Fiche de révision : Géométrie et nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et produit scalaire
2. Équations de droites et plans
3. Transformations linéaires du plan
4. Calcul et représentation des complexes
5. Opérations et degré des polynômes
6. Racines et factorisation des polynômes
7. Quantification et ensembles
8. Applications et composition
9. Démonstrations et raisonnements
10. Composition et fonction réciproque
11. Fonctions trigonométriques et réciproques
12. Changement de variable
13. Oscillateurs linéaires libres
14. Développements limités et calculs
15. Dérivées partielles et approximation
16. Extrema et points critiques
17. Gradient et opérateurs différentiels
18. Matrices et applications linéaires

📖 1. Vecteurs et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction ; cela équivaut à ce que l’un soit un multiple réel non nul de l’autre.
• Base orthonormée : Base dont les vecteurs sont de norme 1 et deux à deux orthogonaux.
• Famille libre : Une famille de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire de ses vecteurs égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls.
• Vecteur nul : Vecteur associé à un point et à lui-même, et colinéaire à tous les vecteurs.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux vecteurs non nuls formant un angle non orienté $\theta \in [0,\pi]$, leur produit scalaire vaut $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)$ ; si l’un des vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul.

• Dans l’espace, le produit vectoriel $\vec u\wedge\vec v$ est orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$, a pour norme $\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)$ lorsque $\theta\in]0,\pi[$, et son sens rend la base $(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)$ directe ; il est nul si les vecteurs sont colinéaires.

📐 Formule - Dans une base orthonormée directe, si $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$, alors $\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',\;zx'-xz',\;xy'-yx')$.

📌 Dans le plan, deux vecteurs forment une base si et seulement s’ils sont libres ; dans l’espace, trois vecteurs forment une base si et seulement s’ils sont libres.

📐 Formule - Dans une base orthonormée du plan, le produit scalaire de $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$ vaut $xx'+yy'$ ; dans l’espace, pour $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$, il vaut $xx'+yy'+zz'$.

📐 Formule - Dans une base canonique, si $M=(x,y)$ et $M'=(x',y')$, alors $\overrightarrow{MM'}=(x'-x,y'-y)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un vecteur unitaire $\vec i$, la projection orthogonale de $\vec u$ sur sa droite de direction est $\vec u'=(\vec u\cdot\vec i)\vec i$ ; pour un vecteur directeur non nul $\vec d$ quelconque, elle est $\vec u'=\frac{\vec u\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2}\vec d$.

• La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent.

📌 Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, alors que le produit vectoriel est antisymétrique et bilinéaire.

• Le plan est de dimension 2 et toute base du plan contient deux vecteurs ; l’espace est de dimension 3 et toute base de l’espace contient trois vecteurs.

• Dans une base orthonormée, le produit scalaire est symétrique et se distribue sur l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire.

💡 Astuce mémo

Le produit scalaire donne un nombre ; le produit vectoriel donne un vecteur.

📖 2. Équations de droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite affine : La droite passant par un point $A$ et dirigée par un vecteur non nul $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u$ pour un réel $\lambda$.
• Plan affine : Le plan passant par un point $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u+\mu\vec v$ pour deux réels $\lambda,\mu$.
• Cercle : Ensemble des points du plan situés à la distance r de A, où r ≥ 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le plan, la droite passant par $A=(a,b)$ et dirigée par $\vec u=(c,d)$ admet la représentation paramétrique $M(\lambda)=(a+\lambda c,b+\lambda d)$, où $\lambda\in\mathbb R$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé du plan, le point $M=(x,y)$ appartient à la droite passant par $A=(a,b)$ et dirigée par $\vec v=(s,t)\ne\vec 0$ si et seulement si $-t(x-a)+s(y-b)=0$.

• Dans l’espace, l’appartenance à une droite est caractérisée par un système de deux équations cartésiennes non multiples l’une de l’autre.

• Si un vecteur w est orthogonal aux vecteurs u et v qui engendrent le plan P passant par A, alors M appartient à P si et seulement si le produit scalaire du vecteur AM par w est nul.

📌 Une équation paramétrique décrit les points d’une droite avec un paramètre ou ceux d’un plan avec deux paramètres, tandis qu’une équation cartésienne permet de tester directement l’appartenance.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, un point M(x,y) appartient au cercle de centre A(a,b) et de rayon r si et seulement si $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Compléments

📐 Formule - Dans l’espace, le plan passant par $A=(a,b,c)$ et dirigé par $\vec u=(d,e,f)$ et $\vec v=(p,q,r)$ admet la représentation paramétrique $M(\lambda,\mu)=(a+\lambda d+\mu p,b+\lambda e+\mu q,c+\lambda f+\mu r)$, où $\lambda,\mu\in\mathbb R$.

📐 Formule - Dans l’espace, la droite passant par $(6{,}5{,}3)$ et dirigée par $(-1{,}1{,}2)$ est caractérisée par le système $x+y-11=0,\quad 2y-z-7=0$.

• Pour obtenir une équation cartésienne d’un plan de l’espace, on peut partir de sa représentation paramétrique et éliminer les deux paramètres.

• Un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan peut être obtenu par leur produit vectoriel.

