Fiche de révision : Calculs numériques et fractions

📋 Plan du Cours

1. Conjecture des fractions unitaires
2. Opérations sur les fractions
3. Fractions imbriquées et algébriques
4. Entraînement et problèmes

📖 1. Conjecture des fractions unitaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjecture d’Erdös : Paul Erdös, 1913-1996 — Affirmation selon laquelle tout nombre rationnel de la forme $\frac{4}{n}$, avec n entier supérieur ou égal à 2, peut être écrit comme la somme de trois fractions unitaires.

★ À maîtriser

📐 Formule — La conjecture s’écrit $\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, où x, y et z sont trois entiers naturels non nuls.

Compléments

• La conjecture est vérifiée pour les nombres de moins de 14 chiffres, mais elle n’est pas démontrée dans le cas général.

💡 Astuce mémo

4/n → somme de trois fractions unitaires

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les transforme avec un dénominateur commun, on effectue l’opération sur les numérateurs, puis on simplifie le résultat si possible.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible.

• Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse, comme dans les exercices où une division de fractions est réécrite sous forme de produit.

Compléments

• Les exercices portent sur des fractions positives et négatives, des nombres entiers, des pourcentages écrits comme des fractions sur 100 et des expressions comportant des parenthèses.

💡 Astuce mémo

Additionner exige un dénominateur commun, multiplier non

📖 3. Fractions imbriquées et algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction complexe : Expression dans laquelle le numérateur, le dénominateur ou les deux contiennent eux-mêmes des fractions.

★ À maîtriser

• Pour simplifier une fraction complexe, on réécrit la division comme une multiplication par l’inverse, puis on effectue et on simplifie les fractions obtenues.

Compléments

• Le cours applique les calculs fractionnaires à des expressions algébriques telles que $\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-7}$ et $\frac{2x-1}{3x-5}-\frac{5x+3}{-7x+21}$.

• Les expressions à traiter peuvent combiner additions, soustractions, multiplications, divisions, parenthèses et fractions imbriquées dans un même calcul.

💡 Astuce mémo

Fraction complexe → multiplication par l’inverse → simplification

📖 4. Entraînement et problèmes

★ À maîtriser

• Dans le problème des cookies, la fraction mangée se calcule en additionnant la moitié des deux tiers de cookies aux noisettes et le quart du tiers restant.

📌 La fraction de cookies restante s’obtient en soustrayant la fraction mangée de la totalité des cookies.

Compléments

• Les exercices d’entraînement demandent successivement d’effectuer des sommes, des produits, des divisions, des calculs combinés et des expressions comportant plusieurs fractions.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les fractions