Fiche de révision : Cinématique et lois de Newton

📋 Plan du Cours

1. Démarche et modèles physiques
2. Dimensions et unités physiques
3. Description du mouvement
4. Accélération et coordonnées cartésiennes
5. Coordonnées cylindriques et conversions
6. Mouvements rectilignes et circulaires
7. Fondements de la mécanique newtonienne
8. Champ gravitationnel et poids
9. Force électromagnétique
10. Forces de contact
11. Mouvements dans un champ de pesanteur
12. Trajectoire et portée du projectile
13. Énergie et travail des forces
14. Puissance et énergie cinétique
15. Forces conservatives et énergie potentielle
16. Conservation de l’énergie mécanique
17. Oscillations harmoniques
18. Oscillations amorties

📖 1. Démarche et modèles physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Physique : Science qui cherche à expliquer rationnellement les lois générales de la Nature à l’aide de principes fondamentaux réfutables par les faits expérimentaux.
• Théorie physique : Ensemble minimal de lois physiques permettant de produire des prévisions expérimentales pour une catégorie donnée de systèmes physiques.

★ À maîtriser

• 🔄 La démarche physique suit une succession d’étapes:
  1. Délimiter un système physique
  2. Construire un modèle simplifié
  3. Sélectionner les grandeurs mesurables pertinentes
  4. Établir des lois physiques
  5. Confronter les prédictions aux expériences
  6. Construire une théorie physique

📌 La cinématique décrit le mouvement des corps indépendamment de ses causes, tandis que la dynamique étudie les causes du mouvement et leurs liens de cause à conséquence.

Compléments

📌 Une grandeur physique évolue au cours du temps ou en fonction d’une autre grandeur, tandis qu’une grandeur d’influence est un paramètre qui influence le système sans évoluer pendant l’observation.

💡 Astuce mémo

Système → modèle → grandeurs → lois → théorie

📖 2. Dimensions et unités physiques

★ À maîtriser

• Les sept dimensions de base sont:
  • Longueur L
  • Temps T
  • Masse M
  • Intensité électrique I
  • Température θ
  • Intensité lumineuse J
  • Quantité de matière N

📌 Deux grandeurs physiques ne peuvent être comparées, additionnées ou soustraites que si elles ont la même dimension ; elles sont alors homogènes.

📐 Formule — La vitesse a pour dimension $[v]=L\,T^{-1}$ et l’énergie a pour dimension $[E]=M\,L^2\,T^{-2}$.

• Les unités SI de base sont:
  • Mètre (m)
  • Seconde (s)
  • Kilogramme (kg)
  • Ampère (A)
  • Kelvin (K)
  • Candela (cd)
  • Mole (mol)

Compléments

📐 Formule — La dimension d’un produit et celle d’un quotient vérifient respectivement $[ab]=[a][b]$ et $\left[\frac{a}{b}\right]=\frac{[a]}{[b]}$.

📌 L’argument des fonctions usuelles comme sin, cos, ln ou exp doit être adimensionné ; ainsi, dans $\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$, le paramètre τ a la dimension d’un temps.

• Le newton est une unité dérivée du système international vérifiant $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

• En 1998, la sonde Mars Climate Orbiter s’est écrasée sur Mars parce que des valeurs de freinage fournies en unités anglo-saxonnes ont été utilisées comme si elles étaient en unités du système international ; la sonde coûtait près de 200 millions de dollars.

💡 Astuce mémo

Unités incohérentes → mesures erronées → échec de l’expérience

📖 3. Description du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Objet ponctuel : Objet dont la taille ou la dimension est négligeable par rapport à la distance d’observation ou aux autres objets avec lesquels il interagit.
• Référentiel d’étude : Constitué d’un repère permettant de repérer la position d’un corps et d’une horloge permettant de dater les changements de position.
• Vecteur position : Le vecteur position d’un point matériel M dans un référentiel R est le vecteur reliant un point fixe O du référentiel à M, noté $\overrightarrow{OM}(t)$ lorsqu’il dépend du temps.
• Trajectoire : Ensemble des positions qu’il occupe dans l’espace au cours de son mouvement.

