Fiche de révision : Champ électrique et électrostatique

📋 Plan du Cours

1. Charges électriques et électrisation
2. Force et champ de Coulomb
3. Répartition continue des charges
4. Équations de Maxwell et potentiel
5. Symétries et surfaces équipotentielles
6. Passage entre deux milieux
7. Champ d’une sphère chargée
8. Potentiel d’une sphère chargée

📖 1. Charges électriques et électrisation

★ À maîtriser

📌 Deux objets frottés peuvent acquérir des charges électriques : deux objets en ébonite se repoussent, deux objets en verre se repoussent, tandis que le verre et l’ébonite s’attirent.

• L’interaction électrique est à distance, plus forte que l’interaction entre deux masses, et peut être attractive ou répulsive, contrairement à l’interaction gravitationnelle qui est toujours attractive.

• Lors du frottement entre deux objets neutres, des électrons sont arrachés en surface : l’objet qui perd des électrons se charge positivement et celui qui les gagne se charge négativement.

• Dans le système international, la charge électrique q s’exprime en coulombs, de symbole C.

• La charge élémentaire vaut e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C ; l’électron porte qₑ = −e et le proton porte qₚ = +e.

Compléments

• Les charges électriques sont additives et réparties en deux types, appelés arbitrairement charges positives et charges négatives ; les électrons portent une charge négative et les protons une charge positive.

💡 Astuce mémo

Charges de même signe se repoussent ; charges de signes opposés s’attirent.

📖 2. Force et champ de Coulomb

★ À maîtriser

📐 Formule - La force exercée par la charge ponctuelle q₁ sur q₂ est $\vec F_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec u_{r1}$, avec r ≠ 0.

📌 Les forces électrostatiques vérifient le principe d’action et de réaction : $\vec F_{12}=-\vec F_{21}$.

📐 Formule - Le champ créé par une charge ponctuelle q à une distance r est $\vec E(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q}{r^2}\vec u_r$, pour r ≠ 0.

Compléments

• La balance de Coulomb a servi à la détermination expérimentale de la force électrostatique en 1785.

• La permittivité diélectrique ε du milieu s’exprime en farads par mètre ; dans le vide, ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹.

📌 Les lignes de champ d’une charge ponctuelle positive sont divergentes, tandis que celles d’une charge ponctuelle négative sont convergentes.

📖 3. Répartition continue des charges

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge volumique : La charge volumique ρ(M) est la charge dq contenue dans un élément de volume dτ rapportée à ce volume, soit $\rho(M)=\frac{dq}{d\tau}$, et s’exprime en C·m⁻³.
• Charge surfacique : La charge surfacique σ(M) est la charge dq contenue dans un élément de surface dS rapportée à cette surface, soit $\sigma(M)=\frac{dq}{dS}$, et s’exprime en C·m⁻².
• Charge linéique : La charge linéique λ(M) est la charge dq contenue dans un élément de longueur dℓ rapportée à cette longueur, soit $\lambda(M)=\frac{dq}{d\ell}$, et s’exprime en C·m⁻¹.

📝 Points essentiels

• Une répartition de charges peut être modélisée comme continue à l’échelle macroscopique lorsque le domaine considéré contient une très grande densité de charges.

📖 4. Équations de Maxwell et potentiel

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation de Maxwell-Gauss s’écrit $\operatorname{div}(\varepsilon\vec E(M,t))=\rho(M,t)$.

📐 Formule - L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit $\operatorname{rot}\vec E(M,t)=-\frac{\partial\vec B(M,t)}{\partial t}$.

📐 Formule - En électrostatique, les équations locales sont $\operatorname{div}(\varepsilon\vec E(M))=\rho(M)$ et $\operatorname{rot}\vec E(M)=\vec 0$.

📐 Formule - Pour un champ électrostatique, le potentiel V vérifie $\vec E(M)=-\operatorname{grad}V(M)$ ; cette relation n’est pas généralement valable pour un champ électrique variable dans le temps.

