Fiche de révision : Champ électrique et théorème de Gauss

📋 Plan du Cours

1. Charge électrique et loi de Coulomb
2. Action à distance et champ électrique
3. Champ créé par une charge ponctuelle
4. Champ électrique et force électrique
5. Lignes de champ électrique
6. Superposition des champs électriques
7. Distributions continues de charges
8. Calcul du champ par intégration
9. Symétries et invariances
10. Flux électrique
11. Théorème de Gauss
12. Applications du théorème de Gauss
13. Ordres de grandeur du champ

📖 1. Charge électrique et loi de Coulomb

★ À maîtriser

• Les charges électriques peuvent être positives ou négatives ; deux charges de même signe se repoussent et deux charges de signes opposés s’attirent.

📐 Formule - La charge électrique est quantifiée selon $q=Nq_e$, avec $q_e=1{,}602\ 176\ 634\times10^{-19}\ \mathrm{C}$.

📌 Dans un isolant, la charge reste à l’endroit où elle a été déposée, tandis que dans un conducteur elle se redistribue et se place en surface.

📐 Formule - Dans un milieu de permittivité relative $\varepsilon_r$, la permittivité vaut $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$ ; pour l’eau, $\varepsilon_r\approx80$ et la force est divisée par 80.

Compléments

• La charge électrique ne se crée pas : elle se transfère, notamment par déplacement des électrons et non des protons.

• Un corps neutre peut être attiré par une charge en raison de la formation d’un dipôle induit.

📌 La loi de Coulomb s’applique ici à des charges ponctuelles au repos dans le vide.

💡 Astuce mémo

Même signe : répulsion ; signes opposés : attraction.

📖 2. Action à distance et champ électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ physique : Grandeur dont la valeur varie selon les coordonnées de l’espace et éventuellement du temps, et qui est définie en tout point de l’espace.

★ À maîtriser

📌 Dans la vision de Faraday puis de Maxwell, une charge modifie l’espace autour d’elle et une autre charge réagit au champ présent à sa position.

📌 Un champ scalaire associe un nombre à chaque point, tandis qu’un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point ; le champ électrique est vectoriel.

Compléments

📌 Dans la vision de Coulomb et de Newton pour la gravitation, une charge agit directement et instantanément à distance, sans rôle de l’espace intermédiaire.

💡 Astuce mémo

Coulomb fait agir les charges ; Faraday fait réagir la charge à l’espace.

📖 3. Champ créé par une charge ponctuelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrique : Grandeur vectorielle créée par des charges sources en tout point de l’espace, même en l’absence d’une charge qui le subit.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le champ créé par une charge ponctuelle $q_1$ au point $M$ vaut $\vec E_{q_1}(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{r_{1M}^{2}}\vec u_{1M}$, où $r_{1M}$ est la distance source-point et $\vec u_{1M}$ est orienté de la source vers $M$.

📌 Le signe de la charge source détermine le sens du champ : une charge positive crée un champ dirigé vers l’extérieur et une charge négative un champ dirigé vers elle.

📐 Formule - Pour une charge ponctuelle, la norme du champ varie comme l’inverse du carré de la distance, soit $E\propto\frac{1}{r^2}$.

Compléments

• L’unité du champ électrique est le volt par mètre, noté V·m⁻¹.

• Pour une charge de 5 nC, le champ vaut 4,5 × 10⁵ V·m⁻¹ à 1 cm, 1,1 × 10⁵ V·m⁻¹ à 2 cm et 0,5 × 10⁵ V·m⁻¹ à 3 cm.

💡 Astuce mémo

Une charge positive fait fuir les flèches ; une charge négative les attire.

📖 4. Champ électrique et force électrique

★ À maîtriser

📐 Formule - La force exercée sur une charge $q_2$ placée dans le champ créé par $q_1$ est $\vec F_{1\to2}=q_2\vec E_{q_1}(M)$.

📌 Une charge test positive subit une force dans le sens du champ, tandis qu’une charge test négative subit une force en sens inverse.

📌 Le champ en un point dépend des charges sources et de la position, tandis que la force dépend aussi de la charge qui la subit.

Compléments

• Une charge d’épreuve très petite permet de détecter un champ sans perturber sensiblement ce qu’on mesure.

💡 Astuce mémo

La source fixe le sens de E ; la charge test fixe le sens de F.

📖 5. Lignes de champ électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de champ : Courbe dont la tangente en chaque point porte la direction du champ électrique en ce point.

📝 Points essentiels

📌 Deux lignes de champ électrique ne se croisent pas, car le champ ne peut pas avoir deux directions en un même point.

📖 6. Superposition des champs électriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Le champ total créé par plusieurs charges en M est la somme vectorielle de leurs champs : $\vec E_{\mathrm{tot}}(M)=\sum_{i=1}^{n}\vec E_{q_i}(M)=\sum_{i=1}^{n}k\frac{q_i}{r_i^2}\vec u_i$.

• Chaque charge crée son champ indépendamment des autres ; la présence d’une troisième charge ne modifie pas la force exercée par une première charge sur une deuxième.

• Pour calculer le champ de plusieurs charges, on repère les charges, choisit une base, exploite les symétries, projette les vecteurs puis les somme.

Compléments

📌 Pour calculer la norme du champ d’une charge, on prend la valeur absolue de la charge ; son signe sert à déterminer le sens du vecteur champ.

• Un champ total nul en un point peut résulter de la compensation de plusieurs champs, sans que les charges sources soient absentes.

💡 Astuce mémo

Repérer, choisir une base, exploiter les symétries, projeter, sommer.

