Fiche de révision : Circuits électriques et dipôles

📋 Plan du Cours

1. Courant, tension et mesures électriques
2. Dipôles et conventions électriques
3. Lois de Kirchhoff et associations
4. Résistances et diviseurs
5. Générateurs et équivalents
6. Théorèmes de circuit
7. Puissance, énergie et fonctionnement
8. Condensateurs et inductances

📖 1. Courant, tension et mesures électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant électrique : Déplacement des électrons dans les métaux et des cations et des anions dans un électrolyte.
• Tension électrique : Différence de potentiel entre deux points, vérifiant $U_{AB}=V_B-V_A$.

★ À maîtriser

• Le sens conventionnel du courant est du pôle positif vers le pôle négatif.

📐 Formule - L’intensité d’un courant variable vérifie $i=\frac{dq}{dt}$ et, pour un courant continu mesuré sur une durée donnée, $I=\frac{Q}{t}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$.

• L’ampèremètre se branche en série, tandis qu’un branchement en parallèle peut provoquer un court-circuit.

• Le voltmètre mesure une tension et se branche en parallèle.

Compléments

📐 Formule - La charge totale portée par N charges élémentaires vérifie $Q=Ne$, avec $e=1{,}6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$.

• Deux points reliés à la même masse électrique ont la même tension, donc leur tension mutuelle est nulle.

💡 Astuce mémo

L’ampèremètre se place en série ; le voltmètre se place en parallèle.

📖 2. Dipôles et conventions électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrique : Composant électrique possédant deux bornes, une borne positive d’entrée et une borne négative de sortie.
• Caractéristique d’un dipôle : Relation tension-courant décrite sous la forme $U=f(i)$ ou $i=f(U)$.

★ À maîtriser

📌 Un récepteur consomme l’énergie électrique et la transforme, tandis qu’un générateur fournit de l’énergie électrique au circuit à partir d’une autre forme d’énergie.

📌 Un dipôle actif peut fournir de l’énergie au circuit ou amplifier un signal, tandis qu’un dipôle passif ne produit ni énergie ni amplification et peut consommer ou stocker de l’énergie.

Compléments

• Les exemples de récepteurs et de générateurs sont :

  • une lampe
  • un moteur
  • une résistance
  • une diode
  • une pile
  • un générateur

• Un générateur est un dipôle actif, mais tout dipôle actif n’est pas nécessairement un générateur, comme le montre le transistor cité comme dipôle actif.

💡 Astuce mémo

Convention récepteur : puissance positive consommée ; convention générateur : puissance positive produite.

📖 3. Lois de Kirchhoff et associations

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi des nœuds de Kirchhoff impose que la somme des courants entrants soit égale à la somme des courants sortants : $\sum I_{\mathrm{entrant}}=\sum I_{\mathrm{sortant}}$.

📐 Formule - La loi des mailles de Kirchhoff impose que la somme algébrique des tensions d’une maille soit nulle : $\sum_{i=1}^{n}U_i=0$.

📌 En série, les dipôles sont traversés par le même courant, tandis qu’en parallèle ils ont la même tension.

Compléments

📐 Formule - Pour une maille comportant une source E et les tensions U₂, U₃ et U₄, l’équation donnée est $E-U_2-U_3-U_4=0$.

• Pour les unités indiquées, une résistance en ohms associée à une tension en volts donne un courant en ampères, et une résistance en kilohms avec une tension en volts donne un courant en milliampères.

📖 4. Résistances et diviseurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un conducteur ohmique, la loi d’Ohm s’écrit $U=Ri$.

📐 Formule - La résistance d’un conducteur ohmique est $R=\rho\frac{l}{S}$, où l est sa longueur, S sa section et ρ sa résistivité.

📐 Formule - Pour des résistances en série, $R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2+\cdots+R_n$.

📐 Formule - Pour des résistances en parallèle, $\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\sum_i\frac{1}{R_i}$ et la conductance équivalente est $G_{\mathrm{eq}}=\sum_iG_i$.

📐 Formule - Dans un pont diviseur de tension avec des résistances en série, la tension aux bornes de chaque résistance est proportionnelle à sa résistance : $U_{R_j}=\frac{R_jU}{R_1+R_2+\cdots+R_n}$.

📐 Formule - Dans un pont diviseur de courant avec deux résistances en parallèle, $i_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}i$ et $i_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}i$.

Compléments

📐 Formule - La résistivité varie avec la température selon $\rho(T)=\rho_0\left(1+\alpha(T-T_0)\right)$, où α est le coefficient de température.

📐 Formule - Pour deux résistances en parallèle, $R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

📐 Formule - Pour n branches parallèles de conductances $G_i=1/R_i$, les courants vérifient $i_j=i\frac{G_j}{\sum_iG_i}$.

📖 5. Générateurs et équivalents

★ À maîtriser

• L’association en série de générateurs de tension donne une force électromotrice équivalente égale à la somme des f.é.m. et une résistance interne égale à la somme des résistances internes ; elle permet d’augmenter la tension globale.

