Fiche de révision : Cinématique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Référentiels et repères du mouvement
2. Position et trajectoire du mobile
3. Vecteur vitesse et ses coordonnées
4. Accélération et base de Frenet
5. Nature et mouvements rectilignes
6. Mouvement circulaire uniforme

📖 1. Référentiels et repères du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère d’espace et de temps : Un repère d’espace et de temps associe un système d’axes, le plus souvent orthonormé, muni d’une origine et d’une base, à une origine des temps t₀ et à une unité de durée, la seconde dans le système international.

📝 Points essentiels

• Le référentiel terrestre est utilisé pour étudier les mouvements à la surface de la Terre.

• Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et sert à décrire le mouvement des satellites terrestres.

• Le référentiel de Copernic, ou héliocentrique, a pour origine le centre du système solaire et sert à étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

💡 Astuce mémo

Terrestre : surface de la Terre ; géocentrique : satellites ; héliocentrique : planètes.

📖 2. Position et trajectoire du mobile

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Le repère de Frenet est constitué en M du vecteur unitaire tangent u⃗, orienté dans le sens du mouvement, et du vecteur normal n⃗, dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire.
• Vecteur position : Le vecteur position de M est le vecteur OM⃗, qui s’écrit x i⃗ + y j⃗ + z k⃗ dans un repère cartésien orthonormé.

📝 Points essentiels

• L’équation cartésienne de la trajectoire s’obtient en éliminant le paramètre t entre les équations horaires afin d’exprimer y en fonction de x, ou x en fonction de y.

• Le repère cartésien tridimensionnel s’écrit (O, i⃗, j⃗, k⃗) et repère un point M par ses coordonnées (x, y, z).

• Les coordonnées cartésiennes d’un mobile sont généralement des fonctions du temps x(t), y(t) et z(t), appelées équations horaires ou équations paramétriques du mouvement.

📖 3. Vecteur vitesse et ses coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : La dérivée de son vecteur position par rapport au temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur vitesse vérifie $\vec{v}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

📐 Formule - Dans un repère cartésien, les composantes de la vitesse sont $v_x=\frac{dx}{dt},\quad v_y=\frac{dy}{dt},\quad v_z=\frac{dz}{dt}$.

• Le vecteur vitesse s’applique à la position du mobile, est tangent à sa trajectoire, est orienté dans le sens du mouvement et son intensité s’exprime en m/s.

Compléments

📐 Formule - En mouvement unidimensionnel, la vitesse moyenne entre deux dates est $v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$.

📐 Formule - L’intensité de la vitesse en coordonnées cartésiennes est $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.

📖 4. Accélération et base de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : La dérivée de son vecteur vitesse par rapport au temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur accélération vérifie $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$.

📐 Formule - Dans la base de Frenet, l’accélération se décompose en $\vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{u}+\frac{v^2}{r}\vec{n}$, où r est le rayon de courbure.

📌 La composante tangentielle de l’accélération modifie la valeur de la vitesse, tandis que sa composante normale modifie la direction du mouvement.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, les composantes de l’accélération sont $a_x=\frac{d^2x}{dt^2},\quad a_y=\frac{d^2y}{dt^2},\quad a_z=\frac{d^2z}{dt^2}$.

📐 Formule - L’intensité de l’accélération en coordonnées cartésiennes est $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$.

💡 Astuce mémo

La tangente change la valeur de la vitesse ; la normale en change la direction.

📖 5. Nature et mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Un mouvement rectiligne uniforme a une trajectoire droite ou constituée d’un segment de droite et une vitesse de valeur constante.
• Mouvement rectiligne uniformément varié : Un mouvement rectiligne uniformément varié a une trajectoire droite ou constituée d’un segment de droite et une accélération constante au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniforme est $x=x_i+v(t-t_i)$.

📌 Le signe du produit scalaire accélération-vitesse indique la nature du mouvement : nul pour un mouvement uniforme, négatif pour un mouvement retardé et positif pour un mouvement accéléré.

📌 Un mouvement est uniforme si la valeur de la vitesse reste constante, retardé si elle diminue et accéléré si elle augmente au cours du temps.

Compléments

• Le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées (x, y, z) et (x′, y′, z′) vaut $xx′+yy′+zz′$ et vaut aussi le produit de leurs normes par le cosinus de leur angle.

💡 Astuce mémo

Le signe de a·v distingue retardé (−), uniforme (0) et accéléré (+).

📖 6. Mouvement circulaire uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Un mouvement circulaire uniforme a une trajectoire circulaire, ou constituée d’un arc de cercle, et une vitesse de valeur constante.
• Période : La période T est le temps nécessaire pour effectuer un tour complet et s’exprime en secondes.
• Fréquence : La fréquence représente le nombre de tours effectués par le mobile en une seconde et s’exprime en hertz.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération vaut $a=\frac{v^2}{r}$, dirigée radialement vers le centre.

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire uniforme, la période, la fréquence et la vitesse angulaire vérifient $N=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$ et $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi N$.

📐 Formule - La vitesse linéaire en mouvement circulaire uniforme vérifie $v=r\omega=2\pi rN$.

💡 Astuce mémo

Vitesse constante → accélération tangentielle nulle ; l’accélération reste centripète.

📊 Tableaux de synthèse

Repères adaptés au mouvement