Fiche de révision : Capteurs et instrumentation industrielle

📋 Plan du Cours

1. Mesure et constitution des capteurs
2. Détecteurs de position et de proximité
3. Codeurs et fibres optiques
4. Signaux, transmetteurs et installations
5. Extraction liquide-liquide
6. Mesures et étalonnage du nylon
7. Instrumentation des cuves
8. Principes de la régulation
9. Schémas PCF et TI
10. Schémas fonctionnels et caractéristiques des procédés
11. Régulateurs, raccordement et action TOR
12. Identification et transformée de Laplace
13. Opérations sur les schémas-blocs
14. Régulateur industriel et actions PID
15. Précision des systèmes asservis
16. Asservissement du courant d’excitation
17. Régulation du niveau d’un réservoir
18. Modèle de Broïda pour un procédé retardé

📖 1. Mesure et constitution des capteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Capteur : Organe qui prélève une grandeur physique, appelée mesurande, et la transforme en une grandeur exploitable, souvent électrique, qui représente la mesure.
• Grandeur d’influence : Grandeur étrangère susceptible de perturber le capteur et de provoquer une erreur sur son signal de sortie.

★ À maîtriser

📌 Le domaine statique concerne les phénomènes continus dont la grandeur reste stable ou varie peu rapidement, et comprend par convention les fréquences de 0 à quelques hertz ; le domaine dynamique concerne les variations à fréquence élevée.

Compléments

• Les principales grandeurs d’influence citées sont : la température, la pression environnante, les vibrations mécaniques ou acoustiques, les chocs, le temps, la position et la fixation du capteur, l’humidité et l’eau, les ambiances corrosives, les perturbations électromagnétiques, les rayonnements nucléaires, les accélérations et la pesanteur

• Les tranches du domaine dynamique sont :

  • très basses fréquences : de 0 à 250 Hz
  • basses fréquences : de 250 Hz à 2 kHz
  • moyennes fréquences : de 2 kHz à 10 kHz
  • hautes fréquences : au-delà de 10 kHz

📌 L’étendue des valeurs courantes correspond aux extrêmes habituellement pris par le mesurande, tandis que l’étendue des valeurs accidentelles correspond aux extrêmes dus à des causes extérieures fortuites ou prévisibles.

• Les phénomènes se distinguent selon leur durée en : phénomènes statiques ou quasi-statiques de très longue durée, phénomènes dynamiques de longue durée, phénomènes dynamiques de courte durée, ou transitoires

• Le corps d’épreuve réagit sélectivement à la grandeur à mesurer et la transforme en une autre grandeur physique mesurable.

• L’élément de transduction traduit la réaction du corps d’épreuve en une grandeur électrique constituant le signal de sortie.

• Le boîtier protège, maintient et fixe le capteur, tandis que le module électronique peut l’alimenter, mettre en forme et amplifier son signal, le filtrer, le corriger, le traiter, le convertir ou le mettre à niveau pour une transmission à distance.

💡 Astuce mémo

Mesurande → corps d’épreuve → transduction → conditionnement

📖 2. Détecteurs de position et de proximité

🔑 Notions clés & Définitions

• Interrupteur de position : Capteur mécanique à microcontacts qui détecte une position ou une présence et dont le contact s’ouvre ou se ferme sous l’action mécanique d’un organe de commande.
• Détecteur inductif : Détecte sans contact les objets métalliques par la variation d’un champ magnétique à l’approche d’un objet conducteur.
• Détecteur capacitif : Détecte sans contact une matière quelconque par la variation d’un champ électrique à son approche.
• Détecteur photoélectrique : Détecte une cible lorsqu’elle modifie suffisamment la lumière reçue par un récepteur photosensible, à partir d’un faisceau émis par le détecteur.

★ À maîtriser

• Le choix d’un détecteur dépend des conditions d’exploitation, de l’effort d’actionnement, de l’ambiance et de la température, de la protection contre les chocs et liquides, du nombre de cycles, du circuit électrique et de ses contacts, ainsi que de la place disponible pour l’appareil.

Compléments

• Les interrupteurs de position offrent notamment une bonne fidélité aux points d’enclenchement, jusqu’à 0,01 mm, une séparation galvanique des circuits, une endurance électrique élevée et une bonne résistance aux ambiances industrielles.

• La tête de commande et le dispositif d’attaque d’un interrupteur de position sont choisis selon la forme de l’objet, sa trajectoire et la précision de guidage.

• La portée des détecteurs inductifs courants peut atteindre 50 mm et dépend notamment de l’épaisseur de l’objet.

