Fiche de révision : Dimension et analyse dimensionnelle

📋 Plan du Cours

1. Systèmes d’unités SI et CGS
2. Préfixes et puissances de dix
3. Unités physiques dérivées
4. Équations aux dimensions
5. Applications de l’analyse dimensionnelle

📖 1. Systèmes d’unités SI et CGS

★ À maîtriser

• Le Système International repose sur sept grandeurs fondamentales:

  • longueur en mètre (m)
  • masse en kilogramme (kg)
  • temps en seconde (s)
  • intensité du courant électrique en ampère (A)
  • intensité lumineuse en candela (cd)
  • température en kelvin (K)
  • quantité de matière en mole (mol)

• Le système CGS utilise le centimètre (cm) pour la longueur, le gramme (g) pour la masse et la seconde (s) pour le temps.

Compléments

• Les unités supplémentaires associées au SI sont le radian (rad) pour l’angle plan et le stéradian (sr) pour l’angle solide.

💡 Astuce mémo

SI : L-M-T-I-T-C-N, soit longueur, masse, temps, courant, température, intensité lumineuse, quantité de matière

📖 2. Préfixes et puissances de dix

★ À maîtriser

• Les sous-multiples décimaux vont du milli (m, $10^{-3}$) au yocto (y, $10^{-24}$), en passant par micro (μ, $10^{-6}$), nano (n, $10^{-9}$), pico (p, $10^{-12}$), femto (f, $10^{-15}$), atto (a, $10^{-18}$) et zepto (z, $10^{-21}$).

Compléments

• Les principaux multiples décimaux sont le kilo (k, $10^3$), le méga (M, $10^6$), le giga (G, $10^9$) et le téra (T, $10^{12}$).

💡 Astuce mémo

Multiples : puissances positives ; sous-multiples : puissances négatives

📖 3. Unités physiques dérivées

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse est le rapport de la distance au temps : $v=\frac{d}{t}$, et son unité SI est $m\,s^{-1}$.

• L’accélération est le rapport de la vitesse au temps et son unité SI est $m\,s^{-2}$.

📐 Formule — La force est le produit de la masse par l’accélération : $F=ma$, soit $kg\,m\,s^{-2}$, unité appelée newton (N).

📐 Formule — L’énergie est le produit de la force par la distance : $E=Fd$, soit $kg\,m^2\,s^{-2}$, unité appelée joule (J).

Compléments

📌 Les symboles des unités sont écrits en minuscules, sauf lorsqu’ils dérivent d’un nom propre, comme le newton (N) et le joule (J).

💡 Astuce mémo

Distance → vitesse → accélération → force → énergie

📖 4. Équations aux dimensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension : Exprime la composition d’une grandeur physique en grandeurs fondamentales.

★ À maîtriser

• Les dimensions fondamentales utilisées sont:
  • la longueur L
  • la masse M
  • le temps T
  • l’intensité I

📐 Formule — La vitesse vérifie $[v]=\frac{[d]}{[t]}=LT^{-1}$, puisque la distance a pour dimension L et le temps a pour dimension T.

📐 Formule — La dimension générale d’une grandeur X s’écrit $[X]=M^aL^bT^cI^d$, où a, b, c et d sont des coefficients.

Compléments

• Une constante k sans unité a pour dimension $[k]=1=M^0L^0T^0I^0$.

💡 Astuce mémo

Unité = système choisi ; dimension = composition en grandeurs fondamentales

📖 5. Applications de l’analyse dimensionnelle

📝 Points essentiels

📌 Une équation est homogène lorsque les termes de ses deux membres ont la même dimension ou la même unité ; une équation non homogène est fausse.

• Pour déterminer la dimension de la constante de raideur k d’un ressort dans $F=kx$, on divise la dimension de la force par celle de l’élongation et l’on obtient $[k]=MT^{-2}$, soit $kg\,s^{-2}$ en SI.

• L’analyse dimensionnelle permet de: vérifier l’homogénéité d’une équation, trouver la dimension d’une grandeur nouvelle, trouver l’unité d’une grandeur nouvelle, établir une formule nouvelle à partir des paramètres pertinents

💡 Astuce mémo

Équation non homogène → équation fausse

📊 Tableaux de synthèse

SI et CGS