QCM : Géométrie et nombres complexes (71 questions)

Question 1

1. Deux vecteurs non nuls sont-ils colinéaires lorsque l’un est un multiple réel non nul de l’autre ?

Oui, car leur produit scalaire est alors nul.

Non, car ils doivent avoir la même norme.

Oui, car ils ont alors la même direction.

Non, car ils doivent être orthogonaux.

Explication

Un multiple réel non nul d’un vecteur a la même direction que celui-ci, ce qui caractérise la colinéarité. L’orthogonalité correspond à une direction perpendiculaire et non à la colinéarité.

Answer

Oui, car ils ont alors la même direction.

Question 2

2. Deux vecteurs non nuls ont des normes 3 et 4 et forment un angle non orienté de $\frac{\pi}{3}$ ; quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

12

6

6\sqrt{3}

0

Explication

Le produit scalaire vaut le produit des normes par le cosinus de l’angle, soit $3\times4\times\cos(\frac{\pi}{3})=6$ . La valeur 12 correspondrait au produit des normes sans tenir compte de l’angle.

Answer

Il est orthogonal aux deux vecteurs et sa norme vaut $$\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)$$.

Answer

Chaque vecteur a une norme 1 et les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.

Answer

Ils vérifient $$\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u$$ pour un réel $$\lambda$$.

Answer

$$(2+3\lambda,-1+4\lambda)$$, avec $$\lambda\in\mathbb R$$

Answer

$$-t(x-a)+s(y-b)=0$$

Answer

$$\overrightarrow{AM}\cdot\vec w=0$$

Answer

$$T(\lambda\vec u+\vec v)=\lambda T(\vec u)+T(\vec v)$$ pour tous $$\vec u,\vec v$$ et tout réel $$\lambda$$

Answer

Elle ajoute un vecteur constant, ce qui en fait une transformation affine.

Answer

$$\vec v+\vec u$$

Answer

Elle a la même norme que $$\vec u$$ et forme avec lui un angle de mesure $$\theta$$.

Answer

$$z=x+iy$$, avec $$x,y\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$

Answer

$$a_i+b_i$$

Answer

$$\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}$$

Answer

Le produit est de degré 7, et la somme a un degré inférieur ou égal à 4.

Answer

$$P(\alpha)=0$$

Answer

Écrire $$P=(X-\alpha)Q$$ pour un polynôme $$Q$$.

Answer

Le théorème de d’Alembert-Gauss

Answer

Elle est fausse, car la négation inverse la valeur de vérité de E.

Answer

¬E₁ ou ¬E₂

Answer

E₁ et E₂ sont tous deux faux.

Answer

E₁ est vrai et E₂ est faux.

Answer

Non, car chaque élément de A doit avoir une image unique dans B.

Answer

Elle conserve les valeurs de f sur D et son domaine devient D.

Answer

On calcule d’abord f(a), puis on applique g au résultat.

Answer

Elle est bijective.

Answer

Il est admis vrai au départ et sert de point de départ aux démonstrations.

Answer

Une suite finie de déductions qui établit la vérité d’un énoncé conclusion.

Answer

E₂ est vrai.

Answer

Supposer ¬E, en déduire une contradiction, puis conclure qu'E est vrai.

Answer

On applique d’abord $$f$$ à $$x$$, puis $$g$$ au résultat.

Answer

$$g'(f(x))f'(x)$$

Answer

Son image est $$[f(b),f(a)]$$, et sa réciproque est continue et strictement décroissante.

Answer

$$f(f^{-1}(y))=y$$

Answer

$$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ et $$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Answer

Elle est définie en tout réel, impaire, strictement croissante et à valeurs dans $$]-1,1[$$.

Answer

Ils sont continus, dérivables et $$2\pi$$-périodiques ; le sinus est impair, le cosinus est pair et $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$.

Answer

$$\sin'(x)=\cos(x)$$ et $$\cos'(x)=-\sin(x)$$

Answer

Si $$u$$ est dérivable, $$u'$$ continue sur $$[a,b]$$, et $$f$$ continue sur un intervalle contenant les valeurs de $$u$$, l’intégrale devient $$\int_{u(a)}^{u(b)}f(t)\,dt$$.

Answer

$$P(X)=X^2+aX+b$$

Answer

Deux racines complexes distinctes.

Answer

$$x''+\frac{k}{m}x=0$$, avec $$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Answer

$$x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$$

Answer

$$x''+2\mu x'+\omega_0^2x=0$$, avec $$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ et $$2\mu=\frac{\nu}{m}$$

Answer

Au régime sous-amorti

Answer

Écrire $$f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+O_0(h^n)$$ lorsque $$h\to0$$

Answer

$$f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+O_0(h^n)$$

Answer

La somme a pour partie principale $$P+Q$$ et le produit a pour partie principale $$T_{\leq n}(PQ)$$.

Answer

Remplacer chaque facteur par son développement d’ordre $$n$$, développer le produit, puis garder les termes de degré au plus $$n$$.

Answer

Elle associe à chaque d-uplet réel de son domaine un nombre réel.

Answer

L’ensemble des points $$(x,y)$$ tels que $$f(x,y)=c$$.

Answer

Dans le sens des valeurs croissantes du paramètre $$t$$.

Answer

Il faut fixer $$y=y_0$$ et dériver la fonction $$x\mapsto f(x,y_0)$$ en $$x_0$$.

Answer

$$X'(t)=(x'_1(t),\ldots,x'_d(t))$$

Answer

C’est un vecteur directeur de la droite tangente à la courbe image.

Answer

Le vecteur tangent est orthogonal au gradient en chaque point de la courbe.

Answer

Dans un disque centré en ce point, la fonction y atteint un maximum ou un minimum, et l’égalité avec sa valeur n’a lieu qu’en ce point.

Answer

$$\operatorname{div}E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}$$

Answer

$$\Delta f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$$

Answer

$$\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f=0$$

Answer

$$\Box f=0$$

Answer

$$T(u+v)=T(u)+T(v)$$ et $$T(\lambda u)=\lambda T(u)$$

Answer

Les images des deux vecteurs de cette base.

Answer

Une matrice de taille $$m\times n$$.

Answer

$$X_k=A^kX_0$$

Question 3

3. Dans l’espace, deux vecteurs non colinéaires forment un angle $\theta\in]0,\pi[$ ; quelle propriété caractérise leur produit vectoriel ?

Il est orthogonal au premier vecteur et sa norme vaut

\|\vec u\|+\|\vec v\|

.

Il est nul dès que les deux vecteurs sont non nuls et non colinéaires.

Il est parallèle aux deux vecteurs et sa norme vaut

\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)

.

Il est orthogonal aux deux vecteurs et sa norme vaut

\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)

.

Explication

Le produit vectoriel est orthogonal à chacun des deux vecteurs, et sa norme est le produit de leurs normes par le sinus de l’angle. Le cosinus intervient dans le produit scalaire, pas dans la norme du produit vectoriel.

Question 4

4. Quelles conditions définissent une base orthonormée ?

Chaque vecteur a une norme 1 et les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.

Les vecteurs sont indépendants et ont tous une norme supérieure à 1.

Les vecteurs sont deux à deux colinéaires et de norme 1.

Les vecteurs ont tous la même direction et des normes quelconques.

Explication

Dans une base orthonormée, chaque vecteur est unitaire et les vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Des vecteurs colinéaires ne peuvent pas former une base orthonormée de dimension supérieure à un.

Question 5

5. Comment caractériser les points M de la droite passant par A et dirigée par le vecteur non nul $\vec u$ ?

Ils vérifient

\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u

pour un réel

\lambda

.

