Fiche de révision : Calculs numériques et nombres relatifs

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les nombres relatifs
2. Priorités et programmes de calcul
3. Fractions et quotients
4. Puissances de dix
5. Écriture scientifique
6. Racines carrées et carrés parfaits

📖 1. Opérations sur les nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle des signes : Pour un produit ou un quotient de nombres relatifs, le résultat est positif si les deux nombres ont le même signe et négatif s’ils ont des signes différents.

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs, on transforme d’abord une soustraction en addition de l’opposé, puis on applique les règles de calcul des signes.

• Le produit de plusieurs facteurs est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif lorsqu’il est impair.

Compléments

• La simplification de $(-8)-(-9)$ donne $-8+9=1$.

💡 Astuce mémo

Même signe : résultat positif ; signes différents : résultat négatif pour un produit ou un quotient.

📖 2. Priorités et programmes de calcul

★ À maîtriser

📌 Dans une expression numérique, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

• Pour exécuter le programme de calcul donné, on choisit un nombre, on lui soustrait 10, on multiplie le résultat par -5, puis on ajoute le quintuple du nombre de départ.

Compléments

• Pour l’expression $2-2\times5$, la multiplication est prioritaire et le résultat est $-8$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → multiplications et divisions → additions et soustractions.

📖 3. Fractions et quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $b$ et $k$ sont non nuls, alors $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}.$

• Deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont égales, avec $b$ et $d$ non nuls, si et seulement si $a\times d=b\times c.$

• Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs en conservant le dénominateur.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Compléments

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur, puis on calcule avec les numérateurs.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur : on agit sur les numérateurs ; dénominateurs différents : on réduit d’abord au même dénominateur.

📖 4. Puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix à exposant positif : Produit de $n$ facteurs égaux à 10.
• Puissance de dix à exposant négatif : Pour un entier positif non nul $n$, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}.$

📝 Points essentiels

• La puissance de dix d’exposant zéro vérifie $10^0=1.$

📐 Formule — Les règles des puissances de dix sont $10^m\times10^n=10^{m+n}$, $\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}$ et $(10^m)^n=10^{m\times n}.$

💡 Astuce mémo

Produit : on additionne les exposants ; quotient : on les soustrait ; puissance d’une puissance : on les multiplie.

📖 5. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Unique écriture de la forme $a\times10^n$, où $a$ est compris entre 1 inclus et 10 exclu et où $n$ est un entier relatif.

★ À maîtriser

• Pour écrire un nombre en notation scientifique, on place la virgule afin d’obtenir un coefficient compris entre 1 et 10, puis on associe à ce déplacement une puissance de 10.

Compléments

• Le nombre $4\,200\,000$ s’écrit en notation scientifique sous la forme $4{,}2\times10^6.$

💡 Astuce mémo

Un nombre scientifique place une seule partie non nulle avant la virgule, entre 1 et 10, puis une puissance de 10.

📖 6. Racines carrées et carrés parfaits

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré vaut $x$.

📝 Points essentiels

• Les nombres $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$ et $100$ sont des carrés parfaits issus des carrés des entiers de 0 à 10.

💡 Astuce mémo

La racine carrée positive de x est le nombre dont le carré vaut x.