📐 Formule - L’association en parallèle de générateurs de courant donne $I_{\mathrm{eq}}=\sum_i I_i$ et $G_{\mathrm{eq}}=\sum_iG_i$, et permet d’augmenter l’intensité totale fournie.

Compléments

📐 Formule - Un générateur réel de tension de f.é.m. E et de résistance interne r vérifie $U=E-ri$.

📐 Formule - Un générateur réel de courant de courant I_g et de résistance interne r en parallèle avec une charge vérifie $i=I_g-\frac{U}{r}$.

📖 6. Théorèmes de circuit

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de Thévenin représente un réseau vu de deux bornes par une source de tension E_Thv en série avec une résistance R_Thv ; avec une charge R_x, $U_x=\frac{E_{\mathrm{Thv}}R_x}{R_{\mathrm{Thv}}+R_x}$ et $I_x=\frac{E_{\mathrm{Thv}}}{R_{\mathrm{Thv}}+R_x}=\frac{U_x}{R_x}$.

• Pour déterminer E_Thv, on débranche la charge entre A et B puis on calcule la tension à vide U_AB, égale à E_Thv.

• Pour déterminer R_Thv, on débranche la charge, on annule les sources de tension en les remplaçant par des courts-circuits, puis on annule les sources de courant en les ouvrant ; la résistance équivalente vue de A-B est R_Thv.

📐 Formule - Le théorème de Norton représente le réseau par un générateur de courant I_N en parallèle avec R_N ; dans une charge R, $I=\frac{I_NR_N}{R+R_N}$.

• Le courant de Norton I_N est le courant de court-circuit entre A et B lorsque la charge est débranchée.

📐 Formule - Le théorème de Millman donne la tension d’un nœud de branches parallèles par $U_x=\frac{\sum_k E_k/R_k}{\sum_k1/R_k}$.

• Par superposition, on calcule les contributions de chaque générateur actif séparément, puis on combine algébriquement les contributions de courant selon leur sens.

Compléments

📐 Formule - La résistance de Norton est la résistance équivalente vue entre A et B avec les sources indépendantes neutralisées, et le cours indique $R_N=R_{\mathrm{éq}\,A-B}$.

• Dans l’exemple de Millman, les sources E₄ et E₅ sont nulles.

📐 Formule - Dans l’exemple de superposition, $I_1=I_1'-I_1''$, $I_2=I_2'-I_2''$ et $I_3=I_3'+I_3''$.

📖 7. Puissance, énergie et fonctionnement

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance électrique vérifie $P=Ui$, et $1\ \mathrm{kWh}=3{,}6\times10^6\ \mathrm{J}$.

📐 Formule - L’effet Joule dissipe une puissance $P=Ri^2=\frac{U^2}{R}$ et une énergie thermique $E=Pt=Ri^2t$.

📌 En convention récepteur, une puissance positive signifie que le dipôle consomme de l’énergie et une puissance négative qu’il en produit ; en convention générateur, les interprétations sont inversées.

📐 Formule - Pour un générateur réel de f.é.m. E alimentant une charge résistive R, le courant vaut $i=\frac{E}{R+r}$ et la puissance reçue par la charge vaut $P(R)=\frac{RE^2}{(R+r)^2}$.

📌 La puissance fournie à la charge est maximale lorsque la résistance de charge est égale à la résistance interne du générateur, soit R=r.

Compléments

📐 Formule - L’énergie électrique est liée à la puissance par $P=\frac{dE}{dt}$ et $dE=P\,dt$.

📌 En régime continu, la tension et le courant sont constants au cours du temps, tandis qu’en régime variable ou alternatif, les grandeurs électriques varient avec le temps.

📐 Formule - À l’adaptation R=r, la puissance maximale fournie à la charge est $P_{\max}=\frac{E^2}{4r}$.

• Le point de fonctionnement est noté P_F(I_F,U_F) et correspond à des valeurs communes de tension et de courant pour les deux dipôles associés.

📖 8. Condensateurs et inductances

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie stockée dans un condensateur est $E=\frac12CU^2$.

📐 Formule - L’énergie stockée dans une inductance est $E=\frac12LI^2$.

• En régime continu, le condensateur a une tension constante et un courant nul, et se comporte comme un interrupteur ouvert.

• En régime continu, une bobine idéale a un courant constant, une tension nulle et équivaut à un fil.

Compléments

📐 Formule - Pour un condensateur, $i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$.

📐 Formule - Pour une bobine d’inductance L, $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$.

📐 Formule - Pour des condensateurs, l’association en série vérifie $\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\sum_i\frac{1}{C_i}$ et l’association en parallèle vérifie $C_{\mathrm{eq}}=\sum_iC_i$.

💡 Astuce mémo

En continu, le condensateur est ouvert tandis que la bobine idéale équivaut à un fil.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des modèles de Thévenin et Norton