Ils vérifient que

\overrightarrow{AM}

est orthogonal à

\vec u

.

Ils vérifient

\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u+\mu\vec v

pour deux réels.

Ils vérifient

\overrightarrow{MA}=\vec u

pour tout point de la droite.

Explication

Tout point de cette droite s’obtient en multipliant son vecteur directeur par un réel, à partir du point A. Une combinaison de deux vecteurs directeurs caractérise plutôt un plan.

Question 6

6. Une droite du plan passe par $A=(2,-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec u=(3,4)$ ; quelles coordonnées paramétriques décrivent ses points ?

(2+3\lambda,-1+4\lambda)

, avec

\lambda\in\mathbb R

(3+2\lambda,4-\lambda)

, avec

\lambda\in\mathbb R

(2+4\lambda,-1+3\lambda)

, avec

\lambda\in\mathbb R

(2-3\lambda,-1-4\lambda)

, avec

\lambda\geq0

Explication

On ajoute à chaque coordonnée de A le paramètre multiplié par la coordonnée correspondante du vecteur directeur. Échanger les composantes du vecteur directeur modifie la direction de la droite.

Question 7

7. Dans un repère orthonormé, une droite passe par $A=(a,b)$ et a pour vecteur directeur non nul $\vec v=(s,t)$ ; quelle condition vérifie un point $M=(x,y)$ de cette droite ?

s(y-b)+t(x-a)=0

t(x-a)-s(y-b)=1

-t(x-a)+s(y-b)=0

s(x-a)+t(y-b)=0

Explication

L’équation exprime que le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire au vecteur directeur, au moyen d’un déterminant nul. La condition $s(x-a)+t(y-b)=0$ exprime plutôt une orthogonalité avec le vecteur directeur.

Question 8

8. Un plan P passant par A est engendré par $\vec u$ et $\vec v$ , et $\vec w$ est orthogonal à ces deux vecteurs ; quelle condition caractérise l’appartenance de M à P ?

\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=0

\overrightarrow{AM}\cdot\vec w=1

\overrightarrow{AM}

est colinéaire à

\vec w

\overrightarrow{AM}\cdot\vec w=0

Explication

Le vecteur $\vec w$ est normal au plan, donc tout vecteur reliant A à un point du plan lui est orthogonal. L’orthogonalité à $\vec u$ , qui appartient au plan, ne suffit pas à caractériser l’appartenance au plan.

Question 9

9. Quelle relation doit vérifier une transformation T pour être linéaire ?

T(\lambda\vec u+\vec v)=T(\vec u)+T(\vec v)

pour tous

\vec u,\vec v

et tout réel

\lambda

T(\lambda\vec u+\vec v)=\lambda T(\vec u)+\vec v

pour tous

\vec u,\vec v

et tout réel

\lambda

T(\lambda\vec u+\vec v)=\lambda T(\vec u)+T(\vec v)

pour tous

\vec u,\vec v

et tout réel

\lambda

T(\lambda\vec u+\vec v)=T(\vec u)+\lambda\vec v

pour tous

\vec u,\vec v

et tout réel

\lambda

Explication

La linéarité impose que la transformation distribue la combinaison donnée en appliquant le même coefficient à l’image de $\vec u$ . La relation proposée avec $\lambda\vec v$ à la place de $\lambda T(\vec u)$ ne respecte pas cette règle.

Question 10

10. Pourquoi une translation n’est-elle pas linéaire en général ?

Elle associe à chaque vecteur un angle, ce qui en fait une rotation.

Elle multiplie chaque vecteur par un réel, ce qui en fait une homothétie.

Elle ajoute un vecteur constant, ce qui en fait une transformation affine.

Elle conserve les normes, ce qui en fait une transformation orthogonale.

Explication

Une translation s’écrit comme la somme d’une transformation linéaire et d’une transformation constante, et relève donc en général des transformations affines. La conservation des normes caractérise plutôt certaines transformations linéaires comme les rotations.

Question 11

11. Une translation de vecteur $\vec u$ agit sur un vecteur $\vec v$ ; quel vecteur obtient-on ?

\vec v-\vec u

\vec u-\vec v

\lambda\vec v

pour un réel

\lambda

\vec v+\vec u

Explication

La translation de vecteur $\vec u$ associe à $\vec v$ la somme $\vec v+\vec u$ . La multiplication de $\vec v$ par un réel décrit plutôt l’action d’une homothétie.

Question 12

12. Une rotation d’angle $\theta$ agit sur un vecteur $\vec u$ ; quelle caractéristique a son image ?

Elle a une norme multipliée par

\theta

et garde la même direction que

\vec u

.

Elle est égale à

\theta\vec u

et conserve la norme de

\vec u

.

Elle est orthogonale à

\vec u

et conserve sa direction initiale.

Elle a la même norme que

\vec u

et forme avec lui un angle de mesure

\theta

.

Explication

Une rotation conserve la norme du vecteur et modifie sa direction selon l’angle de rotation. Multiplier le vecteur par $\theta$ change généralement sa norme et ne décrit pas une rotation.

Question 13

13. Quelle écriture donne la forme cartésienne d’un nombre complexe ?

z=x+iy

, avec

x,y\in\mathbb{R}

et

i^2=1

z=x-y

, avec

x,y\in\mathbb{R}

et

i^2=-1

z=x+yi

, avec

x,y\in\mathbb{C}

et

i^2=1

z=x+iy

, avec

x,y\in\mathbb{R}

et

i^2=-1

Explication

La forme cartésienne écrit le complexe comme une partie réelle plus $i$ fois une partie imaginaire réelle, avec $i^2=-1$ . Prendre $i^2=1$ modifierait la propriété fondamentale de l’unité imaginaire.

Question 14

14. Pour $z_1=2+3i$ et $z_2=1-4i$ , quel est leur produit ?

-10-5i

14-5i

-10+5i

14+5i

Explication

En développant, la partie réelle vaut $2\times1-3\times(-4)=14$ et la partie imaginaire vaut $2\times(-4)+3\times1=-5$ . Le signe de la partie réelle serait différent si l’on additionnait au lieu de soustraire le produit des parties imaginaires.

Question 15

15. Si $z=-3+5i$ , quelle est sa partie réelle $\Re(z)$ ?

-3

-3+5i

5

5i

Explication

Dans la forme cartésienne $x+iy$ , la partie réelle est le nombre réel $x$ , ici $-3$ . Le nombre $5$ est la partie imaginaire, et non la partie réelle.

Question 16

16. Quel est le module de $z=3-4i$ ?

\sqrt{7}

5

-5

7

Explication

Le module vaut $\sqrt{x^2+y^2}$ , donc ici $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$ . La somme des valeurs absolues des deux composantes donnerait $7$ , mais ce n’est pas la définition du module.

Question 17

17. Si les coefficients de deux polynômes sont respectivement $a_i$ et $b_i$ , quel est le coefficient d’indice $i$ de leur somme ?

a_i b_i

a_i-b_i

a_i+b_i

a_{i-1}+b_{i+1}

Explication

L’addition des polynômes s’effectue coefficient par coefficient : le coefficient d’indice $i$ devient $a_i+b_i$ . Le produit des coefficients pris au même indice ne décrit pas la somme des polynômes.