• Les détecteurs photoélectriques réalisent la détection soit par blocage du faisceau par la cible, soit par renvoi du faisceau sur le récepteur par la cible.

• Le système photoélectrique barrage utilise deux boîtiers, atteint une portée de 30 m et ne détecte pas les objets transparents.

• Le système photoélectrique réflex utilise un boîtier, atteint une portée de 15 m et ne détecte pas les objets transparents ou réfléchissants.

• La portée du système photoélectrique de proximité dépend de la couleur de l’objet, les objets clairs étant mieux détectés, et ce système ne détecte pas les objets transparents.

💡 Astuce mémo

Contact pour l’interrupteur ; proximité sans contact pour les détecteurs inductifs, capacitifs et photoélectriques

📖 3. Codeurs et fibres optiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Codeur incrémental : Produit une série d’impulsions correspondant au déplacement angulaire ; le comptage ou décomptage de ces impulsions permet à l’unité de traitement de déterminer la position du mobile.
• Codeur absolu : Associe un code binaire à chaque position angulaire de son axe, ce qui permet de connaître directement la position.

• Détecteur à fibre optique : Déporte le boîtier émetteur-récepteur du point de détection et transporte la lumière entre eux par une fibre optique.

📝 Points essentiels

• La résolution d’un codeur incrémental est le nombre de points par tour, égal au nombre d’impulsions délivrées pour un tour complet.

• Le déphasage de 90° électriques entre les signaux A et B d’un codeur incrémental permet de déterminer le sens de rotation.

• La piste Z d’un codeur incrémental délivre un signal par tour, appelé top zéro, qui fournit une position de référence et permet la réinitialisation à chaque tour.

📌 Le codeur incrémental transmet une information sur un seul bit, sensible aux parasites et nécessitant un calcul de position, tandis que le codeur absolu transmet plusieurs bits en parallèle et fournit une position toujours connue, moins sensible aux parasites.

• Les pistes d’un codeur absolu déterminent successivement le demi-tour, le quart de tour, puis des fractions de plus en plus petites ; la piste extérieure, appelée LSB, donne la précision finale.

• Les fibres optiques, de faibles dimensions, peuvent être installées dans des espaces exigus et servent à détecter de très petites cibles ; il existe des détecteurs à fibre optique de type barrage et de proximité.

💡 Astuce mémo

Incrémental : impulsions à compter ; absolu : code propre à chaque position

📖 4. Signaux, transmetteurs et installations

🔑 Notions clés & Définitions

• Transmetteur : Convertit le signal de sortie d’un capteur en un signal de mesure standard et assure le lien entre le capteur et le système de contrôle-commande.

• Transmetteur intelligent : Possède un module de communication et un microcontrôleur, permettant respectivement le réglage à distance et le raccordement de plusieurs transmetteurs sur une même ligne, puis la conversion de la mesure et la correction de l’influence des grandeurs perturbatrices.
• Boîtier antidéflagrant : Résiste sans dommage à une explosion interne et empêche que celle-ci provoque à l’extérieur des étincelles ou des flammes susceptibles d’enflammer l’atmosphère environnante.
• Sécurité intrinsèque : Équipement qui ne peut libérer, en conditions normales ou anormales, une énergie électrique suffisante pour enflammer un mélange atmosphérique dangereux spécifique.

★ À maîtriser

📌 Un signal analogique peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle, tandis qu’un signal numérique ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs, généralement une puissance de 2.

📌 Un capteur actif fonctionne comme un générateur et convertit directement une forme d’énergie associée à la grandeur physique en énergie électrique, tandis qu’un capteur passif fait varier une impédance qui doit être mesurée dans un circuit alimenté.

Compléments

• Les signaux analogiques peuvent être continus, porteurs d’une forme temporelle ou porteurs d’une information fréquentielle.

• Les types de signaux numériques cités sont :

  • le tout-ou-rien
  • le train d’impulsions
  • l’échantillonnage d’un signal analogique

• Les effets physiques cités pour les capteurs actifs sont :

  • l’effet thermoélectrique
  • l’effet piézoélectrique
  • l’effet d’induction électromagnétique
  • l’effet photoélectrique
  • l’effet Hall
  • l’effet photovoltaïque

• La variation d’impédance d’un capteur passif résulte soit d’un changement de dimension du capteur, soit d’une déformation produite par une force ou une grandeur apparentée.

• Pour régler un transmetteur à réglages analogiques, il faut régler le zéro lorsque la grandeur mesurée est au minimum de l’étendue de mesure, puis régler le gain lorsqu’elle est au maximum.