• Un cercle de rayon nul est le singleton constitué de son centre.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique a pour équation $x^2+y^2=1$.

📌 Le cercle trigonométrique peut être décrit par l’équation cartésienne x² + y² = 1 ou par la représentation paramétrique (cos θ, sin θ), avec θ réel.

📖 3. Transformations linéaires du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation linéaire : Une transformation T est linéaire si, pour tous vecteurs u et v et tout réel λ, elle vérifie T(λu + v) = λT(u) + T(v).
• Translation : La translation de vecteur u associe à tout vecteur v le vecteur v + u.
• Homothétie : L’homothétie de rapport a associe à tout vecteur u le vecteur au.
• Rotation : La rotation d’angle θ associe à chaque vecteur u un vecteur de même norme, formant avec u un angle de mesure θ.

★ À maîtriser

📌 Une translation est une transformation affine, somme d’une transformation linéaire et d’une transformation constante, mais elle n’est pas linéaire en général.

Compléments

• Les rotations du plan sont des transformations linéaires.

• Dans une base (e₁,e₂), la symétrie S₁ sur la droite vectorielle engendrée par e₁ et parallèlement à celle engendrée par e₂ envoie x₁e₁ + x₂e₂ sur x₁e₁ − x₂e₂ ; la symétrie S₂ définie dans le même repère envoie ce vecteur sur −x₁e₁ + x₂e₂.

• Dans une base (e₁,e₂), la projection p₁ sur la droite engendrée par e₁ parallèlement à celle engendrée par e₂ envoie x₁e₁ + x₂e₂ sur x₁e₁, tandis que p₂ l’envoie sur x₂e₂.

• Les projections sur les deux directions d’une base sont orthogonales lorsque ces directions sont orthogonales.

📖 4. Calcul et représentation des complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme cartésienne : La forme cartésienne d’un nombre complexe est son écriture unique z = x + iy, où x et y sont réels et i² = −1.
• Partie réelle : Pour z = x + iy, la partie réelle de z est x, notée ℜ(z).
• Partie imaginaire : Pour z = x + iy, la partie imaginaire de z est y, notée ℑ(z).
• Conjugué : Le conjugué de z = x + iy est le complexe x − iy.
• Module : Le module du complexe z = x + iy est le réel positif défini par $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Argument : Un argument d’un complexe non nul z est un réel θ tel que z = |z|e^{iθ} ; ses arguments sont θ + 2kπ pour k entier.
• Polynôme : Un polynôme à coefficients dans K, où K vaut ℝ ou ℂ, est une suite (aᵢ)ᵢ∈ℕ d’éléments de K qui sont tous nuls à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour z₁ = x₁ + iy₁ et z₂ = x₂ + iy₂, leur produit est $z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$.

📐 Formule - Pour tous complexes z₁ et z₂, le module du produit vérifie $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$.

📐 Formule - Pour tout réel θ, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et ce complexe est de module 1.

📌 Deux exponentielles complexes e^{iα} et e^{iβ} sont égales si et seulement si α = β + 2kπ pour un entier k ; cette relation s’écrit α ≡ β [2π].

📐 Formule - Le produit de deux complexes écrits sous forme trigonométrique vérifie $(\rho_1e^{i\theta_1})(\rho_2e^{i\theta_2})=\rho_1\rho_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.

Compléments

• Un complexe dont la partie réelle est nulle est un imaginaire pur, et l’ensemble des imaginaires purs est noté iℝ.

📐 Formule - Pour tout complexe non nul z, son inverse est $z^{-1}=\frac{\overline z}{|z|^2}$.

📐 Formule - Pour tous complexes z₁ et z₂, l’inégalité triangulaire donne $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$.

• Dans ℂ, la relation d’ordre ≤ n’est pas définie et les expressions √z et ln(z) ne sont pas définies pour un complexe quelconque z.

📖 5. Opérations et degré des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de polynômes : La somme de deux polynômes définis par les suites de coefficients (aᵢ) et (bᵢ) est le polynôme défini par la suite (aᵢ + bᵢ).
• Produit de polynômes : Si P et Q ont pour suites de coefficients (aᵢ) et (bᵢ), leur produit a pour coefficient d’indice i la somme $c_i = \sum_{k=0}^{i} a_k b_{i-k}$.
• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand indice de coefficient non nul, et le degré du polynôme nul est fixé par convention à −∞.
• Fonction polynomiale : La fonction polynomiale associée à un polynôme $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ est la fonction de K dans K définie par $P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est défini par la suite dont tous les coefficients sont nuls et se note 0.
• Multiplication par un scalaire : La multiplication d’un polynôme défini par (aᵢ) par un scalaire λ est le polynôme défini par la suite (λaᵢ).
• Monôme : Un monôme est un polynôme comportant au plus un terme non nul, de la forme aₖXᵏ.

★ À maîtriser

• Un polynôme P de degré n s’écrit $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$, où X est l’indéterminée, et l’ensemble des polynômes à coefficients dans K se note K[X].

📌 Pour deux polynômes P et Q, le degré de leur somme vérifie $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$, tandis que si P et Q sont non nuls, $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$.

Compléments

📌 Pour un polynôme P et un scalaire λ, deg(λP) = deg P si λ ≠ 0, et deg(λP) = −∞ si λ = 0.