Question 18

18. Si $P$ et $Q$ ont pour coefficients $a_i$ et $b_i$ , quelle expression donne le coefficient d’indice $i$ de $PQ$ ?

a_i+b_i

\sum_{k=0}^{i}a_{i-k}b_{i-k}

\sum_{k=0}^{i}a_kb_k

\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}

Explication

Pour obtenir le terme de degré $i$ dans le produit, on additionne les produits de coefficients dont les indices ont pour somme $i$ . Multiplier les coefficients de même indice ne tient pas compte de toutes les façons d’obtenir ce degré.

Question 19

19. Deux polynômes non nuls de degrés 3 et 4 sont multipliés, tandis que leur somme peut subir une annulation de termes dominants : que peut-on conclure sur les degrés ?

Le produit est de degré 7, et la somme est nécessairement de degré 4.

Le produit est de degré 7, et la somme a un degré inférieur ou égal à 4.

Le produit est de degré 12, et la somme a un degré inférieur ou égal à 7.

Le produit est de degré au plus 4, et la somme est de degré 7.

Explication

Le degré du produit de deux polynômes non nuls est la somme de leurs degrés, soit 7, alors que le degré de la somme ne dépasse pas le maximum, soit 4. La somme peut avoir un degré inférieur à 4 si les termes dominants s’annulent.

Question 20

20. Pour $P(X)=2X^2-X+3$ , quelle valeur prend la fonction polynomiale associée en $x=2$ ?

2X^2-X+3

10

9

11

Explication

On évalue le polynôme en remplaçant $X$ par $2$ : $P(2)=2\times 2^2-2+3=9$ . L’expression avec $X$ est le polynôme formel, tandis que la fonction évaluée en 2 donne un nombre.

Question 21

21. Quelle condition caractérise un complexe $\alpha$ qui est une racine du polynôme $P$ ?

P(X)=\alpha

pour tout

X

P(\alpha)=0

P(\alpha)=1

P(0)=\alpha

Explication

Par définition, $\alpha$ est une racine de $P$ lorsque l’évaluation du polynôme en $\alpha$ vaut zéro. La condition $P(0)=\alpha$ concerne la valeur en zéro et ne définit pas une racine.

Question 22

22. Si $\alpha$ est une racine de $P$ , quelle factorisation peut-on alors effectuer ?

Écrire

P=(X-\alpha)^2Q

pour un polynôme

Q

.

Écrire

P=(X+\alpha)Q

pour un polynôme

Q

.

Écrire

P=(X-\alpha)Q

pour un polynôme

Q

.

Écrire

P=\alpha(X-1)Q

pour un polynôme

Q

.

Explication

Une racine $\alpha$ entraîne la divisibilité de $P$ par $X-\alpha$ , donc $P=(X-\alpha)Q$ pour un polynôme $Q$ . Le facteur $X+\alpha$ correspondrait à une racine $-\alpha$ , pas nécessairement à $\alpha$ .

Question 23

23. Quel résultat garantit l’existence d’au moins une racine complexe pour tout polynôme complexe de degré au moins 1 ?

Le théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème de d’Alembert-Gauss

Le théorème de Rolle

Le théorème de division euclidienne

Explication

Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme que tout polynôme complexe non constant possède au moins une racine complexe. Le théorème des valeurs intermédiaires concerne des fonctions réelles continues et ne donne pas ce résultat général pour les polynômes complexes.

Question 24

24. Pour $P(X)=(X-2)^3(X+1)$ , quelle est la multiplicité de la racine $2$ ?

4

3

2

1

Explication

La multiplicité de $2$ est l’exposant du facteur $X-2$ , soit 3, et le facteur restant vaut $3$ en $X=2$ , donc il n’annule pas cette racine. Le degré total 4 n’est pas la multiplicité de la racine 2.

Question 25

25. Si un énoncé E est vrai, quelle est la valeur de vérité de sa négation ¬E ?

Elle est fausse, car la négation inverse la valeur de vérité de E.

Elle est vraie, car la négation conserve la valeur de vérité de E.

Elle est vraie si E est faux et fausse si E est vrai, comme E lui-même.

Elle est indéterminée, car la négation ne précise pas la valeur de E.

Explication

La négation ¬E inverse la valeur de vérité de E : elle est donc fausse lorsqu'E est vrai. Confondre ¬E avec E ferait conserver à tort la valeur de vérité initiale.

Question 26

26. Quelle expression est équivalente à la négation de « E₁ et E₂ » ?

E₁ ou E₂

¬E₁ et ¬E₂

¬E₁ ou ¬E₂

E₁ et ¬E₂

Explication

La négation d’une conjonction équivaut à la disjonction des deux négations : $\neg(E_1 \land E_2) \Leftrightarrow \neg E_1 \lor \neg E_2$ . Exiger que les deux énoncés soient faux correspond plutôt à la négation d’une disjonction.

Question 27

27. Pour nier l’énoncé « E₁ ou E₂ », quelle condition faut-il exprimer ?

E₁ et E₂ sont tous deux faux.

E₁ est vrai et E₂ est faux.

E₁ et E₂ sont tous deux vrais.

E₁ ou E₂ est vrai.

Explication

La négation d’une disjonction est équivalente à $\neg E_1 \land \neg E_2$ : les deux énoncés doivent être faux. Dire qu’au moins l’un est vrai reprend la disjonction initiale au lieu de la nier.

Question 28

28. Quelle condition est équivalente à la négation de l’implication « si E₁, alors E₂ » ?

E₁ et E₂ sont tous deux faux.

E₁ est faux et E₂ est vrai.

E₁ et E₂ sont tous deux vrais.

E₁ est vrai et E₂ est faux.

Explication

Une implication est fausse précisément lorsque son antécédent est vrai et son conséquent faux, donc $\neg(E_1 \Rightarrow E_2) \Leftrightarrow E_1 \land \neg E_2$ . Lorsqu'E₁ est faux, l’implication n’est pas réfutée par ce cas.

Question 29

29. Une relation associe à un même élément de A deux éléments distincts de B. Peut-elle être une application de A dans B ?

Non, car chaque élément de A doit avoir une image unique dans B.

Oui, car chaque élément de A peut avoir plusieurs images dans B.

Oui, si chaque élément de B possède au moins un antécédent dans A.

Non, car chaque élément de B doit avoir une image unique dans A.

Explication

Une application de A dans B associe à chaque élément de A un et un seul élément de B. Avoir plusieurs images pour un même élément viole cette unicité, tandis que la présence d’un antécédent pour chaque élément de B concerne la surjectivité.

Question 30

30. On restreint une application f à un sous-ensemble D de son domaine. Que devient cette application sur D ?

Elle conserve ses valeurs sur D et devient nécessairement surjective.

Elle conserve son domaine initial et change les valeurs sur D.

Elle conserve les valeurs de f sur D et son codomaine devient D.

Elle conserve les valeurs de f sur D et son domaine devient D.

Explication

La restriction garde les valeurs de l’application initiale sur le sous-ensemble choisi et prend ce sous-ensemble pour domaine. Le codomaine ne devient pas automatiquement ce sous-ensemble, car celui-ci est un sous-ensemble du domaine.

Question 31

31. Pour f : A → B et g : B → C, comment calcule-t-on (g ◦ f)(a) ?

On calcule d’abord g(a), puis on applique f au résultat.

On applique f à g(a), qui est un élément de B.

On additionne f(a) et g(a) pour obtenir un élément de C.

On calcule d’abord f(a), puis on applique g au résultat.

Explication

La composée est définie par (g ◦ f)(a) = g(f(a)) : on applique d’abord f, puis g. L’expression f(g(a)) inverse l’ordre et ne correspond généralement pas à la composition définie ici.