• Les avantages métrologiques cités du transmetteur intelligent comprennent :

  • la précision
  • la rangeabilité
  • la répétabilité
  • l’autosurveillance
  • la position de repli
  • le traitement du signal par filtrage

• Le choix d’un transmetteur doit tenir compte de l’étendue de mesure et de la valeur maximale mesurée, des températures du procédé et de l’ambiance, de l’humidité, de la corrosion et de l’éventuelle présence de zones dangereuses.

• La plupart des éléments détecteurs électroniques de transmetteurs ne fonctionnent pas convenablement au-delà de 107 °C, et la plupart des électroniques ne peuvent dépasser une température de service de 93 °C ; de nombreux composants ont une température maximale de fonctionnement correct de 85 °C.

• La zone 0 est une zone où un mélange explosif est présent en permanence, la zone 1 une zone où il peut se former en fonctionnement normal et la zone 2 une zone où il ne peut apparaître qu’en cas de fonctionnement anormal.

📖 5. Extraction liquide-liquide

★ À maîtriser

• Dans la colonne d’extraction, la phase organique, moins dense, entre par le bas et monte, tandis que la phase aqueuse entre par le haut et descend ; leur contact favorise le transfert du soluté vers la phase aqueuse.

• La sonde Pt100 a une résistance de 100 Ω à 0 °C et de 138,5 Ω à 100 °C, et sa réponse est considérée linéaire entre ces températures.

• Les cannes C1 et C2 servent à mesurer la masse volumique organique, C2 et C3 le niveau d’interface, et C3 et C4 la masse volumique aqueuse.

📐 Formule - La loi de Beer-Lambert s’écrit $I_T = I_0 e^{-{\alpha}LC}$, où I0 est l’intensité incidente, IT l’intensité transmise, α le coefficient d’absorption, L l’épaisseur traversée et C la concentration molaire.

Compléments

• La formation de l’émulsion est favorisée par des plateaux perforés horizontaux et par des à-coups de pression produits par la jambe de pulsation.

• La vanne de pulsation V1 s’ouvre pendant 3 secondes toutes les 2 minutes tandis que l’évent V2 se ferme.

• L’extrait aqueux est soutiré au pied de la colonne et le raffinat organique est recueilli par débordement en haut de l’installation.

• Le transmetteur TT1 doit délivrer un signal standard de 4 à 20 mA pour des températures comprises entre 10 et 50 °C.

• Les cotes des cannes de bullage sont Z1 = 14,6 m, Z2 = 14,3 m, Z3 = 13,7 m et Z4 = 13,4 m.

• Les pressions relatives relevées aux cannes C1 à C4 sont respectivement 27 mbar, 54 mbar, 116 mbar et 149 mbar.

• Lors de l’étalonnage du spectromètre infrarouge, le solvant pur correspond à une concentration C0 = 0 et à un signal de 92 % de l’étendue de mesure, tandis qu’un échantillon à 3,2 mol·L⁻¹ donne 26 %.

📖 6. Mesures et étalonnage du nylon

★ À maîtriser

• Le sel de nylon est une solution d’hexaméthylène diamine et d’acide adipique ; l’eau en est éliminée par évaporation avant la polymérisation dans le réacteur finisseur.

• Les transmetteurs de l’installation sont gradués de 0 à 100 % et fonctionnent en mode direct, de sorte que leur signal varie dans le même sens que la grandeur physique.

Compléments

• Le sel de nylon est soutiré sous 40 bars vers les bobinoirs et un dispositif de granulation ; la granulation permet de maintenir la production continue lorsque les bobinoirs fonctionnent en discontinu.

• La pression en sortie de la pompe volumétrique augmente lorsque le signal de commande de la vitesse du moteur augmente.

• La température du polymère dans le réacteur finisseur est portée à 180 °C par un fluide caloporteur à 250 °C circulant dans une double enveloppe.

• Les mesures de température sont réalisées par des capteurs Pt100 en montage 3 fils.

• Le convertisseur TY1 transforme une mesure de résistance en un signal de courant de 4 à 20 mA.

📐 Formule - La résistance résultante d’un capteur de résistance RT monté en parallèle avec une résistance de correction RC vérifie $\frac{1}{R_S}=\frac{1}{R_T}+\frac{1}{R_C}$.

📖 7. Instrumentation des cuves

★ À maîtriser

• Dans la boucle de niveau de la cuve A, la pression du positionneur électropneumatique augmente avec le signal 4–20 mA, la vanne est fermée en absence de signal et le niveau augmente avec le signal de commande.