📖 6. Racines et factorisation des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un nombre complexe α est une racine d’un polynôme P si P(α) = 0.
• Multiplicité d’une racine : Un nombre complexe a est une racine de multiplicité m de P si $P(X)=(X-a)^mQ(X)$ pour un polynôme Q tel que Q(a) ≠ 0.
• Énoncé : Un énoncé est une affirmation dont tous les mots sont entièrement définis de façon à éviter toute ambiguïté.
• Équivalence logique : L’équivalence logique E₁ ⇔ E₂ est la conjonction des implications E₁ ⇒ E₂ et E₂ ⇒ E₁.
• Division euclidienne : Pour des polynômes A et B de K[X], avec B ≠ 0, il existe un unique couple de polynômes Q et R tel que A = BQ + R et deg(R) < deg(B).
• Proposition logique : Une proposition logique est une affirmation grammaticalement bien formée, mais dont les termes peuvent ne pas être assez définis pour déterminer si elle est vraie ou fausse.
• Implication réciproque : L’implication réciproque de E₁ ⇒ E₂ est E₂ ⇒ E₁.

★ À maîtriser

📌 Si α est une racine de P, alors il existe un polynôme Q tel que P = (X − α)Q.

• Tout polynôme complexe de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins une racine complexe. - d’Alembert-Gauss, Théorème de d’Alembert-Gauss

• Tout polynôme complexe de degré n ≥ 1 possède exactement n racines complexes en comptant les répétitions et se factorise en produit de n facteurs linéaires, multiplié par son coefficient dominant.

📌 Un polynôme de degré au plus n qui possède strictement plus de n racines distinctes est le polynôme nul.

• En logique classique, un énoncé possède une unique valeur de vérité, vraie ou fausse.

• La conjonction E₁ et E₂ est vraie si les deux énoncés sont vrais et fausse si au moins l’un des deux est faux.

• La disjonction E₁ ou E₂ est vraie si au moins l’un des deux énoncés est vrai et fausse s’ils sont tous deux faux.

• L’implication E₁ ⇒ E₂ est fausse uniquement lorsque E₁ est vrai et E₂ est faux.

Compléments

📌 Un nombre complexe a est une racine de multiplicité m de P si et seulement si P(a) = P′(a) = ⋯ = P⁽ᵐ⁻¹⁾(a) = 0 et P⁽ᵐ⁾(a) ≠ 0.

💡 Astuce mémo

Une racine α entraîne le facteur X − α.

📖 7. Quantification et ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Connecteur unaire qui inverse la valeur de vérité de E.
• Ensemble : Collection d’objets, éventuellement finie ou infinie ; la notion d’ensemble est primitive et ne peut pas être entièrement définie.
• Appartenance : La relation d’appartenance s’écrit x ∈ A lorsque x est un élément de A, et x ∉ A lorsque x n’en est pas un.
• Ensemble vide : Unique ensemble qui ne contient aucun élément.
• Quantificateurs : Les deux quantificateurs sont le quantificateur existentiel ∃ et le quantificateur universel ∀.

★ À maîtriser

• Pour tout énoncé E, la double négation vérifie $E \Leftrightarrow \neg(\neg E)$ et constitue une tautologie de la logique classique.

• Pour tout énoncé E, le tiers exclu vérifie $E \lor \neg E$ et constitue une tautologie de la logique classique.

• La négation d’une conjonction vérifie $\neg(E_1 \land E_2) \Leftrightarrow \neg E_1 \lor \neg E_2$.

• La négation d’une disjonction vérifie $\neg(E_1 \lor E_2) \Leftrightarrow \neg E_1 \land \neg E_2$.

• La négation d’une implication vérifie $\neg(E_1 \Rightarrow E_2) \Leftrightarrow E_1 \land \neg E_2$.

• La contraposition est la tautologie $E_1 \Rightarrow E_2 \Leftrightarrow \neg E_2 \Rightarrow \neg E_1$.

• Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments, c’est-à-dire si chaque élément de A appartient à B et chaque élément de B appartient à A.

• Un énoncé ∃a ∈ A, E(a) affirme qu’au moins un élément de A vérifie E, tandis que ∀a ∈ A, E(a) affirme que tous les éléments de A vérifient E.

• L’ordre de quantificateurs successifs de nature différente est crucial, car intervertir ∀ et ∃ peut modifier la signification et la valeur de vérité de l’énoncé.

• La négation d’un énoncé universel et celle d’un énoncé existentiel vérifient respectivement $\neg(\forall a \in A, E(a)) \Leftrightarrow \exists a \in A, \neg E(a)$ et $\neg(\exists a \in A, E(a)) \Leftrightarrow \forall a \in A, \neg E(a)$.

Compléments

• La négation d’un énoncé se note ¬E et se lit « non E ».

