Fiche de révision : Calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Nombres rationnels et comparaison
2. Opérations sur les fractions
3. Puissances et leurs règles
4. Notation scientifique et préfixes
5. Priorités opératoires
6. Racines carrées et simplification

📖 1. Nombres rationnels et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers et b ≠ 0.

📝 Points essentiels

• Tout nombre entier ou décimal est rationnel, tandis que √2 et π sont irrationnels car leur écriture décimale est infinie et non périodique.

• Pour comparer deux nombres rationnels, on peut les mettre au même dénominateur ou comparer leurs écritures décimales lorsque cela est possible.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction possible ; irrationnel = décimale infinie non périodique

📖 2. Opérations sur les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un nombre : L’inverse d’un nombre non nul a est $\frac{1}{a}$, car le produit de a par son inverse vaut 1.

📝 Points essentiels

• Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les deux numérateurs entre eux et les deux dénominateurs entre eux.

• Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse.

💡 Astuce mémo

Additionner, multiplier, puis inverser pour diviser

📖 3. Puissances et leurs règles

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a.

📝 Points essentiels

📌 Pour a non nul, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📌 Sans parenthèses, $-4^2=-16$, tandis qu’avec des parenthèses, $(-4)^2=16$.

📐 Formule — Pour a et b non nuls et m,n entiers, les règles sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $a^m\div a^n=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

5³ répète la multiplication ; 5×3 répète l’addition

📖 4. Notation scientifique et préfixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : La notation scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture $a\times10^n$, où a est un nombre décimal tel que $1\leq a<10$ et n est un entier relatif.

★ À maîtriser

• Pour obtenir la notation scientifique, on déplace la virgule jusqu’à ce que la partie entière soit comprise entre 1 et 9, puis l’exposant de 10 indique le nombre de rangs déplacés.

Compléments

📐 Formule — Les puissances de 10 vérifient $10^3=1\,000$ et $10^{-5}=0{,}00001$.

• Les préfixes scientifiques indiquent les puissances suivantes:
  • nano n = 10⁻⁹
  • micro μ = 10⁻⁶
  • milli m = 10⁻³
  • unité = 10⁰
  • kilo k = 10³
  • méga M = 10⁶
  • giga G = 10⁹

💡 Astuce mémo

Déplacer la virgule vers 1–9, puis compter les rangs

📖 5. Priorités opératoires

📝 Points essentiels

• Pour calculer une expression contenant plusieurs opérations, on effectue successivement les parenthèses, les puissances, les multiplications et divisions de gauche à droite, puis les additions et soustractions de gauche à droite.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions

📖 6. Racines carrées et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$, et pour a ≥ 0 et b > 0, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 En général, $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$ ; par exemple, $\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ alors que $\sqrt9+\sqrt{25}=8$.

Compléments

• Pour simplifier une racine carrée, on fait apparaître un carré parfait sous le radical puis on applique les propriétés des racines carrées.

• La longueur positive c d’un côté vérifiant $c^2=200$ est $c=\sqrt{200}=10\sqrt2$ cm.

💡 Astuce mémo

√(ab) se sépare ; √(a+b) ne se sépare pas