• La température de la cuve B est mesurée par une sonde PT100 3 fils et un conditionneur délivrant un signal de 4 à 20 mA pour une plage de 15 à 80 °C.

• Les exercices de conversion utilisent un standard de pression de 200 à 1000 mbar et un standard de courant de 4 à 20 mA.

Compléments

• Dans la cuve A cylindrique de diamètre 2 m, le transmetteur ultrasonore délivre un signal de 4 à 20 mA pour un niveau variant de 0 à 2,5 m.

• Dans la cuve A, le transmetteur de niveau ultrasonore peut être configuré pour afficher le volume de produit restant à partir du niveau.

• La mesure du débit de recyclage du produit A, qui est visqueux, utilise un organe déprimogène associé à un transmetteur de pression différentielle.

• La cuve C est cylindrique de diamètre 1 m et son transmetteur hydrostatique délivre un signal de 4 à 20 mA pour un niveau compris entre 0,2 m et 2,5 m.

• Les exercices demandent de convertir un signal normalisé en pourcentage d’échelle, de déterminer le signal correspondant à un pourcentage d’ouverture et de retrouver une grandeur physique à partir du signal et de son étendue de mesure.

📖 8. Principes de la régulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Régulation : Ensemble des techniques utilisées pour contrôler une grandeur physique, par exemple la pression, la température, le débit ou le niveau.
• Grandeur réglée : Grandeur physique que l’on désire contrôler et qui donne son nom à la régulation.
• Consigne : Valeur que doit prendre la grandeur réglée.
• Grandeur réglante : Grandeur physique choisie pour contrôler la grandeur réglée et généralement de nature différente de celle-ci.
• Grandeurs perturbatrices : Grandeurs physiques qui influencent la grandeur réglée et sont généralement de nature différente de celle-ci.
• Organe de réglage : Élément qui agit sur la grandeur réglante.
• Servomécanisme : Système asservi qui amplifie la puissance et dont la grandeur réglée est mécanique, comme un effort, un couple, une position, une vitesse ou une accélération.

★ À maîtriser

• Une régulation mesure la grandeur réglée avec un capteur, compare cette mesure à la consigne avec le régulateur qui élabore un signal de commande, puis agit sur la grandeur réglante par l’intermédiaire d’un organe de réglage.

📌 En régulation, la grandeur réglée est maintenue constante malgré les perturbations, tandis qu’en asservissement elle doit suivre rapidement les variations de la consigne.

📌 En fonctionnement en boucle ouverte, l’opérateur contrôle l’organe de réglage et il ne s’agit pas d’une régulation, tandis qu’en boucle fermée le régulateur compare la mesure à la consigne et agit pour les rapprocher.

Compléments

• Une bonne régulation peut réduire le coût de transformation en diminuant la disparité de la grandeur réglée et en permettant d’abaisser la consigne tout en maintenant le fonctionnement à la limite.

• Dans l’exemple du dépôt électrolytique, la diminution de la disparité de l’épaisseur du revêtement permet de réduire la consigne de 1 μm tout en obtenant une épaisseur minimale sur toutes les pièces.

• Une bonne régulation peut accélérer le système sans entraîner de dépassement de la consigne, réduire le temps de montée en température et éviter l’installation d’un dispositif de refroidissement.

💡 Astuce mémo

Mesurer → comparer → agir

📖 9. Schémas PCF et TI

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de circulation des fluides : Représentation des appareils, des organes de puissance, de la nature et du sens d’écoulement des fluides ainsi que des grandeurs physiques utiles du procédé.
• Schéma TI : PCF instrumenté complété par les appareils de mesure, de contrôle et de calcul, les actionneurs et les liaisons entre ces appareils ; il est aussi appelé P&ID ou PID dans l’industrie.

★ À maîtriser

• Dans le symbole d’un instrument, un cercle contient des lettres qui indiquent la grandeur physique mesurée et la ou les fonctions de l’instrument ; la première lettre désigne la grandeur mesurée et les suivantes sa fonction.

• Dans le symbole d’un appareil de calcul, la première lettre indique la grandeur réglée et Y en deuxième lettre désigne une fonction mathématique ; le cadre précise le calcul réalisé.

• Dans le symbole d’un régulateur, la première lettre indique la grandeur réglée et la lettre C en deuxième ou troisième position désigne la fonction de régulation ; un I en deuxième position indique un régulateur indicateur.

Compléments

• La norme NF E 04-203 définit la représentation symbolique des régulations, des mesures et des automatismes des processus industriels.