📖 8. Applications et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Restriction : Application à un sous-ensemble de son domaine qui conserve ses valeurs sur ce sous-ensemble et a pour domaine ce sous-ensemble.
• Composition : Pour f : A → B et g : B → C, la composée g ◦ f est l’application de A dans C définie par (g ◦ f)(a) = g(f(a)).
• Injection : Une application f : A → B est injective si, pour tous a₁ et a₂ de A, a₁ ≠ a₂ implique f(a₁) ≠ f(a₂).
• Surjection : Une application f : A → B est surjective si tout élément de B est l’image d’au moins un élément de A, ce qui équivaut à f(A) = B.
• Bijection : Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
• Application réciproque : Toute bijection f : A → B possède une application réciproque f⁻¹ : B → A telle que f⁻¹ ◦ f = idA et f ◦ f⁻¹ = idB.
• Ensemble fini : Un ensemble est fini s’il est en bijection avec [[1,n]] pour un entier naturel n, qui est alors son cardinal.
• Ensemble dénombrable : Un ensemble en bijection avec ℕ est dit dénombrable, car cette bijection permet d’en numéroter tous les éléments.
• Prolongement : Application à un sur-ensemble de son domaine dont la restriction à ce domaine est h.

★ À maîtriser

• Une application de A dans B associe à chaque élément de A un et un seul élément de B.

• Les ensembles fondamentaux de nombres sont emboîtés selon les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Compléments

📌 Deux applications sont égales si et seulement si elles ont le même domaine et donnent la même image à chaque élément de ce domaine.

📌 Lorsque A est un intervalle de ℝ et que B vaut ℝ ou ℂ, une application est aussi appelée fonction ; il s’agit du même concept dans un cas particulier.

• Les applications f : ℝ → ℝ, x ↦ x², et g : ℝ → ℝ, t ↦ t² sont égales, car le changement de nom de la variable ne modifie pas leur graphe fonctionnel.

📌 La composition des applications est associative : h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f lorsque les applications sont composables.

• L’application f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x² n’est ni injective, car f(−1) = f(1), ni surjective, car aucun réel n’a pour image −1.

📖 9. Démonstrations et raisonnements

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome : Énoncé admis vrai au départ et utilisé comme point de départ des démonstrations.
• Théorème : Énoncé établi comme vrai en le déduisant des axiomes ou d’énoncés déjà démontrés.
• Démonstration : Suite finie de déductions partant d’énoncés vrais et aboutissant à établir la vérité d’un énoncé conclusion.
• Raisonnement par récurrence : Méthode qui prouve un énoncé E(n) pour tout n ∈ ℕ en établissant E(0), puis l’implication E(n) ⇒ E(n + 1) pour tout n ∈ ℕ.
• Dérivée en un point : La dérivée de f en a, lorsqu’elle existe, est la limite $f'(a)=\lim_{h\to 0,\,h\ne 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📝 Points essentiels

📌 Le modus ponens permet de déduire E₂ de E₁ et de l’implication vraie E₁ ⇒ E₂.

📌 Pour démontrer une implication E₁ ⇒ E₂ par contraposition, il suffit de démontrer ¬E₂ ⇒ ¬E₁.

• Pour démontrer E par l’absurde, on suppose ¬E et on en déduit une contradiction, ce qui permet de conclure que E est vrai en logique classique.

• Pour réfuter un énoncé E, on peut démontrer ¬E ou établir que E entraîne une contradiction.

• Pour démontrer un énoncé E par l’absurde, on suppose ¬E, on en déduit une contradiction, puis on conclut que E est vrai.

• Pour prouver par l’absurde que √2 est irrationnel, on suppose √2 = p/q avec p et q entiers positifs choisis minimaux et on déduit que p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit leur minimalité.

📌 L’initialisation vérifie E(0), tandis que la propagation établit E(n) ⇒ E(n + 1) pour tout entier naturel n.

📐 Formule - Pour tout n ∈ ℕ, $\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.

📌 Une fonction est croissante si x ≤ y entraîne f(x) ≤ f(y), décroissante si x ≤ y entraîne f(x) ≥ f(y), et monotone si elle est croissante ou décroissante.

• Si une fonction est dérivable en a, elle est continue en a, mais une fonction continue en a n’est pas nécessairement dérivable en a.

📌 Sur un intervalle, si f′ est positive, f est croissante ; si f′ est négative, f est décroissante ; f′ est nulle si et seulement si f est constante.

💡 Astuce mémo

Pour réfuter, exhiber un contre-exemple ou une contradiction ; pour prouver, déduire ou changer de méthode.

📖 10. Composition et fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Fonction définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)) : on applique d’abord f à x, puis g au résultat.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ qui vérifie f′(x) = f(x) et f(0) = 1.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l’exponentielle, définie sur ℝ₊*, continue, strictement croissante et dérivable, avec ln′(x) = 1/x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables f et g, $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$.

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur [a,b] est une bijection vers [f(a),f(b)] si elle est croissante, ou vers [f(b),f(a)] si elle est décroissante ; sa réciproque est continue et strictement monotone dans le même sens.

• La fonction réciproque vérifie f(f⁻¹(y)) = y pour tout y de l’image de f et f⁻¹(f(x)) = x pour tout x du domaine de f.

📐 Formule - Si f est strictement monotone et dérivable, alors f⁻¹ est dérivable en y lorsque f′(f⁻¹(y)) ≠ 0, et $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$

• Pour des entiers relatifs m et n et x ≠ 0, les puissances vérifient $x^n x^m=x^{n+m}$ et $(x^n)^m=x^{nm}.$

📌 La racine carrée est définie sur ℝ₊ et renvoie une valeur positive, tandis que la racine cubique est définie sur ℝ et peut prendre des valeurs négatives.

