction.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur, puis on effectue l’opération sur les numérateurs.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → additionner les numérateurs ; division → multiplier par l’inverse.

📖 3. Puissances d’un nombre

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance à exposant positif : Pour un nombre relatif a et un entier positif non nul n, la puissance $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.
• Puissance à exposant négatif : Pour un nombre réel non nul a et un entier positif non nul n, $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$, soit $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

★ À maîtriser

📌 Les règles de calcul des puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{m\times n}$, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Compléments

• Les exemples donnés sont $8^3=8\times8\times8=512$ et $(-7)^2=(-7)\times(-7)=49$.

💡 Astuce mémo

Exposant négatif → inverse de la puissance positive.

📖 4. Puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix : Pour un entier positif n, $10^n$ est le produit de n facteurs égaux à 10 et s’écrit avec n zéros après le 1.

📝 Points essentiels

📌 On a $10^0=1$ et, pour un entier positif non nul n, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$.

📌 Les règles des puissances de dix sont $10^m\times10^n=10^{m+n}$, $\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}$, $\frac{1}{10^n}=10^{-n}$ et $(10^m)^n=10^{m\times n}$.

💡 Astuce mémo

Les zéros se déplacent avec le signe de l’exposant : à droite pour positif, après la virgule pour négatif.

📖 5. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : La notation scientifique d’un nombre décimal non nul est l’unique écriture $a\times10^n$ dans laquelle a est compris entre 1 et 10 exclu et n est un entier relatif.

📝 Points essentiels

• Pour écrire un nombre en notation scientifique, on le met sous la forme $a\times10^n$ avec un coefficient a compris entre 1 et 10 exclu.

💡 Astuce mémo

Coefficient entre 1 et 10, contrairement aux coefficients 0,2 ou 11,3.

📖 6. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif x, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut x.

📝 Points essentiels

• Les carrés parfaits présentés dans le cours concernent notamment 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.