Question 32

32. Une application est injective et surjective. Quelle propriété possède-t-elle ?

Elle est bijective.

Elle est une restriction.

Elle est une composition.

Elle est une application constante.

Explication

Une application bijective est, par définition, à la fois injective et surjective. L’injectivité seule garantit la distinction des images, tandis que la surjectivité seule garantit que chaque élément du codomaine est atteint.

Question 33

33. Quel rôle un axiome joue-t-il dans un système de démonstrations ?

Il est admis vrai au départ et sert de point de départ aux démonstrations.

Il est une suite finie de déductions vérifiant un énoncé.

Il est une règle qui transforme deux prémisses en une nouvelle implication.

Il est établi à partir d’énoncés déjà démontrés et sert de conclusion.

Explication

Un axiome est admis vrai au départ et fournit un point de départ aux démonstrations. Un énoncé déduit d’axiomes ou de résultats antérieurs est plutôt un théorème.

Question 34

34. Qu’est-ce qui caractérise une démonstration mathématique ?

Une affirmation admise sans justification et utilisée comme point de départ.

Une implication dont l’antécédent et le conséquent sont tous deux vrais.

Une suite finie de déductions qui établit la vérité d’un énoncé conclusion.

Une suite potentiellement infinie d’étapes qui rend la conclusion probable.

Explication

Une démonstration est une suite finie de déductions partant d’énoncés vrais et établissant un énoncé conclusion. Une suite infinie ne correspond pas à cette définition et ne peut pas être vérifiée comme une démonstration achevée.

Question 35

35. On sait qu'E₁ est vrai et que l’implication E₁ ⇒ E₂ est vraie. Que permet de conclure le modus ponens ?

¬E₂ est vrai.

E₁ ⇒ E₂ est faux.

E₁ est faux.

E₂ est vrai.

Explication

Le modus ponens déduit E₂ à partir de l’antécédent vrai E₁ et de l’implication vraie E₁ ⇒ E₂. L’implication est un connecteur logique, tandis que le modus ponens est la règle de déduction qui exploite ces prémisses.

Question 36

36. Pour démontrer un énoncé E par l’absurde en logique classique, quelle démarche faut-il suivre ?

Supposer E et démontrer ¬E ⇒ ¬E pour établir la conclusion.

Supposer E, en déduire une contradiction, puis conclure que ¬E est vrai.

Supposer ¬E, en déduire une contradiction, puis conclure qu'E est vrai.

Supposer ¬E et en déduire directement E sans obtenir de contradiction.

Explication

La démonstration par l’absurde suppose la négation de E et en déduit une contradiction, ce qui permet de conclure qu'E est vrai en logique classique. Supposer E et obtenir une contradiction ne suit pas la démarche décrite pour établir E par l’absurde.

Question 37

37. Pour calculer $(g\circ f)(x)$ , dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

On applique d’abord

f

à

g(x)

, puis

g

au résultat.

On applique d’abord

f

à

x

, puis

g

au résultat.

On applique d’abord

g

à

x

, puis

f

au résultat.

On calcule séparément

f(x)

et

g(x)

, puis on les additionne.

Explication

La composée est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ , ce qui signifie que $f$ agit avant $g$ . L’ordre apparent des lettres peut faire croire que $g$ s’applique d’abord, mais ce n’est pas le cas.

Question 38

38. Si $f$ et $g$ sont dérivables, quelle expression donne la dérivée de leur composée $g\circ f$ ?

g'(x)f'(x)

g(f'(x))g'(x)

g'(f(x))f'(x)

g'(f'(x))f(x)

Explication

La règle de dérivation d’une composée évalue la dérivée extérieure en $f(x)$ , puis la multiplie par $f'(x)$ . L’expression $g'(x)f'(x)$ omet l’évaluation de $g'$ au point $f(x)$ .

Question 39

39. Une fonction continue et strictement décroissante sur $[a,b]$ possède quelle image et quel type de fonction réciproque ?

Son image est

[f(a),f(b)]

, et sa réciproque est continue et strictement décroissante.

Son image est

[f(b),f(a)]

, et sa réciproque est continue et strictement décroissante.

Son image est

[f(b),f(a)]

, et sa réciproque est continue et strictement croissante.

Son image est

[f(a),f(b)]

, et sa réciproque est continue et strictement croissante.

Explication

Une fonction continue et strictement décroissante sur $[a,b]$ est une bijection vers $[f(b),f(a)]$ , et sa réciproque conserve le sens de variation décroissant. L’intervalle $[f(a),f(b)]$ correspond au cas d’une fonction croissante.

Question 40

40. Pour $y$ dans l’image de $f$ , quelle identité exprime que la réciproque annule l’action de $f$ sur $y$ ?

f^{-1}(f(y))=y

pour tout réel

y

f(f^{-1}(y))=y

f(f(y))=y

f^{-1}(f^{-1}(y))=y

Explication

Pour tout $y$ appartenant à l’image de $f$ , on a $f(f^{-1}(y))=y$ . L’identité $f^{-1}(f(y))=y$ concerne plutôt un $y$ appartenant au domaine de $f$ , et non tout réel sans condition.

Question 41

41. Quelle paire de définitions correspond au cosinus hyperbolique et au sinus hyperbolique ?

\cosh(x)=e^x+e^{-x}

et

\sinh(x)=e^x-e^{-x}

\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

et

\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

\cosh(x)=\frac{e^x}{2}

et

\sinh(x)=\frac{e^{-x}}{2}

\cosh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

et

\sinh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

Explication

Le cosinus hyperbolique est la demi-somme des exponentielles opposées, tandis que le sinus hyperbolique est leur demi-différence. Intervertir la somme et la différence confond leurs définitions et leurs propriétés de parité.

Question 42

42. Quelle propriété décrit correctement la tangente hyperbolique sur $\mathbb{R}$ ?

Elle est définie en tout réel, impaire, strictement croissante et à valeurs dans

\mathbb{R}

.

Elle est définie en tout réel, impaire, strictement croissante et à valeurs dans

]-1,1[

.

Elle est définie hors de zéro, impaire, strictement décroissante et à valeurs dans

]-1,1[

.

Elle est définie en tout réel, paire, strictement croissante et à valeurs dans

]-1,1[

.

Explication

La fonction $\tanh$ est le quotient $\sinh(x)/\cosh(x)$ ; elle est impaire, strictement croissante et son image est $]-1,1[$ . La confusion avec la cotangente hyperbolique conduit à exclure zéro de son domaine, alors que $\tanh$ y est définie.

Question 43

43. Quelle combinaison de propriétés est vérifiée par le sinus et le cosinus ?

Ils sont continus, dérivables et

2\pi

-périodiques ; le sinus est pair, le cosinus est impair et

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

.

Ils sont continus, dérivables et

2\pi

-périodiques ; le sinus est impair, le cosinus est pair et

\sin^2(x)-\cos^2(x)=1

.

Ils sont continus, dérivables et

2\pi

-périodiques ; le sinus est impair, le cosinus est pair et

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

.

Ils sont continus, dérivables et

\pi

-périodiques ; le sinus est impair, le cosinus est pair et

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

.

Explication

Le sinus et le cosinus sont continus, dérivables et de période $2\pi$ , avec les parités et l’identité indiquées. Une période de $\pi$ est incorrecte pour ces deux fonctions, même si certaines expressions trigonométriques ont cette période.