• Les schémas TI distinguent les liaisons au procédé, les liaisons par signal pneumatique, les liaisons par signal électrique et les transmissions numériques binaires.

• Les lettres utilisées pour les grandeurs mesurées comprennent :

  • A : analyse
  • P : pression
  • F : débit
  • T : température
  • D : densité
  • L : niveau
  • PD : différence de pression

• Les lettres utilisées pour les fonctions d’instrument comprennent :

  • T : transmetteur
  • I : indicateur
  • A : alarme
  • S : sécurité
  • E : capteur
  • R : enregistreur

• Les indications de niveau actif comprennent :

  • L : bas
  • H : haut
  • LL : très bas
  • HH : très haut

• Les symboles de calcul comprennent :

  • Sommateur (∑)
  • Extracteur de racine carrée (√)
  • Intégrateur (∫)
  • Multiplication (×)
  • Addition (+)
  • Soustraction (−)
  • Proportion ou division (%)
  • Module avance-retard (A/R)

• Les conversions représentées dans les schémas comprennent I/P pour intensité-pression et I/E pour courant-tension.

• Les actionneurs comprennent :

  • Vannes
  • Pompes
  • Agitateurs motorisés
  • Gradateurs

• Les symboles de vannes distinguent :

  • Vanne manuelle
  • Vanne quart de tour
  • Vanne automatique à servomoteur à membrane
  • Vanne de régulation
  • Vanne de régulation avec positionneur pneumatique
  • Vanne de régulation avec positionneur électropneumatique

💡 Astuce mémo

Le PCF décrit le procédé ; le TI ajoute l’instrumentation et ses liaisons

📖 10. Schémas fonctionnels et caractéristiques des procédés

🔑 Notions clés & Définitions

• Procédé naturellement stable : Répond par une variation finie de la grandeur réglée S à une variation finie de la grandeur réglante E.
• Procédé naturellement instable : Répond par une variation continue de la grandeur réglée S à une variation finie de la grandeur réglante E.
• Caractéristique statique : Courbe de la sortie S en fonction de l’entrée E, soit $S=f(E)$.
• Erreur statique : Différence entre la consigne W et la mesure de la valeur réglée X, soit $\varepsilon_s=W-X$.
• Temps de réponse : Aptitude du système à suivre les variations de la grandeur réglante.
• Procédé intégrateur : Pour une entrée E constante, sa sortie S est une droite croissante.
• Régime permanent : Fonctionnement d’un système qui peut être décrit de manière simple.
• Système linéaire : Système dont le fonctionnement peut être décrit à l’aide d’équations mathématiques linéaires.

★ À maîtriser

• Un schéma fonctionnel représente les relations entre grandeurs physiques d’une boucle de régulation au moyen de lignes de parcours, de blocs gain et de sommateurs ou soustracteurs.

• Le premier dépassement qualifie la stabilité d’un système : plus il est important, plus le système est proche de l’instabilité.

• En asservissement, à perturbations constantes et lorsque la consigne varie, la performance se juge par la précision en régime permanent, le temps de réponse à 5 % et la stabilité évaluée par le dépassement relatif.

• En régulation, à consigne constante et lorsque des perturbations varient, la précision dépend de εs, la rapidité se mesure par le temps de re-stabilisation à 0 % et la stabilité se caractérise par le nombre d’oscillations et l’écart relatif maximal εmax relatif.

Compléments

• La température d’une pièce est un exemple de grandeur réglée d’un procédé stable, et la puissance du radiateur en est la grandeur réglante.

• Lors du passage d’un régime permanent à un autre, le système traverse un régime transitoire.

📌 La caractéristique statique ne peut être tracée que pour un système stable.

• Pour une réponse à un échelon, le temps de réponse à 10 % indiqué dans l’exemple vaut $T_1-T_0$.

💡 Astuce mémo

Procédé stable : variation finie ; procédé intégrateur : sortie croissante.

📖 11. Régulateurs, raccordement et action TOR

🔑 Notions clés & Définitions

• Procédé direct : Procédé dont la sortie varie dans le même sens que son entrée.

★ À maîtriser

• En mode automatique, la sortie du régulateur dépend de la mesure et de la consigne, tandis qu’en mode manuel ce n’est pas le cas.

• Si le procédé est direct, le régulateur doit être réglé en action inverse ; si le procédé est inverse, le régulateur doit être réglé en action directe.

• Pour stabiliser une boucle de régulation, le régulateur doit agir contre une variation non désirée de X, de sorte qu’une augmentation de X tende à être diminuée par l’action combinée du régulateur et du procédé.