📐 Formule - Pour x > 0, les puissances réelles sont définies par $x^a=\exp(a\ln(x))$ et vérifient $(x^a)'=ax^{a-1}.$

Compléments

• Si f et g sont toutes deux impaires, leur composée g ∘ f est impaire ; si f est croissante et g décroissante, g ∘ f est décroissante.

📌 La composée de deux fonctions continues est continue.

• Le graphe de f⁻¹ est le symétrique du graphe de f par rapport à la droite y = x.

• Si f′(f⁻¹(y)) = 0, le graphe de f présente une tangente horizontale au point correspondant et celui de f⁻¹ une tangente verticale.

• Les fonctions polynomiales sont continues et dérivables sur ℝ, et les fonctions rationnelles le sont sur tout intervalle où leur dénominateur ne s’annule pas.

• L’exponentielle est positive, vérifie exp(x+y) = exp(x)exp(y), exp(−x) = 1/exp(x), et tend vers +∞ en +∞ et vers 0 en −∞.

💡 Astuce mémo

Dans g ∘ f, appliquer f d’abord, puis g.

📖 11. Fonctions trigonométriques et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions hyperboliques : Pour tout réel x, cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2 et sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ)/2.
• Tangente hyperbolique : La tangente hyperbolique est définie sur ℝ par tanh(x) = sinh(x)/cosh(x), est impaire et strictement croissante, et prend ses valeurs dans ]−1,1[.
• Arc tangente : La fonction arctan est la réciproque de tan restreinte à ]−π/2, π/2[ ; elle est définie sur ℝ, continue, strictement croissante et vérifie arctan′(x) = 1/(1+x²).
• Arc sinus : La fonction arcsin est définie sur [−1,1], à valeurs dans [−π/2,π/2], continue, strictement croissante et dérivable sur ]−1,1[, où arcsin′(x) = 1/√(1−x²).
• Arc cosinus : La fonction arccos est définie sur [−1,1], à valeurs dans [0,π], continue, strictement décroissante et dérivable sur ]−1,1[, où arccos′(x) = −1/√(1−x²).
• Primitive du logarithme : Sur $]0,+\infty[$, une primitive de $\ln(x)$ est $x\ln(x)-x+C$, où $C\in\mathbb{R}$.
• Tangente : La tangente est définie par tan(x) = sin(x)/cos(x) lorsque cos(x) ≠ 0.
• Exponentielle complexe : Pour c = a + ib et x réel, eᶜˣ = eᵃˣ(cos(bx) + i sin(bx)), et la dérivée de x ↦ eᶜˣ est c eᶜˣ.

★ À maîtriser

• Les fonctions sinus et cosinus sont continues, dérivables et 2π-périodiques ; sin est impaire, cos est paire, et sin²(x) + cos²(x) = 1.

📐 Formule - Les dérivées trigonométriques vérifient $\sin'(x)=\cos(x),\qquad \cos'(x)=-\sin(x).$

Compléments

📐 Formule - Les fonctions hyperboliques vérifient $\cosh'(x)=\sinh(x),\qquad \sinh'(x)=\cosh(x),\qquad \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1.$

• Pour $T>0$, l’intégration par parties donne $\int_0^T te^{-t}\,dt=1-(T+1)e^{-T}$.

• L’intégrale $\int_0^T te^{-t}\,dt$ tend vers $1$ lorsque $T$ tend vers l’infini.

💡 Astuce mémo

arcsin croît sur [−1,1], tandis qu’arccos y décroît

📖 12. Changement de variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique de $y''+ay'+by=f(x)$, où $a$ et $b$ sont constants, est $P(X)=X^2+aX+b\in\mathbb{R}[X]$.
• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique de l’équation différentielle homogène y''+ay'+by=0 est $P(X)=X^2+aX+b$, et son discriminant est $\Delta=a^2-4b$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $u:[a,b]\to I$ est dérivable, si $u'$ est continue sur $[a,b]$ et si $f:I\to\mathbb{R}$ est continue, alors $\int_a^b u'(t)f(u(t))\,dt=\int_{u(a)}^{u(b)}f(t)\,dt$.

📐 Formule - Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x))+C$.

📐 Formule - Le discriminant du polynôme caractéristique $P(X)=X^2+aX+b$ est $\Delta=a^2-4b$.

📌 Le signe de $\Delta$ détermine la nature des racines de $P$ : deux racines réelles distinctes si $\Delta>0$, une racine réelle double si $\Delta=0$, et deux racines complexes distinctes si $\Delta<0$.

• Le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes si $\Delta>0$, une racine réelle double si $\Delta=0$ et deux racines complexes distinctes si $\Delta<0$.

• Si $\Delta>0$ et si les racines réelles distinctes sont $\lambda_1,\lambda_2$, les solutions réelles sont $g(x)=Ae^{\lambda_1x}+Be^{\lambda_2x}$ avec $A,B\in\mathbb R$.

• Si $\Delta=0$ et si la racine double réelle est $\lambda$, les solutions réelles sont $g(x)=Ae^{\lambda x}+Bxe^{\lambda x}$ avec $A,B\in\mathbb R$.