Question 44

44. Quelles sont les dérivées du sinus et du cosinus ?

\sin'(x)=\cos(x)

et

\cos'(x)=\sin(x)

\sin'(x)=-\cos(x)

et

\cos'(x)=\sin(x)

\sin'(x)=\sin(x)

et

\cos'(x)=\cos(x)

\sin'(x)=\cos(x)

et

\cos'(x)=-\sin(x)

Explication

La dérivée du sinus est le cosinus, tandis que celle du cosinus est l’opposé du sinus. La dernière paire proposée conserve bien la dérivée du sinus, mais omet le signe négatif dans celle du cosinus.

Question 45

45. Dans quelles conditions la formule de changement de variable transforme-t-elle $\int_a^b u'(t)f(u(t))\,dt$ en une intégrale sur l’image des bornes ?

Si

u'

est continue et

f

est dérivable, l’intégrale devient

\int_{u(a)}^{u(b)}f(u(t))\,dt

.

Si

u

est dérivable et

f

est continue, l’intégrale devient

\int_a^b f(t)\,dt

, sans modifier les bornes.

Si

u

est continue,

u'

dérivable sur

[a,b]

, et

f

continue, l’intégrale devient

\int_{u(b)}^{u(a)}f(t)\,dt

.

Si

u

est dérivable,

u'

continue sur

[a,b]

, et

f

continue sur un intervalle contenant les valeurs de

u

, l’intégrale devient

\int_{u(a)}^{u(b)}f(t)\,dt

.

Explication

La formule exige que $u$ soit dérivable, que $u'$ soit continue sur l’intervalle d’intégration et que $f$ soit continue sur l’intervalle d’arrivée. Inverser les bornes donnerait en général le signe opposé à celui de la formule.

Question 46

46. Quel est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle $y''+ay'+by=f(x)$ , lorsque $a$ et $b$ sont constants ?

P(X)=X^2+aX-b

P(X)=X^2-aX+b

P(X)=aX^2+bX+1

P(X)=X^2+aX+b

Explication

Le polynôme caractéristique associé à la partie linéaire de l’équation est $P(X)=X^2+aX+b$ . Changer le signe du terme en $aX$ ou en $b$ ne correspond pas aux coefficients de l’équation donnée.

Question 47

47. Pour un polynôme caractéristique de discriminant $\Delta<0$ , quelle est la nature de ses racines ?

Une racine réelle double.

Deux racines réelles égales à zéro.

Deux racines complexes distinctes.

Deux racines réelles distinctes.

Explication

Un discriminant négatif correspond à deux racines complexes distinctes. Une racine réelle double est associée au cas $\Delta=0$ , et non à un discriminant négatif.

Question 48

48. Pour un système masse-ressort non amorti de masse $m$ et de raideur $k$ , quelle équation décrit le déplacement $x(t)$ et quelle est sa pulsation propre ?

x''+\frac{k}{m}x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

x''+\frac{m}{k}x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{\frac{m}{k}}

x''+\frac{\nu}{m}x'+\frac{k}{m}x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{\frac{m}{k}}

x''+\sqrt{\frac{k}{m}}x=0

, avec

\omega_0=\frac{k}{m}

Explication

Dans le modèle non amorti, la force de rappel conduit à l’équation $x''+(k/m)x=0$ et la pulsation propre est la racine carrée de $k/m$ . L’expression avec un terme en $x'$ décrit un modèle amorti, et non l’oscillateur non amorti.

Question 49

49. Quelle forme donne la solution réelle générale d’un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\omega_0$ ?

x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)

x(t)=A\cos(t)+B\sin(t)+\omega_0

x(t)=A\cosh(\omega_0t)+B\sinh(\omega_0t)

x(t)=Ae^{\omega_0t}+Be^{-\omega_0t}

Explication

La solution générale est une combinaison de sinus et de cosinus de pulsation $\omega_0$ , avec deux constantes fixées par les conditions initiales. Une combinaison d’exponentielles réelles correspond plutôt à des racines réelles de l’équation caractéristique.

Question 50

50. Un oscillateur libre amorti a une masse $m$ , une raideur $k$ et un coefficient d’amortissement $\nu$ . Quelle écriture normalisée relie ses paramètres ?

x''+\mu x'+\omega_0x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{\frac{m}{k}}

et

\mu=\frac{\nu}{k}

x''+2\mu x'+\omega_0x=0

, avec

\omega_0=\frac{k}{m}

et

2\mu=\frac{m}{\nu}

x''+2\mu x'+\omega_0^2x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

et

2\mu=\frac{\nu}{m}

x''+\omega_0^2x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

et

2\mu=\frac{\nu}{m}

Explication

La division de l’équation amortie par la masse donne le terme d’amortissement $2\mu=\nu/m$ et le terme de raideur $\omega_0^2=k/m$ . L’équation sans terme en $x'$ omet l’amortissement, même si elle conserve la pulsation propre correcte.

Question 51

51. Pour un oscillateur amorti, on calcule $\Delta=4(\mu^2-\omega_0^2)$ et on obtient une valeur négative. À quel régime cela correspond-il ?

Au régime critique

Au régime sous-amorti

À un régime non amorti

Au régime sur-amorti

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , l’oscillateur est dans le régime sous-amorti. Le régime critique correspond à $\Delta=0$ , tandis que $\Delta>0$ caractérise le régime sur-amorti.

Question 52

52. Que signifie écrire un développement limité de $f$ à l’ordre $n$ au voisinage de $x_0$ ?

Écrire

f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+O_0(h^{n+1})

lorsque

h\to\infty

Écrire

f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n

avec une égalité exacte pour tout

h

Écrire

f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+O_0(h^n)

lorsque

h\to0

Écrire

f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+O_0(h^n)

lorsque

h\to\infty

Explication

Un développement limité à l’ordre $n$ décrit la fonction près de $x_0$ en posant $h\to0$ et en ajoutant un terme de reste. Une égalité exacte sans reste n’est pas ce qu’affirme la définition.

Question 53

53. Pour une fonction $n$ fois dérivable en un point intérieur $x_0$ , quelle formule exprime le théorème de Taylor-Young à l’ordre $n$ ?

f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+O_0(h^n)

f(x_0+h)=\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+O_0(h^n)

f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+O_0(h^{n+1})

f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x_0)h^k+O_0(h^n)

Explication

La formule utilise les dérivées en $x_0$ divisées par les factorielles correspondantes, avec un reste d’ordre $O_0(h^n)$ dans l’énoncé considéré. La formule qui omet les factorielles ne donne pas les coefficients de Taylor-Young.

Question 54

54. Deux fonctions ont des développements limités d’ordre $n$ de parties principales $P$ et $Q$ . Quelle règle donne les parties principales de leur somme et de leur produit ?

La somme a pour partie principale

P+Q

et le produit a pour partie principale

PQ

sans troncature.

La somme a pour partie principale

T_{\leq n}(P+Q)

et le produit a pour partie principale

P-Q

.

La somme a pour partie principale

PQ

et le produit a pour partie principale

P+Q

.

La somme a pour partie principale

P+Q

et le produit a pour partie principale

T_{\leq n}(PQ)

.

Explication

Les parties principales s’additionnent pour la somme, tandis que le produit demande de tronquer le produit polynomial au degré $n$ . Conserver $PQ$ sans troncature peut inclure des termes de degré supérieur à l’ordre étudié.

Question 55

55. Pour obtenir le développement limité d’ordre $n$ d’un produit, quelle démarche faut-il appliquer ?

Remplacer un facteur par son développement d’ordre

n

, multiplier par l’autre fonction exacte, puis garder les termes de degré au plus

n

.

Remplacer chaque facteur par son développement d’ordre

n+1

, développer le produit, puis garder les termes de degré supérieur à

n

.