★ À maîtriser

📌 Dans le train, la balle lâchée par un observateur suit une trajectoire rectiligne, tandis que pour l’observateur placé au bord des rails elle suit une trajectoire parabolique.

📐 Formule — La vitesse moyenne vérifie $\langle\vec v\rangle=\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}$ et la vitesse instantanée vérifie $\vec v(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}(t)$.

📐 Formule — L’accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse et vérifie $\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}(t)$ ; sa dimension est $[a]=L\,T^{-2}$ et son unité SI est le mètre par seconde carrée.

Compléments

📌 Le vecteur vitesse instantanée est tangent à la trajectoire, tandis que l’accélération peut modifier la norme, la direction ou le sens de la vitesse.

📐 Formule — Lors d’un mouvement rectiligne unidirectionnel, l’aire sous la courbe de l’accélération entre t₁ et t₂ est égale à la variation de vitesse $\Delta v=v(t_2)-v(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}a\,dt$.

💡 Astuce mémo

Cinématique : comment le corps bouge ; dynamique : pourquoi il bouge

📖 4. Accélération et coordonnées cartésiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : Vecteur qui mesure les variations du vecteur vitesse, qu’elles concernent sa norme, sa direction ou son sens.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un mouvement unidirectionnel, l’accélération et la vitesse vérifient $a=\frac{dv}{dt}$, donc la variation de vitesse entre deux instants vaut $v(t_2)-v(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}a\,dt$.

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, le vecteur position, la vitesse et l’accélération s’écrivent respectivement $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$, $\vec v=\dot{x}\vec e_x+\dot{y}\vec e_y+\dot{z}\vec e_z$ et $\vec a=\ddot{x}\vec e_x+\ddot{y}\vec e_y+\ddot{z}\vec e_z$.

💡 Astuce mémo

Variation de vitesse ou de direction → accélération

📖 5. Coordonnées cylindriques et conversions

★ À maîtriser

📐 Formule — Les vecteurs de la base cylindrique mobile vérifient $\frac{d\vec e_r}{dt}=\dot{\theta}\vec e_\theta$ et $\frac{d\vec e_\theta}{dt}=-\dot{\theta}\vec e_r$.

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, les vecteurs position, vitesse et accélération sont $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$, $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z$ et $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z$.

Compléments

📐 Formule — Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes est donné par $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ et $z=z$.

📌 Pour passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques, on utilise $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ si x≠0 ; si x=0, θ vaut $\frac{\pi}{2}$ lorsque y>0 et $-\frac{\pi}{2}$ lorsque y<0.

💡 Astuce mémo

Un point tourne autour d’un axe avec les bases er, eθ et ez

📖 6. Mouvements rectilignes et circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Mouvement d’un corps se déplaçant en ligne droite à vitesse constante dans le référentiel de l’observateur.
• Mouvement circulaire uniforme : Mouvement d’un point matériel dont la trajectoire est un cercle et dont la vitesse est constante en norme.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniforme, $\vec a=\vec 0$ et l’équation horaire est $x(t)=v_0t+x_0$.

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, l’accélération est constante et l’équation horaire est $x(t)=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0$.

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R, la vitesse et l’accélération sont $\vec v=R\omega_0\vec e_\theta$ et $\vec a=-R\omega_0^2\vec e_r=-\frac{v_0^2}{R}\vec e_r$.

Compléments

📌 Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, a0>0 correspond à une accélération dans le sens de l’axe choisi, tandis que a0<0 correspond à une accélération dans le sens opposé et à une décélération selon ce choix d’axe.

