Fiche de révision : Cinématique et mouvements circulaires

📋 Plan du Cours

1. Position et trajectoire d’un point
2. Vecteur vitesse instantanée
3. Vecteur accélération
4. Détermination graphique du mouvement
5. Repère de Frenet circulaire
6. Mouvements circulaires uniforme et variable

📖 1. Position et trajectoire d’un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique du point : Étude du mouvement d’un point représentatif d’un système, généralement choisi comme son centre de masse, dans un référentiel associé à un repère.
• Vecteur position : Repère la position du point M dans un repère orthonormé, et ses coordonnées peuvent dépendre du temps.

★ À maîtriser

• Les fonctions x(t), y(t) et z(t) sont les équations horaires de la position, tandis que la trajectoire est la courbe formée par l’ensemble des positions successives du point.

Compléments

• Pour un ballon lancé à 30° au-dessus de l’horizontale avec une vitesse initiale de 20 m.s⁻¹, en négligeant les frottements, les équations horaires sont $x(t)=17t$ et $y(t)=-4{,}9t^2+10t$.

📖 2. Vecteur vitesse instantanée

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, et dont la norme représente la vitesse instantanée.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : $\vec{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$, avec les coordonnées $v_x=\frac{dx}{dt}$, $v_y=\frac{dy}{dt}$ et $v_z=\frac{dz}{dt}$.

📐 Formule — La norme du vecteur vitesse vérifie $v(t)=\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{v_x^2(t)+v_y^2(t)+v_z^2(t)}$.

Compléments

• Pour le ballon étudié, les composantes de la vitesse sont $v_x(t)=17\ \mathrm{m.s^{-1}}$ et $v_y(t)=-9{,}8t+10\ \mathrm{m.s^{-1}}$.

💡 Astuce mémo

Position → dérivée → vitesse

📖 3. Vecteur accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : Grandeur vectorielle qui représente la variation du vecteur vitesse au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse et la dérivée seconde du vecteur position : $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}(t)}{dt^2}$.

Compléments

📐 Formule — Les coordonnées de l’accélération vérifient $a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$, $a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}$ et $a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}$.

📐 Formule — La norme de l’accélération vérifie $a(t)=\|\vec{a}(t)\|=\sqrt{a_x^2(t)+a_y^2(t)+a_z^2(t)}$ et s’exprime en mètres par seconde carrée.

• Pour le ballon étudié, l’accélération est constante avec $a_x=0\ \mathrm{m.s^{-2}}$ et $a_y=-9{,}8\ \mathrm{m.s^{-2}}$, donc elle est dirigée selon $-\vec{j}$.

💡 Astuce mémo

Position → vitesse → accélération

📖 4. Détermination graphique du mouvement

★ À maîtriser

• Sur une chronophotographie, le vecteur vitesse au point M(t) est approximé par la vitesse moyenne entre M(t-Δt) et M(t+Δt), puis le vecteur accélération est obtenu à partir de la variation du vecteur vitesse.

📐 Formule — La vitesse graphique s’écrit $\vec{v}(t)\approx\frac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t-\Delta t)}{2\Delta t}$.

📐 Formule — L’accélération graphique vérifie $\vec{a}(t)\approx\frac{\Delta\vec{v}(t)}{2\Delta t}$ et $a(t)=\frac{\Delta v(t)}{2\Delta t}$.

Compléments

📐 Formule — La variation du vecteur vitesse est $\Delta\vec{v}(t)=\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t-\Delta t)$.

• Les unités du système international sont: la longueur en mètres (m), la durée en secondes (s), la vitesse en mètres par seconde (m.s⁻¹), l’accélération en mètres par seconde carrée (m.s⁻²)

💡 Astuce mémo

Variation de vitesse → accélération

📖 5. Repère de Frenet circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Constitué, au point M, du vecteur unitaire tangent orienté dans le sens du mouvement et du vecteur unitaire normal perpendiculaire à la trajectoire et orienté vers l’intérieur de sa courbure.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le repère de Frenet, l’accélération circulaire s’écrit $\vec{a}(t)=\frac{dv}{dt}\vec{u_t}+\frac{v^2(t)}{R}\vec{u_n}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une trajectoire circulaire de rayon R, le vecteur position vérifie $\overrightarrow{OM}(t)=-R\vec{u_n}$ et le vecteur vitesse vérifie $\vec{v}(t)=v\vec{u_t}$.

💡 Astuce mémo

Une flèche tangentielle et une flèche normale pointant vers l’intérieur du cercle

📖 6. Mouvements circulaires uniforme et variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Trajectoire circulaire et norme de vitesse constante, mais direction du vecteur vitesse variant continuellement.
• Mouvement circulaire non uniforme : Un mouvement circulaire non uniforme possède une accélération comportant une composante tangentielle et une composante normale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète et vérifie $\vec{a}(t)=\frac{v^2}{R}\vec{u_n}$, car $\frac{dv}{dt}=0$.

Compléments

📌 Dans un mouvement circulaire non uniforme, l’accélération tangentielle $\frac{dv}{dt}$ est positive lorsque le mouvement est accéléré et négative lorsqu’il est ralenti.

💡 Astuce mémo

Uniforme : accélération centripète seule ; non uniforme : composantes tangentielle et normale

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des mouvements circulaires