Remplacer chaque facteur par son développement d’ordre

n

, développer le produit, puis garder les termes de degré au plus

n

.

Additionner les développements des facteurs, puis conserver dans la somme les termes de degré au plus

n

.

Explication

Le calcul consiste à substituer les développements des deux facteurs, à effectuer le produit, puis à éliminer les termes dont le degré dépasse $n$ . Additionner les développements ne calcule pas le produit recherché.

Question 56

56. Quelle caractérisation correspond à une fonction de plusieurs variables à valeurs scalaires ?

Elle associe à chaque d-uplet réel de son domaine un vecteur de

\mathbb{R}^d

.

Elle associe à chaque d-uplet réel de son domaine un nombre réel.

Elle associe à chaque nombre réel de son domaine un d-uplet réel.

Elle associe à chaque d-uplet réel de son domaine une fonction réelle.

Explication

Une fonction scalaire de plusieurs variables prend un d-uplet réel comme entrée et renvoie un nombre réel. Une application qui renvoie un vecteur est un champ de vecteurs, et non une fonction à valeurs scalaires.

Question 57

57. Pour une fonction $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ , que représente la ligne de niveau de valeur $c$ ?

L’ensemble des points

(x,y)

tels que les deux dérivées partielles de

f

valent

c

.

L’ensemble des valeurs

c

obtenues lorsque

x=y

.

L’ensemble des points

(x,y)

tels que

f(x,y)=x+c

.

L’ensemble des points

(x,y)

tels que

f(x,y)=c

.

Explication

Une ligne de niveau rassemble les points du plan où la fonction prend une valeur fixée $c$ . La condition portant sur les deux dérivées partielles décrit une autre propriété et ne définit pas une ligne de niveau.

Question 58

58. Une courbe paramétrée est donnée par une fonction $X:I\to\mathbb{R}^d$ . Dans quel sens son image est-elle orientée ?

Dans le sens des valeurs décroissantes du paramètre

t

.

Dans le sens des valeurs croissantes du paramètre

t

.

Dans le sens des points de l’image ayant les coordonnées les plus grandes.

Dans le sens déterminé par la distance entre les points successifs.

Explication

L’orientation de l’image suit l’évolution du paramètre vers ses valeurs croissantes. Le sens ne se déduit pas d’un ordre général des coordonnées ni de la distance entre les points.

Question 59

59. Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $(x_0,y_0)$ , quelle variable faut-il maintenir fixe ?

Il faut fixer

x=x_0

et dériver la fonction

y\mapsto f(x_0,y)

en

y_0

.

Il faut fixer

f(x,y)=f(x_0,y_0)

et dériver la courbe de niveau en

x_0

.

Il faut faire varier simultanément

x

et

y

selon la droite passant par

(x_0,y_0)

.

Il faut fixer

y=y_0

et dériver la fonction

x\mapsto f(x,y_0)

en

x_0

.

Explication

La dérivée partielle par rapport à $x$ s’obtient en faisant varier $x$ tandis que $y$ reste égal à $y_0$ . Fixer $x$ et faire varier $y$ correspond plutôt à la dérivée partielle par rapport à $y$ .

Question 60

60. Pour une courbe paramétrée $X(t)=(x_1(t),\ldots,x_d(t))$ , quelle expression donne son vecteur dérivé ?

X'(t)=(x'_1(t),\ldots,x'_d(t))

X'(t)=(x''_1(t),\ldots,x''_d(t))

X'(t)=(x_1(t),\ldots,x_d(t))

X'(t)=\left(\frac{1}{x'_1(t)},\ldots,\frac{1}{x'_d(t)}\right)

Explication

Le vecteur dérivé s’obtient en dérivant chaque composante de la courbe par rapport au paramètre. Le vecteur formé des composantes non dérivées décrit la position de la courbe, et non sa variation.

Question 61

61. Au point $X(t_0)$ d’une courbe paramétrée, quelle est l’interprétation de $X'(t_0)$ si ce vecteur est non nul ?

C’est un vecteur directeur de la droite tangente à la courbe image.

C’est le vecteur position du point par rapport à l’origine.

C’est un vecteur directeur de la normale au graphe de la courbe.

C’est un vecteur normal à la droite tangente à la courbe image.

Explication

Lorsque le vecteur dérivé est non nul, il donne une direction de la tangente à la courbe au point considéré. Un vecteur normal à cette tangente serait orthogonal à cette direction, et non le vecteur dérivé lui-même.

Question 62

62. Une courbe paramétrée reste sur une même ligne de niveau d’une fonction différentiable $f$ . Quelle relation lie alors son vecteur tangent au gradient de $f$ ?

Le vecteur tangent est orthogonal au gradient en chaque point de la courbe.

Le vecteur tangent est parallèle au gradient en chaque point de la courbe.

Le vecteur tangent est nul en chaque point de la courbe.

Le vecteur tangent a la même norme que le gradient en chaque point de la courbe.

Explication

La fonction reste constante le long de la courbe, ce qui impose que sa variation dans la direction tangente soit nulle; le gradient est donc orthogonal au vecteur tangent. Le parallélisme avec le gradient correspondrait plutôt à une direction de variation maximale, pas à une ligne de niveau.

Question 63

63. Quelle condition caractérise un extremum local strict d’une fonction en un point ?

Dans un disque centré en ce point, la fonction atteint un maximum ou un minimum, avec égalité en plusieurs points voisins.

Dans un disque centré en ce point, la fonction y atteint un maximum ou un minimum, et l’égalité avec sa valeur n’a lieu qu’en ce point.

Dans tout le domaine, la fonction atteint un maximum ou un minimum, et l’égalité avec sa valeur n’a lieu qu’en ce point.

La fonction prend la même valeur en tout point d’un disque centré en ce point.

Explication

Un extremum local concerne les valeurs dans un disque autour du point, et il est strict lorsque seule la valeur au point considéré peut égaler l’extremum. Un extremum global porte sur tout le domaine et constitue une notion plus forte que la condition locale.

Question 64

64. Pour un champ $E=(E_x,E_y)$ défini sur $\mathbb R^2$ , comment calcule-t-on sa divergence ?

\operatorname{div}E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}

\operatorname{div}E=\frac{\partial E_x}{\partial x}-\frac{\partial E_y}{\partial y}

\operatorname{div}E=\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial E_y}{\partial x}

\operatorname{div}E=\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}

Explication

La divergence en dimension deux additionne la dérivée de chaque composante par rapport à sa coordonnée correspondante. La somme des dérivées croisées, elle, ne donne pas la divergence.

QCM : Géométrie et nombres complexes (71 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls sont-ils colinéaires lorsque l’un est un multiple réel non nul de l’autre ?

2. Deux vecteurs non nuls ont des normes 3 et 4 et forment un angle non orienté de π3\frac{\pi}{3}3π​ ; quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

3. Dans l’espace, deux vecteurs non colinéaires forment un angle θ∈]0,π[\theta\in]0,\pi[θ∈]0,π[ ; quelle propriété caractérise leur produit vectoriel ?

4. Quelles conditions définissent une base orthonormée ?

5. Comment caractériser les points M de la droite passant par A et dirigée par le vecteur non nul u⃗\vec uu ?

6. Une droite du plan passe par A=(2,−1)A=(2,-1)A=(2,−1) et a pour vecteur directeur u⃗=(3,4)\vec u=(3,4)u=(3,4) ; quelles coordonnées paramétriques décrivent ses points ?