💡 Astuce mémo

Rectiligne uniforme : vitesse constante et trajectoire droite ; circulaire uniforme : norme constante mais direction variable

📖 7. Fondements de la mécanique newtonienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse inertielle : Scalaire positif qui mesure la résistance d’un corps à la modification de sa vitesse ; elle se mesure en kilogrammes.
• Force : Vecteur modélisant une influence extérieure sur un système donné, caractérisé par une direction, un sens, une intensité et un point d’application.
• Champ gravitationnel : Vecteur défini en chaque point de l’espace par une masse source et permettant à une masse m placée en ce point de subir la force $\vec F=m\vec G$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La quantité de mouvement d’un point matériel de masse m et de vitesse $\vec v$ est le vecteur $\vec p=m\vec v$, exprimé en $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$.

📌 Dans un référentiel inertiel, un corps isolé est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.

📐 Formule — Le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\frac{d\vec p}{dt}=\sum\vec F$ ; si la masse est constante, il devient $\sum\vec F=m\vec a$.

📐 Formule — Pour deux points matériels en interaction, la force exercée par M1 sur M2 est opposée à celle exercée par M2 sur M1 : $\vec f_{12}=-\vec f_{21}$.

📐 Formule — La force gravitationnelle exercée par une masse m′ sur une masse m est $\vec F=-G\frac{m′m}{r^2}\vec u$, avec $G=6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$. — Newton, Principia

• À la surface de la Terre, l’intensité du champ gravitationnel vaut environ $9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Compléments

📌 Un point matériel est à l’équilibre dans un référentiel inertiel si et seulement si la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées est nulle, soit $\sum\vec F=\vec 0$.

• La mécanique newtonienne est applicable à faible vitesse lorsque $v\ll c$, loin d’un objet massif lorsque $R\gg R_S$, et à une échelle classique lorsque $l\gg\lambda$ ou $S\gg h$.

💡 Astuce mémo

Masse → quantité de mouvement → forces → lois de Newton

📖 8. Champ gravitationnel et poids

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ gravitationnel : Propriété locale de l’espace créée par un corps massif et définie en tout point de l’espace, permettant à une autre masse de subir une force gravitationnelle.

★ À maîtriser

📐 Formule — À la surface de la Terre, la force gravitationnelle exercée sur une masse m s’écrit $\vec{F}=m\vec{g}$, où le champ de pesanteur est vertical, dirigé vers le bas et vérifie $g=9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$.

Compléments

📐 Formule — Le champ gravitationnel terrestre à sa surface est obtenu par $\|\vec{G}_{\mathrm{Terre}}\|=\frac{GM_T}{R_T^2}=9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$, avec $R_T\simeq6{,}37\times10^6\ \mathrm{m}$, $G=6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$ et $M_T=5{,}97\times10^{24}\ \mathrm{kg}$.

💡 Astuce mémo

Masse → champ gravitationnel → force sur une autre masse

📖 9. Force électromagnétique

📝 Points essentiels

📐 Formule — La loi de Coulomb donne la force exercée par une charge ponctuelle q′ sur une charge q sous la forme $\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q′q}{r^2}\vec{u}$, où r est la distance entre les charges et $\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$. — Charles-Augustin Coulomb, 1785

📌 Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes opposés s’attirent.

📐 Formule — Un champ électrostatique quelconque $\vec{E}$ exerce sur une charge ponctuelle q une force $\vec{F}=q\vec{E}$.

📐 Formule — La force de Lorentz exercée sur une charge q de vitesse $\vec{v}$ dans les champs électrique $\vec{E}$ et magnétique $\vec{B}$ est $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B})$.

💡 Astuce mémo

Charges de même signe : répulsion ; charges de signes opposés : attraction

📖 10. Forces de contact

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension du fil : Force dirigée selon le fil, capable de tirer un objet mais pas de le repousser, et elle est nulle lorsque le fil n’est pas tendu.