• En action discontinue, la sortie Y du régulateur ne prend que les valeurs 0 et 100, tandis qu’en action continue elle peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et 100.

Compléments

• Le signal de mesure X est l’image de la grandeur réglée, fournie par un capteur et un transmetteur sous forme de signal électrique ou pneumatique.

• La consigne W peut être fournie localement par l’opérateur ou provenir d’une source externe.

📌 Un transmetteur 4 fils est actif, possède une alimentation et fournit le courant I ; un transmetteur 3 fils est également actif et se distingue par ses entrées moins reliées ; un transmetteur 2 fils est passif, sans alimentation propre, et contrôle le courant I fourni par une alimentation externe.

• Une boucle de courant 4-20 mA comprend un générateur qui fournit le courant et un ou plusieurs récepteurs qui mesurent le courant qui les traverse.

• Dans une boucle de courant, le courant sort par la borne positive du générateur et entre par la borne positive des récepteurs.

• Les éléments sont classés ainsi :

  • Récepteurs : transmetteur 2 fils
  • Récepteurs : entrée mesure du régulateur
  • Récepteurs : enregistreur
  • Récepteurs : organe de réglage
  • Générateurs : transmetteurs 4 fils
  • Générateurs : sortie de commande du régulateur
  • Générateurs : alimentation

• Pour réaliser un câblage de boucles de courant, il faut déterminer le nombre de boucles, inventorier l’instrumentation de chacune, repérer son unique générateur, relier les bornes positives et négatives du générateur aux bornes correspondantes d’un récepteur, relier si possible les bornes disponibles des récepteurs entre elles, puis vérifier que chaque boucle comporte autant de fils de liaison que d’éléments.

📌 La somme des résistances d’entrée des récepteurs d’une boucle est limitée ; il faut notamment tenir compte des boucles de plus de 1000 m et des résistances de mesure ajoutées.

• Le fonctionnement discontinu d’un régulateur est aussi appelé Tout Ou Rien (TOR).

💡 Astuce mémo

Seuil TOR plus faible → commutations plus fréquentes et amplitude plus faible.

📖 12. Identification et transformée de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Identification d’un système : L’identification d’un système consiste à déterminer, généralement expérimentalement, sa fonction de transfert.

★ À maîtriser

📐 Formule - En chaîne ouverte, la fonction de transfert est le rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée, soit $H(p)=\frac{X(p)}{Y(p)}$.

📐 Formule - La transformée de Laplace d’une fonction f(t) est définie par $F(p)=\int_0^{\infty} f(t)e^{-pt}\,dt$.

Compléments

📌 L’identification peut s’effectuer en chaîne ouverte, lorsque le système étudié n’est pas asservi, ou en chaîne fermée, lorsqu’un régulateur asservit le système.

• Pour identifier un système en chaîne ouverte, on lui applique un signal d’entrée connu, par exemple une impulsion, un échelon ou une rampe, puis on enregistre et analyse le signal de sortie.

📌 La réponse impulsionnelle est la sortie obtenue lorsqu’on applique une impulsion en entrée, tandis que la réponse indicielle est la sortie obtenue lorsqu’on applique un échelon.

• La transformée de Laplace associe à une fonction temporelle f(t) une image F(p) dans un domaine symbolique où la variable est p plutôt que le temps t.

📌 La transformée de Laplace d’une somme de fonctions est la somme de leurs transformées, et la transformée du produit d’une fonction par une constante est le produit de sa transformée par cette même constante.

📐 Formule - Sous les conditions initiales nulles indiquées, la transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction est $\mathcal{L}\{f'(t)\}=pF(p)$.

📐 Formule - La transformée de Laplace de l’intégrale de f(t) est $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(u)\,du\right\}=\frac{F(p)}{p}$.

• La fonction de transfert d’un dérivateur est p, tandis que celle d’un intégrateur est 1/p.

• Un retard de durée τ multiplie l’image de Laplace F(p) par $e^{-p\tau}$.

📐 Formule - L’image de la fonction amortie f(t)e^{-at} s’obtient en remplaçant p par p+a dans F(p), soit $\mathcal{L}\{f(t)e^{-at}\}=F(p+a)$.

📖 13. Opérations sur les schémas-blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelon-unité : nul avant l’instant initial et vaut 1 pour t > 0
• Schéma-blocs : Représentation d’un système composé de sous-systèmes par des blocs associés à leurs transmittances, qui rassemble les informations nécessaires à la simulation du système global

★ À maîtriser

• Un échelon de position d’amplitude a a pour image de Laplace $\frac{a}{p}$.