📐 Formule - L’équation de Poisson est $\Delta V(M)+\frac{\rho(M)}{\varepsilon}=0$ ; lorsque ρ = 0, elle devient l’équation de Laplace $\Delta V=0$.

Compléments

📌 La divergence de εE a les dimensions d’une charge volumique ; elle ne peut donc pas être égale directement à une charge surfacique σ ou à une charge linéique λ.

💡 Astuce mémo

En électrostatique, rot E = 0 → le champ dérive d’un potentiel.

📖 5. Symétries et surfaces équipotentielles

★ À maîtriser

📌 En un point d’un plan de symétrie de la répartition des charges, le champ électrique est porté par ce plan ; en un point d’un plan d’antisymétrie, il lui est normal.

📌 Les lignes de champ électrique sont normales aux surfaces équipotentielles en tout point.

Compléments

• Les lignes de champ sont symétriques par rapport aux plans de symétrie et antisymétriques par rapport aux plans d’antisymétrie de la répartition des charges.

💡 Astuce mémo

Plan de symétrie : E dans le plan ; plan d’antisymétrie : E normal au plan.

📖 6. Passage entre deux milieux

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction électrique : Le vecteur induction électrique D est défini par $\vec D=\varepsilon\vec E$.

★ À maîtriser

📐 Formule - À l’interface de deux milieux, la composante tangentielle du champ vérifie $\vec n_{12}\wedge(\vec E_2-\vec E_1)=\vec 0$, les valeurs étant prises de part et d’autre de l’interface.

📐 Formule - À l’interface, la composante normale vérifie $\vec n_{12}\cdot(\varepsilon_2\vec E_2-\varepsilon_1\vec E_1)=\sigma$.

📌 Si σ = 0 à l’interface, la composante normale de εE est continue, alors que la composante normale de E n’est pas nécessairement continue lorsque les permittivités diffèrent.

Compléments

• Les relations de passage s’appliquent en des points situés de part et d’autre de l’interface et très proches l’un de l’autre, et non en deux points quelconques des milieux.

💡 Astuce mémo

À l’interface, E tangent est continu ; E normal peut être discontinu.

📖 7. Champ d’une sphère chargée

★ À maîtriser

• Pour déterminer le champ d’une distribution sphérique, on choisit des coordonnées sphériques centrées au centre de la sphère, puis on exploite les plans de symétrie et l’invariance par rotation pour réduire le champ à une composante radiale ne dépendant que de r.

📐 Formule - À l’intérieur de la sphère chargée, pour r < R, le champ est $\vec E(r)=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_1}r\vec u_r$.

📐 Formule - À l’extérieur de la sphère chargée, pour r > R, le champ est $\vec E(r)=\frac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r^2}\vec u_r$.

Compléments

• Une sphère de rayon R uniformément chargée avec une densité volumique ρ₀ > 0, de permittivité intérieure ε₁ et placée dans un milieu extérieur de permittivité ε₀, présente une densité ρ = ρ₀ pour r ≤ R et ρ = 0 pour r > R.

• Au centre de la sphère, la symétrie impose un champ nul, soit $\vec E(r=0)=\vec 0$.

📌 En l’absence de charge surfacique à r = R, la composante normale de εE est continue à la surface de la sphère.

💡 Astuce mémo

À l’intérieur, E croît comme r ; à l’extérieur, il décroît comme 1/r².

📖 8. Potentiel d’une sphère chargée

★ À maîtriser

• En électrostatique, le champ de la sphère admet un potentiel V tel que $\vec E=-\operatorname{grad}V$.

📌 Pour fixer le potentiel absolu de la sphère, on choisit V nul à l’infini et on impose la continuité de V en r = R.

📐 Formule - Le potentiel absolu à l’intérieur de la sphère, pour r ≤ R, est $V(r)=-\frac{\rho_0}{3\varepsilon_1}r^2+\frac{\rho_0R^2}{3}\left(\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_0}\right)$.

📐 Formule - Le potentiel absolu à l’extérieur de la sphère, pour r > R, est $V(r)=\frac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r}$.

Compléments

• La symétrie sphérique de la distribution impose que le potentiel ne dépende que de la distance r au centre.