• Si $\Delta<0$ et si une racine est $\lambda=\rho+i\omega$, les solutions réelles sont $g(x)=Ae^{\rho x}\cos(\omega x)+Be^{\rho x}\sin(\omega x)$ avec $A,B\in\mathbb R$.

Compléments

📐 Formule - Pour les intervalles et fonctions admissibles, $\int_a^b f(x+x_0)\,dx=\int_{a+x_0}^{b+x_0}f(t)\,dt$.

📐 Formule - Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int f(x+x_0)\,dx=F(x+x_0)+C$ sur l’intervalle où cette expression est définie.

• Le changement de variable $u(t)=t^2$ transforme $\int_1^9\frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx$ en $\int_1^3\frac{2t}{1+t}\,dt$, dont la valeur est $4-2\ln(2)$.

• Pour la méthode physicienne, on exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle, on dérive pour relier les différentielles, on transforme les bornes et l’intégrande, puis on calcule l’intégrale obtenue.

📐 Formule - Pour $p\ne0$, si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int f(px+x_0)\,dx=\frac{1}{p}F(px+x_0)+C$.

📐 Formule - Pour $p\ne0$, $\int_a^b f(px+x_0)\,dx=\frac{1}{p}\int_{pa+x_0}^{pb+x_0}f(x)\,dx$.

📖 13. Oscillateurs linéaires libres

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction lisse : Fonction de classe $C^\infty$, c’est-à-dire dérivable un nombre infini de fois.
• Petit o : La relation $f=o_{x_0}(g)$ signifie qu’au voisinage de $x_0$, on peut écrire $f=\varepsilon g$ avec $\varepsilon(x)\to0$ lorsque $x\to x_0$.
• Voisinage : Partie de $\mathbb R$ qui contient un intervalle ouvert contenant $x_0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un oscillateur masse-ressort non amorti, l’équation du déplacement est $x''+\frac{k}{m}x=0$ et sa pulsation propre est $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

• La solution réelle générale de l’oscillateur non amorti est $x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$.

📐 Formule - Pour un oscillateur amorti libre, l’équation normalisée est $x''+2\mu x'+\omega_0^2x=0$, avec $\omega_0=\sqrt{k/m}$ et $2\mu=\nu/m$.

• Pour l’oscillateur amorti, $\Delta=4(\mu^2-\omega_0^2)$ : $\Delta>0$ correspond au régime sur-amorti, $\Delta=0$ au régime critique et $\Delta<0$ au régime sous-amorti.

📌 Si une fonction dérivable possède un extremum local en un point intérieur, sa dérivée y est nulle, mais une dérivée nulle ne garantit pas un extremum local.

📐 Formule - Pour une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.

Compléments

• Avec $x(0)=x_0$ et $x'(0)=0$, le déplacement est $x(t)=x_0\cos(\omega_0t)$, de période $T=2\pi/\omega_0$ et d’amplitude $x_0$.

• Dans le régime sous-amorti, les oscillations ont une période $2\pi/\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}$ et une amplitude qui décroît selon une enveloppe exponentielle en $e^{-\mu t}$.

• Si une fonction est de classe $C^n$, elle est aussi de classe $C^{n-1}$, et ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont continues.

• Si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)<0$, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$ ; si $f''(x_0)>0$, elle admet un minimum local.

• Si $|f'(x)|\le M$ sur $]a,b[$, alors $|f(b)-f(a)|\le M(b-a)$.

• Lorsque $g$ ne s’annule pas dans un voisinage de $x_0$ sauf éventuellement en $x_0$, $f=o_{x_0}(g)$ équivaut à $f(x)/g(x)\to0$ et $f\sim_{x_0}g$ équivaut à $f(x)/g(x)\to1$.

📌 Pour $n>m\ge0$, $O_{x_0}((x-x_0)^n)+O_{x_0}((x-x_0)^m)=O_{x_0}((x-x_0)^m)$ : on conserve le terme qui tend le moins vite vers zéro.

💡 Astuce mémo

Oscillateur non amorti : amplitude constante ; sous-amorti : amplitude décroissante.

📖 14. Développements limités et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Un développement limité de $f$ à l’ordre $n$ en $x_0$ est une écriture $f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+O_0(h^n)$ lorsque $h\to0$.
• Troncature polynomiale : La troncature $T_{\leq n}P$ d’un polynôme P conserve uniquement ses termes de degré inférieur ou égal à n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de Taylor-Young donne $f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+O_0(h^n)$ pour une fonction n fois dérivable en un point intérieur.

📌 Si f et g admettent à l’ordre n des développements limités de parties principales P et Q, alors leur somme a pour partie principale P+Q et leur produit a pour partie principale $T_{\leq n}(PQ)$.

• Pour calculer à l’ordre n le développement limité d’un produit, on remplace chaque facteur par son développement limité à l’ordre n, on développe, puis on conserve les termes jusqu’au degré n.

📌 Si f et g admettent des développements limités à l’ordre n en x₀ et en y₀=f(x₀), alors la composée vérifie $g\circ f(x_0+h)=T_{\leq n}Q(hP(h))+O_0(h^n),$ lorsque leurs développements s’écrivent respectivement f(x₀+h)=y₀+hP(h)+O₀(hⁿ) et g(y₀+ℓ)=Q(ℓ)+O₀(ℓⁿ).

