QCM : Calculs numériques et fractions — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation décrit correctement la conjecture des fractions unitaires d’Erdős ?

Tout nombre rationnel de la forme 4n\frac{4}{n}, avec n≥2n\geq 2, serait une somme de trois fractions unitaires.
Tout nombre rationnel de la forme 3n\frac{3}{n}, avec n≥2n\geq 2, serait une somme de deux fractions unitaires.
Tout nombre rationnel de la forme n4\frac{n}{4}, avec n≥2n\geq 2, serait une somme de trois fractions unitaires.
Tout nombre rationnel de la forme 4n\frac{4}{n}, avec n≥1n\geq 1, serait une somme de quatre fractions quelconques.

Tout nombre rationnel de la forme $$\frac{4}{n}$$, avec $$n\geq 2$$, serait une somme de trois fractions unitaires.

Explication

La conjecture d’Erdős porte sur les nombres 4n\frac{4}{n} pour lesquels nn est un entier supérieur ou égal à 2, et propose une décomposition en trois fractions unitaires. L’expression 3n\frac{3}{n} correspond à une autre affirmation et ne décrit pas cette conjecture.

2. Qu'est-ce que la conjecture d'Erdös concernant les nombres rationnels de la forme 4n\frac{4}{n} ?

Elle propose que 4n\frac{4}{n} est une fraction irréductible pour tout n entier supérieur ou égal à 2.
Elle affirme que tout nombre rationnel de cette forme peut s'écrire comme la somme de trois fractions unitaires.
Elle indique que 4n\frac{4}{n} ne peut jamais être exprimé comme une somme de fractions unitaires.
Elle stipule que 4n\frac{4}{n} est toujours un nombre entier pour n entier supérieur ou égal à 2.

Elle affirme que tout nombre rationnel de cette forme peut s'écrire comme la somme de trois fractions unitaires.

Explication

La conjecture d'Erdös affirme que tout nombre rationnel de la forme 4n\frac{4}{n} peut être exprimé comme la somme de trois fractions unitaires. La proposition selon laquelle cette expression est toujours un entier est fausse, car ce n'est pas le cas pour tous n.

3. Dans l’écriture 4n=1x+1y+1z\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}, quelle condition porte sur xx, yy et zz ?

Ce sont trois nombres naturels dont la somme vaut nn.
Ce sont trois entiers naturels non nuls.
Ce sont trois nombres rationnels supérieurs ou égaux à 1.
Ce sont trois entiers relatifs distincts de zéro.

Ce sont trois entiers naturels non nuls.

Explication

La forme proposée par la conjecture impose que xx, yy et zz soient trois entiers naturels non nuls. Ils servent de dénominateurs aux trois fractions unitaires, et leur somme n’est pas imposée à être égale à nn.

4. Quelle est la formule de la conjecture d’Erdös concernant les nombres rationnels de la forme 4n\frac{4}{n} ?

4n=2x+2y+2z\frac{4}{n} = \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}, avec x, y, z entiers positifs.
4n=1x−1y+1z\frac{4}{n} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z}, où x, y, z sont des entiers naturels.
4n=1x+1y+1z\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}, où x, y, z sont trois entiers naturels non nuls.
4n=1x+1y−1z\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z}, avec x, y, z entiers naturels non nuls.

$$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$$, où x, y, z sont trois entiers naturels non nuls.

Explication

La conjecture d’Erdös affirme que tout nombre rationnel de la forme 4n\frac{4}{n} peut s’écrire comme la somme de trois fractions unitaires 1x+1y+1z\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}, où x, y, z sont des entiers naturels non nuls. Les autres options proposent des expressions incorrectes ou différentes de la formule de la conjecture.

5. Quelle méthode permet d’additionner correctement deux fractions dont les dénominateurs sont différents ?

Conserver les dénominateurs séparés, additionner les fractions, puis arrondir la valeur obtenue.
Multiplier les numérateurs, additionner les dénominateurs, puis simplifier le résultat.
Les transformer avec un dénominateur commun, additionner les numérateurs, puis simplifier si possible.
Additionner les numérateurs et les dénominateurs, puis réduire la fraction obtenue.

Les transformer avec un dénominateur commun, additionner les numérateurs, puis simplifier si possible.

Explication

L’addition exige de réécrire les fractions avec un dénominateur commun avant d’opérer sur les numérateurs. Additionner directement les dénominateurs est une confusion avec les règles de calcul, car cette opération ne donne généralement pas une fraction équivalente.

6. Quel est le rôle principal de la méthode de multiplication lors du traitement des fractions dans les opérations mathématiques ?

Additionner les dénominateurs avant de multiplier les numérateurs.
Diviser les numérateurs par les dénominateurs pour simplifier.
Multiplier les numérateurs et les dénominateurs, puis simplifier si possible.
Soustraire les dénominateurs pour obtenir un dénominateur commun.

Multiplier les numérateurs et les dénominateurs, puis simplifier si possible.

Explication

La multiplication de fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis à simplifier si possible. Cette méthode est essentielle pour effectuer rapidement des opérations sur des fractions.

7. Comment réécrit-on une division par une fraction pour pouvoir effectuer le calcul ?

On multiplie par l’inverse de la fraction divisante.
On additionne la fraction divisante à son propre numérateur.
On soustrait l’inverse de la fraction divisante au dividende.
On multiplie les deux fractions en conservant la fraction divisante.

On multiplie par l’inverse de la fraction divisante.

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, ce qui transforme la division en produit. Conserver la fraction divisante sans l’inverser ne respecte pas la règle de transformation de la division fractionnaire.

8. Quand la conjecture d’Erdös a-t-elle été formulée pour la première fois ?

Dans les années 1800, par Carl Friedrich Gauss.
En 1996, lors de la mort de Paul Erdös.
Au début des années 2000, par un groupe de mathématiciens.
En 1913, par Paul Erdös.

En 1913, par Paul Erdös.

Explication

La conjecture d’Erdös a été formulée en 1913 par Paul Erdös. Elle reste non démontrée dans son ensemble, mais vérifiée pour certains cas.

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Que dit la conjecture d’Erdös sur 4n\frac{4}{n} ?

Elle affirme que 4n\frac{4}{n} s'écrit comme somme de trois fractions unitaires.

Conjecture d’Erdös, formule

4/n = 1/x + 1/y + 1/z, avec x,y,z petits entiers

Pour quels nombres la conjecture d’Erdös est-elle vérifiée ?

Pour tous les nombres entiers nn inférieurs à 101410^{14}.

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