Fiche de révision : Mathématiques EPF

📋 Plan du Cours

1. Calculs algébriques fondamentaux
2. Trigonométrie et forces
3. Vecteurs et géométrie analytique
4. Fonctions exponentielles et logarithmes
5. Dérivation et intégration

📖 1. Calculs algébriques fondamentaux

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des fractions définies, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ et $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$.

📐 Formule — Les propriétés des puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $a^m\div a^n=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $a^0=1$ si $a\ne0$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📐 Formule — Pour l’équation $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et les solutions dépendent de son signe : si $\Delta>0$, $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta=0$, $x=\frac{-b}{2a}$ ; si $\Delta<0$, il n’existe aucune solution réelle.

Compléments

📐 Formule — La valeur finale s’obtient par $\text{valeur finale}=\text{valeur initiale}\times(1+\text{taux d’évolution})$, et une baisse de $t\%$ correspond au coefficient $1-\frac{t}{100}$.

💡 Astuce mémo

FPR : fractions, puissances, racines

📖 2. Trigonométrie et forces

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, $\sin(\theta)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\cos(\theta)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan(\theta)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

📐 Formule — L’identité fondamentale est $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$ et, si $\cos(\theta)\ne0$, $\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$.

• Les valeurs remarquables du sinus sont $\sin(0°)=0$, $\sin(30°)=\frac12$, $\sin(45°)=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin(60°)=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin(90°)=1$.

• Les valeurs remarquables du cosinus sont $\cos(0°)=1$, $\cos(30°)=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(45°)=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos(60°)=\frac12$ et $\cos(90°)=0$.

Compléments

📐 Formule — Une force se décompose selon les axes par $F_x=F\cos(\theta)$ et $F_y=F\sin(\theta)$, selon la convention d’angle utilisée.

💡 Astuce mémo

sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse

📖 3. Vecteurs et géométrie analytique

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

📐 Formule — La norme d’un vecteur $\vec u$ vaut $\|\vec u\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$ dans le plan et $\|\vec u\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$ dans l’espace.

📐 Formule — Le produit scalaire vaut $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y$ dans le plan, avec le terme supplémentaire $u_zv_z$ dans l’espace.

📐 Formule — L’angle entre deux vecteurs vérifie $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\theta)$, donc $\cos(\theta)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$.

Compléments

📐 Formule — Le vecteur unitaire associé à un vecteur non nul $\vec u$ est $\frac{\vec u}{\|\vec u\|}$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées → norme → produit scalaire → angle

📖 4. Fonctions exponentielles et logarithmes

★ À maîtriser

📐 Formule — Les propriétés de l’exponentielle sont $e^a\times e^b=e^{a+b}$, $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ et $(e^a)^b=e^{ab}$.

📐 Formule — Pour $a>0$, les propriétés du logarithme népérien sont $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$ et $\ln(a^k)=k\ln(a)$.

📐 Formule — Les relations réciproques sont $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln(x)}=x$ pour $x>0$.

Compléments

📐 Formule — Le niveau en décibels vaut $L=10\log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right)$ pour une puissance et $L=20\log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right)$ pour une amplitude, selon le contexte.

📐 Formule — Pour la fonction quadratique $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $x_S=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

La puissance multiplie les rapports, le logarithme les transforme en sommes

📖 5. Dérivation et intégration

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac1x$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📐 Formule — Les règles de dérivation sont $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule — La dérivée d’une composition vérifie $(f(u(x)))'=f'(u(x))\times u'(x)$ ; notamment, $(e^u)'=u'e^u$ et $(\ln u)'=\frac{u'}u$.

📐 Formule — Si F est une primitive de f, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, et l’intégration par parties donne $\int uv'=uv-\int u'v$.

📌 Si $f'(x)>0$, alors f est croissante, tandis que si $f'(x)<0$, alors f est décroissante.

Compléments

📐 Formule — Une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ si $n\ne-1$, et une primitive de $\frac1x$ est $\ln|x|$.

💡 Astuce mémo

Le signe de la dérivée → le sens de variation