📖 7. Distributions continues de charges

★ À maîtriser

📌 Une distribution continue de charges se décrit par une densité et se traite par intégration plutôt que par une somme charge par charge.

📐 Formule - Pour une répartition uniforme, une distribution linéique vérifie $Q=\lambda L$, une distribution surfacique $Q=\sigma S$ et une distribution volumique $Q=\rho V$.

Compléments

• La densité linéique λ s’exprime en C·m⁻¹, la densité surfacique σ en C·m⁻² et la densité volumique ρ en C·m⁻³.

📐 Formule - Un disque de rayon R portant une charge Q uniformément répartie a une densité surfacique $\sigma=\frac{Q}{\pi R^2}$.

📖 8. Calcul du champ par intégration

★ À maîtriser

• Pour calculer le champ d’une distribution continue, on la découpe en éléments de charge dq, on calcule leur champ élémentaire, puis on intègre les contributions.

📐 Formule - Un élément de charge dq situé en P crée en M un champ élémentaire $d\vec E_P(M)=k\frac{dq}{PM^2}\vec u_{PM}$.

📐 Formule - Le champ d’une distribution continue s’obtient par $\vec E(M)=\int d\vec E_P(M)=k\int\frac{dq}{PM^2}\vec u_{PM}$.

Compléments

📐 Formule - Les éléments de charge vérifient $dq=\lambda\,dl$ pour un fil, $dq=\sigma\,dS$ pour une surface et $dq=\rho\,dV$ pour un volume.

📐 Formule - Une intégrale vectorielle se décompose sur une base fixe en intégrales de ses composantes : $\vec E(M)=\int dE_x\vec i+\int dE_y\vec j+\int dE_z\vec k$.

💡 Astuce mémo

Découper en dq, calculer dE, projeter puis intégrer.

📖 9. Symétries et invariances

★ À maîtriser

• Selon le principe de Curie, les éléments de symétrie des causes d’un phénomène se retrouvent dans ses effets ; le champ possède donc les symétries de la distribution de charges qui le crée.

• Dans un plan de symétrie, le champ en un point appartenant à ce plan est parallèle à celui-ci, car les composantes perpendiculaires se compensent.

• Dans un plan d’antisymétrie, le champ en un point appartenant à ce plan est perpendiculaire à celui-ci.

• Les symétries déterminent la direction du champ, tandis que les invariances déterminent les variables dont ses composantes dépendent.

Compléments

• Si un point appartient à deux plans de symétrie de la distribution, le champ en ce point est porté par la droite d’intersection des deux plans.

• L’invariance d’une distribution par translation selon un axe implique que le champ ne dépend pas de la coordonnée le long de cet axe ; pour un fil infini selon Oy, le champ ne dépend pas de y.

• L’invariance d’une distribution par rotation autour d’un axe implique que le champ ne dépend pas de l’angle de rotation ; pour une invariance autour de Oz, ses composantes ne dépendent pas de θ.

💡 Astuce mémo

Les symétries fixent la direction de E ; les invariances fixent ses variables.

📖 10. Flux électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux électrique : Mesure algébrique des lignes de champ qui traversent une surface : les lignes sortantes sont comptées positivement et les entrantes négativement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un champ uniforme traversant une surface plane, le flux vaut $\Phi=\vec E\cdot\vec S$ et s’exprime en V·m.

📌 Le flux est maximal lorsque le champ est normal à la surface et nul lorsque le champ lui est tangent.

Compléments

• Pour une surface fermée, le vecteur surface est perpendiculaire à la surface, orienté vers l’extérieur et de norme égale à son aire.

📐 Formule - Pour une surface fermée courbe, le flux vaut $\Phi=\oiint_S\vec E(M)\cdot\vec n\,dS$, où $\vec n$ est la normale unitaire extérieure à la surface.

📖 11. Théorème de Gauss

★ À maîtriser

📌 Le théorème de Gauss énonce que le flux sortant du champ électrique total à travers une surface fermée est égal à la charge intérieure divisée par ε₀.

📐 Formule - Le théorème de Gauss s’écrit $\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$ pour une surface fermée S.

Compléments

• Le flux total à travers une surface fermée dépend de la charge qu’elle enferme, et non de son rayon ni de sa forme.

📌 Le théorème de Gauss est toujours vrai, mais il permet de calculer facilement le champ seulement si la symétrie permet de simplifier le flux et de sortir le champ de l’intégrale.

📖 12. Applications du théorème de Gauss

★ À maîtriser

• Pour calculer un champ avec le théorème de Gauss, on choisit une surface adaptée passant par M, détermine les symétries et invariances, calcule le flux par portions, puis applique le théorème et isole le champ.

• Pour un fil infini uniformément chargé de densité linéique λ, le champ à distance r est radial et vaut $\vec E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\vec u_r$.

Compléments

• Pour une charge ponctuelle Q, une sphère de rayon r centrée sur la charge donne un champ radial de norme $E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$.

💡 Astuce mémo

Surface, symétries, flux, puis théorème.

📖 13. Ordres de grandeur du champ

📝 Points essentiels

• Les ordres de grandeur sont :
  • Signal d’ECG à la peau : environ 10⁻² V·m⁻¹
  • Champ terrestre par beau temps : environ 10² V·m⁻¹
  • Champ sous un orage : environ 10⁴ V·m⁻¹
  • Claquage de l’air : 3 × 10⁶ V·m⁻¹
  • Membrane cellulaire : environ 10⁷ V·m⁻¹
  • Autour d’un noyau atomique : environ 10²¹ V·m⁻¹

📊 Tableaux de synthèse

Symétries et invariances du champ