• L’échelon de vitesse de a unités par seconde est la rampe de position de pente a, représentée par $a t u(t)$, et son image s’obtient en multipliant celle de l’échelon de position par $\frac{1}{p}$.

📌 Pour des blocs en série, la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert des blocs : $G(p)=G_1(p)G_2(p)G_3(p)$.

📌 Pour des blocs en parallèle dont les sorties s’additionnent, la fonction de transfert globale est la somme des fonctions de transfert : $G(p)=G_1(p)+G_2(p)+G_3(p)$.

Compléments

• L’échelon d’accélération de a unités par seconde-carré est représenté par la parabole de position $\frac{a t^2}{2}u(t)$, et son image s’obtient en multipliant celle de l’échelon de vitesse par $\frac{1}{p}$.

• La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit des fonctions de transfert de la chaîne directe et de la chaîne de retour.

• Pour calculer la sortie d’un système à deux entrées par superposition, on annule successivement chaque entrée, on calcule la sortie due à l’autre entrée, puis on additionne les sorties obtenues.

📖 14. Régulateur industriel et actions PID

🔑 Notions clés & Définitions

• Régulateur industriel : Appareil comportant un signal normalisé de mesure en entrée et un signal de commande en sortie visualisables, une consigne réglable et visualisable, ainsi qu’un réglage des paramètres de l’algorithme de calcul

★ À maîtriser

📌 En action directe, l’erreur est définie par $\varepsilon(p)=X(p)-W(p)$, tandis qu’en action inverse elle est définie par $\varepsilon(p)=W(p)-X(p)$.

• L’action proportionnelle accélère la réponse de la mesure et réduit l’écart à la consigne ; augmenter son gain réduit le temps de montée et l’écart statique, mais diminue la stabilité en boucle fermée et sollicite davantage l’actionneur à l’instant initial.

• L’action intégrale supprime l’écart statique, mais une augmentation excessive peut déstabiliser le procédé ; son action augmente lorsque la constante de temps d’intégration $T_i$ diminue.

• L’action dérivée compense le temps mort du procédé et peut stabiliser le procédé en réduisant le premier dépassement ; augmenter $T_d$ réduit ce dépassement, mais sollicite davantage l’actionneur à l’instant initial.

Compléments

• L’action dérivée appliquée à l’écart peut saturer l’actionneur lors d’un échelon de consigne, car la variation de l’écart est alors infinie ; pour éviter ce phénomène, la plupart des régulateurs permettent de l’appliquer uniquement à la mesure.

• Les actions élémentaires peuvent être assemblées en structures parallèle, série ou mixte, et la structure mixte est indiquée comme la plus utilisée par les constructeurs.

• La bande proportionnelle $BP$ ou $XP$ d’un régulateur s’exprime en pourcentage et est liée à son gain $A$.

📖 15. Précision des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart statique : Différence en régime permanent entre la consigne fixée et la mesure contrôlée pour une entrée en échelon de position
• Écart de vitesse : Écart associé à une entrée en rampe
• Écart d’accélération : Écart associé à une entrée quadratique en temps

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une boucle de transfert direct $C(p)H(p)$, l’écart vérifie $\varepsilon(p)=\frac{W(p)}{1+C(p)H(p)}$.

• Quand la classe du système augmente, la précision s’améliore, mais la stabilité est compromise.

• Le procédé étudié pour le réglage PI mixte est modélisé par $H(p)=\frac{0{,}48e^{-118p}}{1+68p}$, avec $T=68\,\mathrm{s}$ et $\tau=118\,\mathrm{s}$.

Compléments

📐 Formule - Si $C(p)H(p)=\frac{K}{p^\alpha}T(p)$ avec $T(0)=1$, alors $\alpha$ est le nombre d’intégrations, appelé classe du système.

• Pour un système de classe 0, les écarts de vitesse et d’accélération tendent vers l’infini.

• Pour un système de classe 1, l’écart statique est nul, l’écart de vitesse vaut $\frac{b}{K}$ et l’écart d’accélération tend vers l’infini.

• Pour un système de classe 2, les écarts statique et de vitesse sont nuls et l’écart d’accélération vaut $\frac{c}{K}$.

• Pour l’identification par la méthode de Broïda, la réponse indicielle du procédé est obtenue après un échelon de commande d’amplitude 10 %, régulateur en manuel.

• Le correcteur PI mixte considéré a pour fonction de transfert $C(p)=A\left(1+\frac{1}{T_i p}\right)$.

📖 16. Asservissement du courant d’excitation

★ À maîtriser

• Le correcteur de l’asservissement est de type proportionnel intégral et sa fonction de transfert est $C(p)=K_p\frac{1+T_i p}{T_i p}$.