7. Dans un repère orthonormé, une droite passe par A=(a,b)A=(a,b)A=(a,b) et a pour vecteur directeur non nul v⃗=(s,t)\vec v=(s,t)v=(s,t) ; quelle condition vérifie un point M=(x,y)M=(x,y)M=(x,y) de cette droite ?

8. Un plan P passant par A est engendré par u⃗\vec uu et v⃗\vec vv, et w⃗\vec ww est orthogonal à ces deux vecteurs ; quelle condition caractérise l’appartenance de M à P ?

9. Quelle relation doit vérifier une transformation T pour être linéaire ?

10. Pourquoi une translation n’est-elle pas linéaire en général ?

11. Une translation de vecteur u⃗\vec uu agit sur un vecteur v⃗\vec vv ; quel vecteur obtient-on ?

12. Une rotation d’angle θ\thetaθ agit sur un vecteur u⃗\vec uu ; quelle caractéristique a son image ?

13. Quelle écriture donne la forme cartésienne d’un nombre complexe ?

14. Pour z1=2+3iz_1=2+3iz1​=2+3i et z2=1−4iz_2=1-4iz2​=1−4i, quel est leur produit ?

15. Si z=−3+5iz=-3+5iz=−3+5i, quelle est sa partie réelle ℜ(z)\Re(z)ℜ(z) ?

16. Quel est le module de z=3−4iz=3-4iz=3−4i ?

17. Si les coefficients de deux polynômes sont respectivement aia_iai​ et bib_ibi​, quel est le coefficient d’indice iii de leur somme ?

18. Si PPP et QQQ ont pour coefficients aia_iai​ et bib_ibi​, quelle expression donne le coefficient d’indice iii de PQPQPQ ?

19. Deux polynômes non nuls de degrés 3 et 4 sont multipliés, tandis que leur somme peut subir une annulation de termes dominants : que peut-on conclure sur les degrés ?

20. Pour P(X)=2X2−X+3P(X)=2X^2-X+3P(X)=2X2−X+3, quelle valeur prend la fonction polynomiale associée en x=2x=2x=2 ?

21. Quelle condition caractérise un complexe α\alphaα qui est une racine du polynôme PPP ?

22. Si α\alphaα est une racine de PPP, quelle factorisation peut-on alors effectuer ?

23. Quel résultat garantit l’existence d’au moins une racine complexe pour tout polynôme complexe de degré au moins 1 ?

24. Pour P(X)=(X−2)3(X+1)P(X)=(X-2)^3(X+1)P(X)=(X−2)3(X+1), quelle est la multiplicité de la racine 222 ?

25. Si un énoncé E est vrai, quelle est la valeur de vérité de sa négation ¬E ?

26. Quelle expression est équivalente à la négation de « E₁ et E₂ » ?

27. Pour nier l’énoncé « E₁ ou E₂ », quelle condition faut-il exprimer ?

28. Quelle condition est équivalente à la négation de l’implication « si E₁, alors E₂ » ?

29. Une relation associe à un même élément de A deux éléments distincts de B. Peut-elle être une application de A dans B ?

30. On restreint une application f à un sous-ensemble D de son domaine. Que devient cette application sur D ?

31. Pour f : A → B et g : B → C, comment calcule-t-on (g ◦ f)(a) ?

32. Une application est injective et surjective. Quelle propriété possède-t-elle ?

33. Quel rôle un axiome joue-t-il dans un système de démonstrations ?

34. Qu’est-ce qui caractérise une démonstration mathématique ?

35. On sait qu'E₁ est vrai et que l’implication E₁ ⇒ E₂ est vraie. Que permet de conclure le modus ponens ?

36. Pour démontrer un énoncé E par l’absurde en logique classique, quelle démarche faut-il suivre ?

37. Pour calculer (g∘f)(x)(g\circ f)(x)(g∘f)(x), dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

38. Si fff et ggg sont dérivables, quelle expression donne la dérivée de leur composée g∘fg\circ fg∘f ?

39. Une fonction continue et strictement décroissante sur [a,b][a,b][a,b] possède quelle image et quel type de fonction réciproque ?

40. Pour yyy dans l’image de fff, quelle identité exprime que la réciproque annule l’action de fff sur yyy ?

41. Quelle paire de définitions correspond au cosinus hyperbolique et au sinus hyperbolique ?

42. Quelle propriété décrit correctement la tangente hyperbolique sur R\mathbb{R}R ?

43. Quelle combinaison de propriétés est vérifiée par le sinus et le cosinus ?

44. Quelles sont les dérivées du sinus et du cosinus ?

45. Dans quelles conditions la formule de changement de variable transforme-t-elle ∫abu′(t)f(u(t)) dt\int_a^b u'(t)f(u(t))\,dt∫ab​u′(t)f(u(t))dt en une intégrale sur l’image des bornes ?

46. Quel est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle y′′+ay′+by=f(x)y''+ay'+by=f(x)y′′+ay′+by=f(x), lorsque aaa et bbb sont constants ?

47. Pour un polynôme caractéristique de discriminant Δ<0\Delta<0Δ<0, quelle est la nature de ses racines ?

48. Pour un système masse-ressort non amorti de masse mmm et de raideur kkk, quelle équation décrit le déplacement x(t)x(t)x(t) et quelle est sa pulsation propre ?

49. Quelle forme donne la solution réelle générale d’un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre ω0\omega_0ω0​ ?

50. Un oscillateur libre amorti a une masse mmm, une raideur kkk et un coefficient d’amortissement ν\nuν. Quelle écriture normalisée relie ses paramètres ?

51. Pour un oscillateur amorti, on calcule Δ=4(μ2−ω02)\Delta=4(\mu^2-\omega_0^2)Δ=4(μ2−ω02​) et on obtient une valeur négative. À quel régime cela correspond-il ?

52. Que signifie écrire un développement limité de fff à l’ordre nnn au voisinage de x0x_0x0​ ?

53. Pour une fonction nnn fois dérivable en un point intérieur x0x_0x0​, quelle formule exprime le théorème de Taylor-Young à l’ordre nnn ?

54. Deux fonctions ont des développements limités d’ordre nnn de parties principales PPP et QQQ. Quelle règle donne les parties principales de leur somme et de leur produit ?

55. Pour obtenir le développement limité d’ordre nnn d’un produit, quelle démarche faut-il appliquer ?

56. Quelle caractérisation correspond à une fonction de plusieurs variables à valeurs scalaires ?

57. Pour une fonction f:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}f:R2→R, que représente la ligne de niveau de valeur ccc ?

58. Une courbe paramétrée est donnée par une fonction X:I→RdX:I\to\mathbb{R}^dX:I→Rd. Dans quel sens son image est-elle orientée ?

59. Pour calculer la dérivée partielle de fff par rapport à xxx en (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​), quelle variable faut-il maintenir fixe ?

60. Pour une courbe paramétrée X(t)=(x1(t),…,xd(t))X(t)=(x_1(t),\ldots,x_d(t))X(t)=(x1​(t),…,xd​(t)), quelle expression donne son vecteur dérivé ?

61. Au point X(t0)X(t_0)X(t0​) d’une courbe paramétrée, quelle est l’interprétation de X′(t0)X'(t_0)X′(t0​) si ce vecteur est non nul ?

62. Une courbe paramétrée reste sur une même ligne de niveau d’une fonction différentiable fff. Quelle relation lie alors son vecteur tangent au gradient de fff ?

