Fiche de révision : Nombres complexes et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Écritures et représentation complexe
2. Passage entre les formes complexes
3. Affixes et transformations géométriques
4. Conjugué et propriétés algébriques

📖 1. Écritures et représentation complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : La forme algébrique d’un nombre complexe est $z=a+ib$, où $a=\mathrm{Re}(z)$ est sa partie réelle et $b=\mathrm{Im}(z)$ sa partie imaginaire.
• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un nombre complexe est $z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=re^{i\theta}$.

📝 Points essentiels

• Dans le plan complexe, le point $M$ associé à $z$ vérifie $OM=r$ et l’angle orienté $\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\right)=\theta$.

💡 Astuce mémo

La forme algébrique donne les coordonnées ; la forme trigonométrique donne le module et l’argument.

📖 2. Passage entre les formes complexes

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les relations entre forme algébrique et forme trigonométrique sont $\cos(\theta)=\frac{a}{r}$ et $\sin(\theta)=\frac{b}{r}$.

📐 Formule - Le module vérifie $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on utilise $a=r\cos(\theta)$ et $b=r\sin(\theta)$.

📖 3. Affixes et transformations géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Si le point $A(a,b)$ a pour affixe $z_A$, alors $z_A=a+ib$.

📐 Formule - L’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.

Compléments

📐 Formule - L’affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$.

📐 Formule - Pour les points pondérés $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ et $(C,\delta)$, l’affixe du barycentre $G$ est $z_G=\frac{\alpha z_A+\beta z_B+\delta z_C}{\alpha+\beta+\delta}$, avec $\alpha+\beta+\delta\ne 0$.

📐 Formule - Si $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$, alors leurs affixes vérifient $z_{\overrightarrow{AD}}=kz_{\overrightarrow{AB}}$.

📖 4. Conjugué et propriétés algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué de $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb{R}$, est $\overline{z}=a-ib$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La conjugaison respecte la somme et le produit : $\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$ et $\overline{z\times z'}=\overline z\times\overline{z'}$.

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement si $z=\overline z$, tandis qu’il est imaginaire pur si et seulement si $z=-\overline z$.

Compléments

📐 Formule - La somme et la différence d’un nombre complexe et de son conjugué vérifient $z+\overline z=2\mathrm{Re}(z)$ et $z-\overline z=2i\mathrm{Im}(z)$.

📐 Formule - Le conjugué du conjugué de $z$ est $\overline{\overline z}=z$, et, si $z'\ne0$, $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=\frac{\overline z}{\overline{z'}}$.

📐 Formule - La partie réelle du conjugué est inchangée et sa partie imaginaire est opposée : $\mathrm{Re}(\overline z)=\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(\overline z)=-\mathrm{Im}(z)$.

• La symétrie par rapport à l’axe réel transforme l’affixe $z_M$ de $M$ en l’affixe conjuguée $z_{M_1}=\overline{z_M}$.

• La symétrie centrale de centre $O$ transforme l’affixe $z_M$ de $M$ en $z_{M_2}=-z_M$.