Nombres complexes et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Écritures et représentation complexe
2. Passage entre les formes complexes
3. Affixes et transformations géométriques
4. Conjugué et propriétés algébriques

📖 1. Écritures et représentation complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : La forme algébrique d’un nombre complexe est $z=a+ib$, où $a=\mathrm{Re}(z)$ est sa partie réelle et $b=\mathrm{Im}(z)$ sa partie imaginaire.
• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un nombre complexe est $z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=re^{i\theta}$.

📝 Points essentiels

• Dans le plan complexe, le point $M$ associé à $z$ vérifie $OM=r$ et l’angle orienté $\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\right)=\theta$.

💡 Astuce mémo

La forme algébrique donne les coordonnées ; la forme trigonométrique donne le module et l’argument.

📖 2. Passage entre les formes complexes

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les relations entre forme algébrique et forme trigonométrique sont $\cos(\theta)=\frac{a}{r}$ et $\sin(\theta)=\frac{b}{r}$.

📐 Formule - Le module vérifie $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on utilise $a=r\cos(\theta)$ et $b=r\sin(\theta)$.