Compléments

• La partie principale d’un développement limité est le polynôme de degré inférieur ou égal à l’ordre considéré, et le terme en petit o constitue son reste.

📌 Le développement limité d’une fonction, s’il existe à un ordre donné en un point, est unique.

📌 Un développement limité à l’ordre n fournit, par troncature, un développement limité à tout ordre inférieur.

• Si le premier coefficient non nul d’un développement limité est $a_p$, alors $f(x)\sim_{x_0}a_p(x-x_0)^p$.

• Les développements limités de référence en zéro incluent ceux de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $1/(1-x)$, $1/(1+x)$, $\log(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$.

• Pour additionner deux développements limités du même ordre, on additionne leurs parties principales et on conserve un reste du même ordre.

• Pour multiplier deux développements limités du même ordre, on multiplie leurs parties principales puis on supprime les termes de degré supérieur à l’ordre considéré.

• Si f admet à l’ordre n un développement limité de partie principale P, alors, pour tout entier N supérieur ou égal à 1, f^N a pour partie principale $T_{\leq n}(P^N)$.

📐 Formule - Pour f(x)=e^x\log(1+x), le développement limité en 0 à l’ordre 4 est $f(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O_0(x^4).$

📌 Pour obtenir un développement limité ailleurs qu’en 0, on peut ramener le calcul en 0 par une propriété de la fonction, par exemple en factorisant e^{2+x}=e^2e^x ou en écrivant log(2+x)=log 2+log(1+x/2).

📖 15. Dérivées partielles et approximation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction à valeurs scalaires : Associe à chaque d-uplet réel de son domaine un nombre réel.
• Ligne de niveau : Ensemble des points (x,y) tels que f(x,y)=c.
• Courbe paramétrée : Fonction X:I→ℝᵈ qui associe à chaque paramètre t un point X(t) de ℝᵈ, et dont l’image est orientée dans le sens des valeurs croissantes de t.
• Champ de vecteurs : Fonction qui associe à chaque point de ℝᵈ un vecteur de ℝᵈ.
• Dérivée partielle : Dérivée en x₀ de la fonction x↦f(x,y₀), où y est maintenu fixé ; la dérivée par rapport à y se définit de même en maintenant x fixé.
• Gradient : Champ de vecteurs dont les composantes sont les dérivées partielles de f ; en deux variables, $\\nabla f=\\begin{pmatrix}\\partial f/\\partial x\\\\\\partial f/\\partial y\\end{pmatrix}.$
• Dérivée selon un vecteur : Dérivée en t=0 de la fonction t↦f(x₀+tu₀,y₀+tv₀).
• Graphe d’une fonction : Ensemble des points (x₁,…,x_d,z) de ℝᵈ⁺¹ tels que z=f(x₁,…,x_d).
• Différentielle : Application linéaire donnée par $df_{(x_0,y_0)}(u,v)=u\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x_0,y_0)+v\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x_0,y_0).$

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction lisse f de deux variables, l’approximation au premier ordre en (x₀,y₀) est $f(x_0+u,y_0+v)=f(x_0,y_0)+u\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+v\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+o_0(\sqrt{u^2+v^2}).$

Compléments

• Les lignes de niveau associées à deux valeurs distinctes c₁ et c₂ d’une même fonction sont disjointes.

• Si f est lisse, sa dérivée selon (u₀,v₀) en (x₀,y₀) vaut $u_0\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+v_0\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0).$

• La dérivée partielle de f par rapport à y est nulle en tout point de ℝ² si et seulement si f ne dépend pas de y.

📖 16. Extrema et points critiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur dérivé : Pour une courbe paramétrée $X(t)=(x_1(t),\ldots,x_d(t))$, le vecteur dérivé est $X'(t)=(x'_1(t),\ldots,x'_d(t))$.
• Extremum local : Un point est un extremum local si, dans un disque centré en ce point, la fonction y atteint un maximum ou un minimum ; l’extremum est strict si l’égalité avec sa valeur n’a lieu qu’en ce point.

★ À maîtriser

• Si $X'(t_0)\ne 0$, alors $X'(t_0)$ est un vecteur directeur de la droite tangente à la courbe image au point $X(t_0)$.

📐 Formule - Pour $F=f\circ X$, où $X(t)=(x(t),y(t))$, la dérivée composée vérifie $F'(t)=x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(X(t))+y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}(X(t))=X'(t)\cdot\nabla f(X(t))$.

📌 Si une courbe paramétrée reste sur une ligne de niveau de $f$, alors son vecteur tangent est orthogonal au gradient de $f$ en chaque point de la courbe.

📐 Formule - Le plan tangent au graphe de $f$ au point de coordonnées $\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr)$ a pour équation $z=f(x_0,y_0)+(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$.

📌 Tout maximum ou minimum local d’une fonction lisse est un point critique et vérifie $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$.

📐 Formule - Au point critique où $p=q=0$, on pose $D=rt-s^2$ : si $D>0$, le point est un extremum local strict, minimum si $r>0$ et maximum si $r<0$ ; si $D<0$, c’est un point selle ; si $D=0$, le test ne permet pas de conclure.