📐 Formule - L’inducteur, constitué d’une résistance $R_e$ et d’une inductance $L_e$ en série, a pour fonction de transfert $Y(p)=\frac{1}{R_e+L_e p}=\frac{K_e}{1+T_e p}$.

📌 La présence de l’action intégrale dans le correcteur permet d’obtenir une erreur statique nulle en régime établi.

Compléments

• La machine auxiliaire de l’asservissement du courant d’excitation est assimilée à un gain constant $A=22$.

• Le capteur de courant a une sensibilité $B=10\,\mathrm{mV.A^{-1}}$ et mesure le courant d’excitation $i_e$.

📐 Formule - Les paramètres du modèle de l’inducteur sont $K_e=\frac{1}{R_e}$ et $T_e=\frac{L_e}{R_e}$.

• L’inducteur possède une résistance $R_e=0{,}12\,\Omega$ et une inductance propre $L_e=0{,}33\,\mathrm{H}$.

📐 Formule - Lorsque $T_i=T_e$, la fonction de transfert réduite de la chaîne directe est un gain constant $H(p)=K$, avec $K=K_pK_eA$.

📐 Formule - La fonction de transfert en boucle fermée réduite est $T_{BF}(p)=\frac{1}{1+T p}$, où $T=\frac{T_e}{K_pK_eAB}$.

📖 17. Régulation du niveau d’un réservoir

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart de régulation : L’écart de régulation $\varepsilon$ est la différence entre la consigne convertie $V_c$ et le signal de retour $V_r$, soit $\varepsilon=V_c-V_r$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une variation de niveau $dN$ dans un réservoir de section constante $S_R$ correspond à une variation de volume $dV=S_R\,dN$.

📐 Formule - Le bilan des débits du réservoir vérifie $S_R\frac{dN}{dt}=Q_e-Q_s$.

📌 En régime statique, le niveau reste constant lorsque le débit de remplissage $Q_e$ est égal au débit de vidange $Q_s$.

Compléments

• La section du réservoir est $S_R=1103\,\mathrm{m^2}$ et les niveaux minimal et maximal mesurables sont respectivement $N_{min}=0\,\mathrm{m}$ et $N_{max}=2\,\mathrm{m}$.

📐 Formule - Avec des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace du bilan des débits est $S_R pN(p)=Q_e(p)-Q_s(p)$.

📐 Formule - Le débit de remplissage est proportionnel à la position de vanne selon $Q_e=1{,}6\times10^{-3}X$, avec $Q_e$ en $\mathrm{m^3.s^{-1}}$ et $0<X<100$.

📐 Formule - Le signal de retour du capteur de niveau est $V_r=k_NN$, avec $k_N=1000\,\mathrm{m^{-1}}$.

• Le correcteur étudié pour la variation de consigne est de type PID, avec $C(p)=A\left(1+\frac{1}{T_i p}+T_d p\right)$.

💡 Astuce mémo

L’écart de débits Qe − Qs fait varier le niveau N.

📖 18. Modèle de Broïda pour un procédé retardé

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante de temps : La constante de temps τ du modèle de Broïda est calculée à partir des temps t1 et t2 correspondant respectivement à 28 % et 40 % de la variation totale de la mesure.
• Temps mort : Le temps mort T du modèle de Broïda représente le retard calculé à partir des temps t1 et t2 correspondant respectivement à 28 % et 40 % de la variation totale de la mesure.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le modèle de Broïda utilise les relations $\tau = 5{,}5(t_2-t_1)$ et $T=2{,}8t_1-1{,}8t_2$, où t1 et t2 sont les temps mis par la mesure pour atteindre respectivement 28 % et 40 % de sa variation totale.

• Le dégazeur réduit les concentrations d’oxygène O₂ et de dioxyde de carbone CO₂ dans l’eau d’appoint des chaudières industrielles afin de diminuer les risques de corrosion.

• Dans le dégazeur, l’eau est maintenue à une pression de 0,3 à 0,7 bar et à une température de 107 à 115 °C, correspondant à une légère ébullition.

Compléments

• La réponse indicielle en boucle fermée du système étudié est représentée sur le document réponse 3 par une échelle temporelle graduée de 100 à 600 s et des repères de sortie à 0,95NC, NC, 1,05NC et 1,22NC.

• Dans le dégazeur, le mélange de vapeur et des gaz cédés par l’eau d’alimentation est évacué à l’atmosphère par un évent au fur et à mesure de sa formation.