★ À maîtriser

📐 Formule — La force de rappel exercée par un ressort idéal s’écrit $\vec{F}=-k\Delta l\vec{u}$, avec $\Delta l=l-l_0$ et une raideur k exprimée en $\mathrm{N.m^{-1}}$.

📐 Formule — La réaction d’un support solide se décompose en une réaction normale et une réaction tangentielle selon $\vec{R}=\vec{R}_N+\vec{R}_T$.

📐 Formule — La poussée d’Archimède exercée sur un corps immergé vaut $\vec{\Pi}=-m_{\mathrm{fluide}}\vec{g}$, avec $m_{\mathrm{fluide}}=\rho_{\mathrm{fluide}}V_{\mathrm{immergé}}$.

Compléments

• Un corps immergé peut subir trois types de forces:
  • la poussée d’Archimède
  • la force de frottement fluide
  • la force de portance

💡 Astuce mémo

Le fil tire, le ressort rappelle, le support s’oppose au mouvement

📖 11. Mouvements dans un champ de pesanteur

★ À maîtriser

• La résolution dynamique suit une méthodologie comprenant la définition du système, le choix et la validation du référentiel, le schéma, le choix des coordonnées, l’étude cinématique, le bilan des forces, l’écriture et la projection de la deuxième loi de Newton, puis l’intégration des équations scalaires.

📐 Formule — En chute libre dans le vide, seule la force de pesanteur agit et l’accélération du corps vérifie $\vec{a}=\vec{g}$, indépendamment de sa masse. — Galilée

📐 Formule — Pour une chute sans vitesse initiale depuis une hauteur h, l’équation horaire est $z(t)=\frac{1}{2}gt^2$, la durée de chute est $T=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ et la vitesse d’impact vaut $v=\sqrt{2gh}$.

📐 Formule — Avec un frottement fluide proportionnel à la vitesse, $\vec{f}=-k\vec{v}$, l’équation du mouvement est $m\dot{v}+kv=mg$ et la vitesse évolue selon $v(t)=\frac{mg}{k}(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau=\frac{m}{k}$.

📐 Formule — Pour un projectile lancé à la vitesse initiale v₀ sous un angle α sans frottement, les équations horaires sont $x(t)=v_0\cos\alpha\,t$ et $y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha\,t$.

📐 Formule — La trajectoire d’un projectile est une parabole d’équation $y(x)=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan\alpha$, sa hauteur maximale vaut $y_m=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ et sa portée vaut $x_p=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$.

Compléments

• La vitesse limite d’une chute avec frottement fluide proportionnel à la vitesse vaut $v_{\mathrm{lim}}=\frac{mg}{k}$ et le régime permanent est généralement considéré comme atteint après environ 5 à 7 fois le temps caractéristique τ.

💡 Astuce mémo

Choisir → représenter → projeter → intégrer

📖 12. Trajectoire et portée du projectile

📝 Points essentiels

📐 Formule — La hauteur maximale du projectile est atteinte à l’abscisse $x_m=\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$ et vaut $y_m=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$.

📐 Formule — La portée du projectile lancé et réceptionné à la même altitude est $x_p=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$.

• La portée est maximale pour l’angle de tir $\alpha=\frac{\pi}{4}$.

💡 Astuce mémo

Trajectoire → sommet → portée

📖 13. Énergie et travail des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie : une grandeur qui mesure la capacité d’un système à agir sur un autre système, notamment en modifiant son état, sa température, son mouvement ou son rayonnement électromagnétique
• Travail d’une force : l’énergie transférée vers ou depuis un système par une force contribuant à créer ou à s’opposer à un déplacement ou à une déformation

★ À maîtriser

📌 L’énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement échangée entre systèmes ou transformée d’une forme à une autre.

📐 Formule — Pour une force constante associée à un déplacement rectiligne de vecteur $\vec l$, le travail vaut $W_{AB}=\vec F\cdot\vec l=Fl\cos\theta$.