Compléments

• En un point régulier, le gradient indique la direction de plus grande pente de la fonction, tandis que la direction opposée correspond à la plus forte décroissance.

• Pour une fonction lisse, les dérivées partielles secondes croisées sont égales : $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$. - Schwarz

• Avec les notations de Monge, $p=f_x(x_0,y_0)$, $q=f_y(x_0,y_0)$, $r=f_{xx}(x_0,y_0)$, $s=f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$ et $t=f_{yy}(x_0,y_0)$.

📐 Formule - L’approximation au second ordre d’une fonction lisse est $f(x_0+u,y_0+v)=f(x_0,y_0)+pu+qv+\frac12(ru^2+2suv+tv^2)+o(u^2+v^2)$.

• Pour $f(x,y)=-xy$, l’origine est un point critique qui n’est pas un extremum local.

📖 17. Gradient et opérateurs différentiels

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un champ $E=(E_x,E_y)$ sur $\mathbb R^2$, $\operatorname{div}E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}$ ; sur $\mathbb R^3$, on ajoute le terme $\frac{\partial E_z}{\partial z}$.

📐 Formule - Pour une fonction scalaire, le laplacien est $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}$ sur $\mathbb R^2$ et $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$ sur $\mathbb R^3$ ; il vérifie aussi $\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f)$.

• L’opérateur de la chaleur est $\frac{\partial}{\partial t}-\Delta$ et l’équation de la chaleur sans source s’écrit $\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f=0$.

• L’opérateur des ondes, ou d’Alembertien, est $\Box=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$ et l’équation des ondes s’écrit $\Box f=0$.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées polaires, le gradient s’écrit $\nabla f=\frac{\partial f_p}{\partial\rho}\,e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial f_p}{\partial\phi}\,e_\phi$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le gradient s’écrit $\nabla f=\frac{\partial f_s}{\partial r}\,e_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f_s}{\partial\theta}\,e_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f_s}{\partial\phi}\,e_\phi$.

📐 Formule - Pour un champ $E=(E_x,E_y,E_z)$ sur $\mathbb R^3$, son rotationnel est $\operatorname{rot}E=\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z},\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)$.

• Pour le champ $E=(x/r^3,y/r^3,z/r^3)$, où $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $r\ne0$, la divergence est nulle.

• Pour la gaussienne $f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$, le laplacien vaut $\Delta f(x,y)=4(x^2+y^2-1)e^{-(x^2+y^2)}$.

• En l’absence de potentiel, l’équation de Schrödinger s’écrit $i\frac{\partial f}{\partial t}+\Delta f=0$, où la fonction d’onde $f$ est à valeurs complexes.

📐 Formule - L’opérateur de Liouville s’écrit $Lf=\frac{\partial f}{\partial t}+v\cdot\nabla_x f$, où $f$ dépend du temps, des trois coordonnées d’espace et des trois coordonnées de vitesse.

📖 18. Matrices et applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une application linéaire $T:E\to E$ vérifie $T(u+v)=T(u)+T(v)$ et $T(\lambda u)=\lambda T(u)$ pour tous vecteurs $u,v$ et tout réel $\lambda$.
• Matrice réelle : Une matrice réelle de taille $m\times n$ est un tableau rectangulaire de coefficients réels comportant $m$ lignes et $n$ colonnes.
• Matrice de transition : Une matrice de transition est une matrice carrée dont les coefficients sont positifs ou nuls et dont chaque colonne a pour somme 1.
• Vecteur d’état : Un vecteur d’état est un vecteur-colonne dont les coefficients sont positifs ou nuls et dont la somme vaut 1.
• Vecteur d’état stationnaire : Un vecteur d’état stationnaire $X^*$ vérifie $AX^*=X^*$ pour la matrice de transition $A$.

★ À maîtriser

• Toute application linéaire de $\mathbb R^2$ dans lui-même est déterminée par l’image des deux vecteurs d’une base.

📐 Formule - Toute application linéaire de $\mathbb R^2$ s’écrit $T\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\cx+dy\end{pmatrix}$ pour des réels $a,b,c,d$.

• Dans un système dynamique linéaire, l’évolution est donnée par $X_{k+1}=AX_k$ et donc $X_k=A^kX_0$; un état stationnaire reste inchangé au cours du temps.

Compléments

• La linéarité équivaut à chacune des formulations $T(u+\lambda v)=T(u)+\lambda T(v)$ et $T(\lambda u+\mu v)=\lambda T(u)+\mu T(v)$ pour tous vecteurs et réels concernés.

• Toute application linéaire vérifie $T(0)=0$ et $T(-u)=-T(u)$.

• Les homothéties, les rotations, les projections, les symétries associées à une base, l’identité et l’application nulle sont linéaires, tandis qu’une translation de vecteur non nul ne l’est pas.

• Toute matrice de transition d’ordre 2 différente de $I_2$ possède un unique vecteur d’état stationnaire.

• Dans le modèle économique, la matrice de transition est $\begin{pmatrix}0{,}25&0{,}6\\0{,}75&0{,}4\end{pmatrix}$ : le secteur des biens consacre 75 % de sa valeur aux services et le secteur des services 60 % de sa valeur aux biens.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications