Fiche de révision : Circuits électriques et dipôles

📋 Plan du Cours

1. Description des circuits électriques
2. Courant, tension et régimes
3. Puissance et conventions électriques
4. Lois de Kirchhoff
5. Classification des dipôles
6. Dipôles linéaires usuels
7. Associations et fonctionnement
8. Méthodes d’étude des circuits

📖 1. Description des circuits électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit électrique : Ensemble de dipôles ou composants électriques reliés les uns aux autres.
• Dipôle : Un dipôle est un composant électrique comportant deux bornes, comme un générateur, une résistance, une bobine ou un condensateur.
• Nœud électrique : Point commun relié à au moins trois composants électriques.
• Branche électrique : Une branche électrique est une portion de circuit comprise entre deux nœuds, sans compter les simples fils.
• Maille électrique : Une maille électrique est un ensemble de branches formant une boucle fermée et orientée qui ne passe qu'une fois par un nœud donné.

📖 2. Courant, tension et régimes

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant électrique : Déplacement d'ensemble de particules chargées électriquement, comme les électrons dans les métaux ou les ions dans les solutions ioniques.
• Tension électrique : La tension entre deux points A et B est leur différence de potentiel, donnée par $u_{AB}=V_A-V_B$, et la flèche de tension pointe vers la première lettre.

★ À maîtriser

📐 Formule — L'intensité algébrique du courant traversant un conducteur orienté vérifie $i=\frac{dq}{dt}$ et s'exprime en ampères, avec $1\,\mathrm{A}=1\,\mathrm{C}\cdot\mathrm{s}^{-1}$.

• L'approximation des régimes quasi-stationnaires est valable lorsque la durée de propagation vérifie $\tau_{\mathrm{propagation}}\ll T$, et les lois usuelles restent applicables aux grandeurs variables.

Compléments

📌 Tous les points reliés par un fil parfait sans résistance sont au même potentiel électrique.

💡 Astuce mémo

Courant = débit de charges ; tension = différence de potentiels

📖 3. Puissance et conventions électriques

★ À maîtriser

📐 Formule — En convention récepteur, la puissance algébrique reçue par un dipôle vérifie $p_{\mathrm{reçue}}=u_{AB}i$.

📌 En convention récepteur, $p_{\mathrm{reçue}}>0$ signifie que le dipôle reçoit de la puissance et $p_{\mathrm{reçue}}<0$ qu'il en fournit.

Compléments

📐 Formule — La puissance est la dérivée de l'énergie par rapport au temps, soit $p=\frac{dE}{dt}$, et $1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1}$.

📐 Formule — En convention générateur, la puissance fournie par un dipôle vérifie $p_{\mathrm{fournie}}=u_{BA}i$.

💡 Astuce mémo

Convention récepteur : puissance reçue ; convention générateur : puissance fournie

📖 4. Lois de Kirchhoff

📝 Points essentiels

📌 La loi des nœuds exprime la conservation de la charge électrique : la somme algébrique des intensités arrivant et sortant d'un nœud est nulle, $\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_k i_k=0$. — Kirchhoff, 1845

📌 La loi des mailles affirme que la somme algébrique des tensions le long d'une maille orientée est nulle, $\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_k u_k=0$. — Kirchhoff, 1845

💡 Astuce mémo

Conservation des charges au nœud → somme des courants nulle ; additivité des tensions en maille → somme nulle

📖 5. Classification des dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractéristique courant-tension : Graphe représentant l'intensité i en fonction de la tension u, soit i=f(u).
• Dipôle linéaire : Un dipôle est linéaire si i et u sont liés par une équation linéaire, simple ou différentielle, à coefficients constants.

📝 Points essentiels

📌 Un dipôle est symétrique si son fonctionnement ne change pas lorsque ses bornes sont permutées ; sinon, il est polarisé.

📌 Un dipôle est passif si sa tension en circuit ouvert est nulle ; sinon, il est actif.

📖 6. Dipôles linéaires usuels

📝 Points essentiels

📌 Un fil idéal ou un interrupteur fermé impose une tension nulle entre ses bornes, $u=0$, tandis que le courant dépend du reste du circuit.

📌 Un interrupteur ouvert impose un courant nul, $i=0$, tandis que la tension dépend du reste du circuit.

📐 Formule — En convention récepteur, un résistor vérifie la loi d'Ohm $u=Ri$, soit $i=\frac{u}{R}=Gu$ avec $G=\frac{1}{R}$.

📐 Formule — La puissance reçue par un résistor est dissipée par effet Joule et vérifie $p=ui=Ri^2=\frac{u^2}{R}$.

📐 Formule — Un condensateur vérifie $q(t)=Cu(t)$ et, si sa capacité est constante, $i(t)=C\frac{du}{dt}$.

📐 Formule — Une bobine idéale vérifie $u(t)=L\frac{di}{dt}$, où L est son inductance exprimée en henrys.

📌 Un générateur idéal de tension impose $u=e$ quel que soit le courant, tandis qu'un générateur idéal de courant impose $i=\eta$ quelle que soit la tension.

📐 Formule — Un générateur réel vérifie en convention générateur $u=e-ri$ ou $i=\eta-gu$, avec $g=\frac{1}{r}$.

📖 7. Associations et fonctionnement

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n résistors en série, la résistance équivalente est $R_{\mathrm{eq}}=\sum_{k=1}^{n}R_k=R_1+R_2+\cdots+R_n$.

📐 Formule — Pour n résistors en parallèle, la résistance équivalente vérifie $\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_k}$, soit $G_{\mathrm{eq}}=\sum_{k=1}^{n}G_k$.

📐 Formule — Le point de fonctionnement P est l'intersection des caractéristiques du circuit ; pour un résistor R alimenté par un générateur réel de f.e.m. e et de résistance interne r, $i_P=\frac{e}{R+r}$ et $u_P=\frac{Re}{R+r}$.

Compléments

📐 Formule — Pour des générateurs idéaux de tension en série, la f.e.m. équivalente est $e_{\mathrm{eq}}=\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_k e_k$, avec $\varepsilon_k=1$ en convention générateur et $\varepsilon_k=-1$ en convention récepteur.

📐 Formule — Pour des générateurs idéaux de courant en parallèle, le courant équivalent est $\eta_{\mathrm{eq}}=\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_k\eta_k$, avec un signe fixé par l'orientation de chaque courant.

💡 Astuce mémo

Série : même courant ; parallèle : même tension

📖 8. Méthodes d’étude des circuits

📝 Points essentiels

• L'étude d'un circuit par les lois de Kirchhoff consiste à choisir les courants, écrire les lois des nœuds, orienter les mailles, écrire les lois des mailles, puis appliquer les relations constitutives.

📐 Formule — Dans un pont diviseur de tension constitué de résistors en série, la tension aux bornes du résistor k vaut $u_k=\frac{R_k}{\sum_{j=1}^{n}R_j}u$.

📐 Formule — Dans un pont diviseur de courant constitué de résistors en parallèle, le courant dans le résistor k vaut $i_k=\frac{G_k}{\sum_{j=1}^{n}G_j}i$.

💡 Astuce mémo

Orienter → écrire les nœuds → écrire les mailles → appliquer les relations constitutives

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des conventions de puissance

Associations de résistors