Compléments

📐 Formule — Pour une force quelconque le long d’une trajectoire $\gamma$, le travail total est l’intégrale curviligne $W_{AB}=\int_\gamma\delta W=\int_\gamma\vec F\cdot d\vec l$.

💡 Astuce mémo

Déplacement sans force efficace : pas de travail ; force alignée : transfert maximal

📖 14. Puissance et énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : l’énergie qu’un corps possède en raison de son mouvement

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance instantanée d’une force est la vitesse à laquelle elle réalise un travail et vaut $P=\frac{\delta W}{dt}=\vec F\cdot\vec v$.

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un point matériel de masse $m$ et de vitesse $\vec v$ vaut $E_c=\frac12mv^2$.

📌 Dans un référentiel inertiel, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s’exercent sur lui : $\Delta E_c=\sum W_{AB}(\vec F)$.

Compléments

• La puissance s’exprime en watts, avec $1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}$.

📐 Formule — Le travail d’une force entre deux instants se déduit de sa puissance par $W_{AB}=\int_{t_A}^{t_B}P\,dt$.

💡 Astuce mémo

Travail par unité de temps → puissance ; travail total → variation d’énergie cinétique

📖 15. Forces conservatives et énergie potentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : s’il existe une énergie potentielle telle que son travail entre A et B vérifie $W_{AB}=-\Delta E_p=E_p(A)-E_p(B)$

★ À maîtriser

📐 Formule — Le travail du poids entre les altitudes $z_A$ et $z_B$ vaut $W_{AB}=mg(z_A-z_B)$, quelle que soit la trajectoire suivie.

📐 Formule — L’énergie potentielle de pesanteur s’écrit $E_p(z)=mgz+c$, où la constante additive dépend du choix de la référence.

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur $k$ est $E_p(x)=\frac12k(x-x_0)^2+c$.

📐 Formule — Dans un mouvement rectiligne selon l’axe $Ox$, une force conservative vérifie $\vec F(x)=-\frac{dE_p}{dx}(x)\vec e_x$.

📌 Une position d’équilibre vérifie $\frac{dE_p}{dx}(x_{eq})=0$ ; elle est stable si elle correspond à un minimum d’énergie potentielle et instable si elle correspond à un maximum.

📌 Lorsqu’un point matériel n’est soumis qu’à des forces conservatives, la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles est conservée, ce qui s’écrit $\Delta(E_c+E_p)=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour un frottement d’intensité constante $f$ sur une distance $AB$, le travail vaut $W_{AB}=-f\,AB$.

💡 Astuce mémo

Poids et ressort conservent l’énergie ; frottement la dissipe

📖 16. Conservation de l’énergie mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie mécanique : Somme de son énergie cinétique et de toutes ses énergies potentielles : $E_m=E_c+\sum_i E_{p_i}$.

★ À maîtriser

📌 L’énergie mécanique est constante lorsqu’un point matériel est soumis uniquement à des forces conservatives et à des forces non conservatives qui ne travaillent pas.

📐 Formule — Dans le cas général, la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : $\Delta E_m=\sum W_{AB}(\vec F_{NC})$.

📌 Un travail moteur augmente l’énergie mécanique, tandis qu’un travail résistant la diminue par dissipation, généralement sous forme de chaleur.

Compléments

📐 Formule — Sous forme instantanée, le théorème de l’énergie mécanique s’écrit $\frac{dE_m}{dt}=\sum P(\vec F_{NC})$.

📌 L’approche énergétique fournit une équation scalaire et peut remplacer l’approche dynamique pour un système à un seul degré de liberté, mais elle complète seulement les lois de Newton pour un système à plusieurs degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Forces conservatives → énergie mécanique constante

📖 17. Oscillations harmoniques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le système masse-ressort horizontal, l’équation du mouvement est $\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$.

📐 Formule — L’énergie mécanique du système masse-ressort vaut $E_m=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$.