63. Quelle condition caractérise un extremum local strict d’une fonction en un point ?

64. Pour un champ E=(Ex,Ey)E=(E_x,E_y)E=(Ex​,Ey​) défini sur R2\mathbb R^2R2, comment calcule-t-on sa divergence ?

65. Pour une fonction scalaire définie sur R3\mathbb R^3R3, quelle expression du laplacien est aussi égale à div⁡(∇f)\operatorname{div}(\nabla f)div(∇f) ?

66. Quelle équation décrit la chaleur sans source pour une fonction fff dépendant du temps et de l’espace ?

67. Une fonction d’onde fff vérifie quelle équation avec l’opérateur de d’Alembert □=∂2∂t2−Δ\Box=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta□=∂t2∂2​−Δ ?

68. Quelle propriété doit satisfaire une application linéaire T:E→ET:E\to ET:E→E pour tout couple de vecteurs u,vu,vu,v et tout réel λ\lambdaλ ?

69. Pour déterminer complètement une application linéaire de R2\mathbb R^2R2 dans R2\mathbb R^2R2, quelle information suffit lorsque la base est fixée ?

70. Un tableau rectangulaire contient mmm lignes et nnn colonnes de coefficients réels. Comment décrit-on sa taille comme matrice réelle ?

71. Dans un système dynamique linéaire défini par Xk+1=AXkX_{k+1}=AX_kXk+1​=AXk​, quelle expression donne l’état au rang kkk à partir de l’état initial ?

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2. Deux vecteurs non nuls ont des normes 3 et 4 et forment un angle non orienté de $\frac{\pi}{3}$ ; quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

3. Dans l’espace, deux vecteurs non colinéaires forment un angle $\theta\in]0,\pi[$ ; quelle propriété caractérise leur produit vectoriel ?

5. Comment caractériser les points M de la droite passant par A et dirigée par le vecteur non nul $\vec u$ ?

6. Une droite du plan passe par $A=(2,-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec u=(3,4)$ ; quelles coordonnées paramétriques décrivent ses points ?

7. Dans un repère orthonormé, une droite passe par $A=(a,b)$ et a pour vecteur directeur non nul $\vec v=(s,t)$ ; quelle condition vérifie un point $M=(x,y)$ de cette droite ?

8. Un plan P passant par A est engendré par $\vec u$ et $\vec v$ , et $\vec w$ est orthogonal à ces deux vecteurs ; quelle condition caractérise l’appartenance de M à P ?

11. Une translation de vecteur $\vec u$ agit sur un vecteur $\vec v$ ; quel vecteur obtient-on ?

12. Une rotation d’angle $\theta$ agit sur un vecteur $\vec u$ ; quelle caractéristique a son image ?

14. Pour $z_1=2+3i$ et $z_2=1-4i$ , quel est leur produit ?

15. Si $z=-3+5i$ , quelle est sa partie réelle $\Re(z)$ ?

16. Quel est le module de $z=3-4i$ ?

17. Si les coefficients de deux polynômes sont respectivement $a_i$ et $b_i$ , quel est le coefficient d’indice $i$ de leur somme ?

18. Si $P$ et $Q$ ont pour coefficients $a_i$ et $b_i$ , quelle expression donne le coefficient d’indice $i$ de $PQ$ ?

20. Pour $P(X)=2X^2-X+3$ , quelle valeur prend la fonction polynomiale associée en $x=2$ ?

21. Quelle condition caractérise un complexe $\alpha$ qui est une racine du polynôme $P$ ?

22. Si $\alpha$ est une racine de $P$ , quelle factorisation peut-on alors effectuer ?

24. Pour $P(X)=(X-2)^3(X+1)$ , quelle est la multiplicité de la racine $2$ ?

37. Pour calculer $(g\circ f)(x)$ , dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

38. Si $f$ et $g$ sont dérivables, quelle expression donne la dérivée de leur composée $g\circ f$ ?

39. Une fonction continue et strictement décroissante sur $[a,b]$ possède quelle image et quel type de fonction réciproque ?

40. Pour $y$ dans l’image de $f$ , quelle identité exprime que la réciproque annule l’action de $f$ sur $y$ ?

42. Quelle propriété décrit correctement la tangente hyperbolique sur $\mathbb{R}$ ?

45. Dans quelles conditions la formule de changement de variable transforme-t-elle $\int_a^b u'(t)f(u(t))\,dt$ en une intégrale sur l’image des bornes ?

46. Quel est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle $y''+ay'+by=f(x)$ , lorsque $a$ et $b$ sont constants ?

47. Pour un polynôme caractéristique de discriminant $\Delta<0$ , quelle est la nature de ses racines ?

48. Pour un système masse-ressort non amorti de masse $m$ et de raideur $k$ , quelle équation décrit le déplacement $x(t)$ et quelle est sa pulsation propre ?

49. Quelle forme donne la solution réelle générale d’un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\omega_0$ ?

50. Un oscillateur libre amorti a une masse $m$ , une raideur $k$ et un coefficient d’amortissement $\nu$ . Quelle écriture normalisée relie ses paramètres ?

51. Pour un oscillateur amorti, on calcule $\Delta=4(\mu^2-\omega_0^2)$ et on obtient une valeur négative. À quel régime cela correspond-il ?

52. Que signifie écrire un développement limité de $f$ à l’ordre $n$ au voisinage de $x_0$ ?

53. Pour une fonction $n$ fois dérivable en un point intérieur $x_0$ , quelle formule exprime le théorème de Taylor-Young à l’ordre $n$ ?

54. Deux fonctions ont des développements limités d’ordre $n$ de parties principales $P$ et $Q$ . Quelle règle donne les parties principales de leur somme et de leur produit ?

55. Pour obtenir le développement limité d’ordre $n$ d’un produit, quelle démarche faut-il appliquer ?

57. Pour une fonction $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ , que représente la ligne de niveau de valeur $c$ ?

58. Une courbe paramétrée est donnée par une fonction $X:I\to\mathbb{R}^d$ . Dans quel sens son image est-elle orientée ?

59. Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $(x_0,y_0)$ , quelle variable faut-il maintenir fixe ?

60. Pour une courbe paramétrée $X(t)=(x_1(t),\ldots,x_d(t))$ , quelle expression donne son vecteur dérivé ?

61. Au point $X(t_0)$ d’une courbe paramétrée, quelle est l’interprétation de $X'(t_0)$ si ce vecteur est non nul ?

62. Une courbe paramétrée reste sur une même ligne de niveau d’une fonction différentiable $f$ . Quelle relation lie alors son vecteur tangent au gradient de $f$ ?

64. Pour un champ $E=(E_x,E_y)$ défini sur $\mathbb R^2$ , comment calcule-t-on sa divergence ?

65. Pour une fonction scalaire définie sur $\mathbb R^3$ , quelle expression du laplacien est aussi égale à $\operatorname{div}(\nabla f)$ ?

66. Quelle équation décrit la chaleur sans source pour une fonction $f$ dépendant du temps et de l’espace ?

67. Une fonction d’onde $f$ vérifie quelle équation avec l’opérateur de d’Alembert $\Box=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$ ?

68. Quelle propriété doit satisfaire une application linéaire $T:E\to E$ pour tout couple de vecteurs $u,v$ et tout réel $\lambda$ ?

69. Pour déterminer complètement une application linéaire de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$ , quelle information suffit lorsque la base est fixée ?

70. Un tableau rectangulaire contient $m$ lignes et $n$ colonnes de coefficients réels. Comment décrit-on sa taille comme matrice réelle ?

71. Dans un système dynamique linéaire défini par $X_{k+1}=AX_k$ , quelle expression donne l’état au rang $k$ à partir de l’état initial ?