📐 Formule — La pulsation propre du système masse-ressort est $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ et s’exprime en rad.s⁻¹.

📐 Formule — La solution générale du mouvement harmonique est $x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)$, où A est l’amplitude et φ la phase à l’origine des dates.

📐 Formule — La période et la fréquence du mouvement harmonique vérifient $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$ et $f_0=\frac{1}{T_0}=\frac{\omega_0}{2\pi}$.

📐 Formule — Pour un pendule simple de faible amplitude, l’équation linéarisée est $\ddot{\theta}+\omega_0^2\theta=0$ avec $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une vitesse initiale horizontale v₀ et une position initiale d’équilibre, le pendule vérifie $\theta(t)=\frac{v_0}{l\omega_0}\sin(\omega_0t)$.

💡 Astuce mémo

Masse-ressort : élongation x ; pendule : angle θ

📖 18. Oscillations amorties

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le vecteur $\overrightarrow{OM}\wedge\vec{p}$, avec $\vec{p}=m\vec{v}$.
• Force centrale : Une force dont la direction est constamment alignée avec la droite reliant O au point d’application.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un frottement fluide linéaire se modélise par $\vec f=-\alpha\vec v$, ce qui conduit pour le système masse-ressort à $\ddot{x}+2\lambda\dot{x}+\omega_0^2x=0$ avec $2\lambda=\frac{\alpha}{m}$.

📌 Le régime pseudo-périodique correspond à un discriminant négatif et à un amortissement faible, le régime apériodique à un discriminant positif et à un amortissement important, tandis que le régime critique correspond à un discriminant nul.

📐 Formule — En régime pseudo-périodique, la solution est $x(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t+\varphi)$ avec $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$.

📐 Formule — En régime apériodique, la solution est $x(t)=C_1e^{(-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2})t}+C_2e^{(-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2})t}$ et le retour à l’équilibre se fait sans oscillation.

📐 Formule — En régime critique, la solution est $x(t)=(C_1+C_2t)e^{-\omega_0t}$ et le retour à l’équilibre est sans oscillation et plus rapide que dans le régime apériodique.

📌 Le moment cinétique est perpendiculaire aux vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\vec{v}$ ; pour un mouvement plan contenant O, il est perpendiculaire au plan, tandis que pour un mouvement rectiligne sur une droite passant par O, il est nul.

📐 Formule — Pour un point matériel en mouvement circulaire de rayon R autour de O, le moment cinétique vaut $\vec{L}_O=mR^2\dot{\theta}\vec{e}_z$.

📐 Formule — Dans un référentiel inertiel, la dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à un point fixe O est égale à la somme des moments des forces appliquées : $\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\sum\vec{M}_O(\vec{F})$.

📌 Si la somme des moments des forces par rapport à O est nulle, le moment cinétique par rapport à O est conservé.

📌 Une force centrale conserve le moment cinétique par rapport à son centre, même lorsque le mouvement n’est pas rectiligne uniforme.

📐 Formule — La force gravitationnelle exercée par une masse m′ située en O sur une masse m située en M vaut $\vec{F}=-G\frac{mm'}{r^2}\vec{u}$, avec $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ et $r=\|\overrightarrow{OM}\|$.

📌 Sous l’action d’une force gravitationnelle centrale, le moment cinétique est conservé et la trajectoire reste dans un plan passant par O et perpendiculaire au moment cinétique.

📐 Formule — La conservation du moment cinétique gravitationnel donne la constante des aires $C=r^2\dot{\theta}$ et la relation $dA=\frac{1}{2}C\,dt$.

📐 Formule — L’énergie potentielle gravitationnelle d’une masse m située à la distance r d’une masse m′ vaut $E_p(r)=-G\frac{mm'}{r}$ lorsque l’énergie potentielle est choisie nulle à l’infini.

💡 Astuce mémo

Faible, critique, fort : oscillations, seuil, retour sans oscillation

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des mouvements uniformes

Principales forces étudiées