QCM : Nombres complexes et géométrie (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Parmi les propositions suivantes concernant la forme trigonométrique d’un nombre complexe, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

La forme trigonométrique peut aussi s’écrire z=reiθz=re^{i\theta}.
Dans le plan complexe, le point associé vérifie OM=θOM=\theta.
Le facteur rr multiplie la somme cos⁡(θ)+isin⁡(θ)\cos(\theta)+i\sin(\theta).
La forme trigonométrique s’écrit z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)).
Dans le plan complexe, l’angle orienté associé au point vaut rr.

La forme trigonométrique peut aussi s’écrire $$z=re^{i\theta}$$. · Le facteur $$r$$ multiplie la somme $$\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$. · La forme trigonométrique s’écrit $$z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$.

Explication

La forme trigonométrique s’écrit z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)), ou encore z=reiθz=re^{i\theta}. Le facteur rr multiplie la somme trigonométrique. Dans le plan complexe, le point associé vérifie OM=rOM=r et l’angle orienté associé vaut θ\theta : les égalités qui attribuent ces rôles à l’autre paramètre sont incorrectes.

2. À propos du passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

La relation entre la partie imaginaire et le module est sin⁡(θ)=br\sin(\theta)=\frac{b}{r}.
Le quotient ar\frac{a}{r} correspond au cosinus de l’argument θ\theta.
Les coordonnées algébriques a,ba,b interviennent respectivement dans cosinus et sinus.
La relation entre la partie réelle et le module est cos⁡(θ)=ar\cos(\theta)=\frac{a}{r}.
Le quotient br\frac{b}{r} correspond au sinus de l’argument θ\theta.

La relation entre la partie imaginaire et le module est $$\sin(\theta)=\frac{b}{r}$$. · Le quotient $$\frac{a}{r}$$ correspond au cosinus de l’argument $$\theta$$. · Les coordonnées algébriques $$a,b$$ interviennent respectivement dans cosinus et sinus. · La relation entre la partie réelle et le module est $$\cos(\theta)=\frac{a}{r}$$. · Le quotient $$\frac{b}{r}$$ correspond au sinus de l’argument $$\theta$$.

Explication

Les relations de conversion sont cos⁡(θ)=ar\cos(\theta)=\frac{a}{r} et sin⁡(θ)=br\sin(\theta)=\frac{b}{r}. Elles associent donc la partie réelle au cosinus et la partie imaginaire au sinus.

3. Un nombre complexe a pour forme algébrique z=a+ibz=a+ib et pour module rr. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le module est la somme r=a2+b2r=a^2+b^2.
Son module vérifie cos⁡(θ)=ar\cos(\theta)=a r.
Le carré du module vérifie r2=a2+b2r^2=a^2+b^2.
Son module vérifie r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}.
Son module vérifie sin⁡(θ)=br\sin(\theta)=b r.

Le carré du module vérifie $$r^2=a^2+b^2$$. · Son module vérifie $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$.

Explication

Le module vérifie r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}, donc son carré vaut a2+b2a^2+b^2. Les relations entre les coefficients algébriques et l’angle sont cos⁡(θ)=ar\cos(\theta)=\frac{a}{r} et sin⁡(θ)=br\sin(\theta)=\frac{b}{r} ; les produits proposés ne donnent pas ces rapports.

4. Pour convertir z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) en forme algébrique, quelles relations sont exactes ?

La partie réelle s’obtient par a=rcos⁡(θ)a=r\cos(\theta).
Le point associé vérifie OM=θOM=\theta.
La partie imaginaire s’obtient par b=rsin⁡(θ)b=r\sin(\theta).
L’angle orienté associé au point vaut rr.
La forme algébrique obtenue est z=a+ibz=a+ib avec ces coefficients.

La partie réelle s’obtient par $$a=r\cos(\theta)$$. · La partie imaginaire s’obtient par $$b=r\sin(\theta)$$. · La forme algébrique obtenue est $$z=a+ib$$ avec ces coefficients.

Explication

La conversion donne a=rcos⁡(θ)a=r\cos(\theta) et b=rsin⁡(θ)b=r\sin(\theta), d’où la forme algébrique z=a+ibz=a+ib. Dans le plan complexe, la distance à l’origine vaut rr et l’angle orienté vaut θ\theta ; les égalités qui attribuent ces valeurs au paramètre opposé sont fausses.

5. Concernant l’affixe d’un point du plan complexe :

Pour A(a,b)A(a,b), l’affixe est zA=ab+iz_A=ab+i.
Pour A(a,b)A(a,b), l’affixe est zA=a+ibz_A=a+ib.
Pour A(a,b)A(a,b), l’affixe est zA=b−iaz_A=b-ia.
Pour A(a,b)A(a,b), l’affixe est zA=b+iaz_A=b+ia.
Pour A(a,b)A(a,b), l’affixe est zA=a−ibz_A=a-ib.

Pour $$A(a,b)$$, l’affixe est $$z_A=a+ib$$.

Explication

Les coordonnées du point donnent l’affixe zA=a+ibz_A=a+ib : la première coordonnée est la partie réelle et la seconde, le coefficient de la partie imaginaire. Les autres écritures permutent les coordonnées ou modifient leur rôle.

6. Soient deux points AA et BB d’affixes zAz_A et zBz_B. L’affixe de AB→\overrightarrow{AB} s’écrit :

L’affixe du vecteur se calcule en retranchant zAz_A à zBz_B.
L’affixe du vecteur est zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
L’affixe du milieu II de [AB][AB] est zI=zA+zBz_I=z_A+z_B.
Pour les points pondérés A,B,CA,B,C, l’affixe du barycentre est zG=zA+zB+zC3z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}.
L’affixe du milieu II de [AB][AB] est zI=zA−zB2z_I=\frac{z_A-z_B}{2}.

L’affixe du vecteur se calcule en retranchant $$z_A$$ à $$z_B$$. · L’affixe du vecteur est $$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$$.

Explication

L’affixe de AB→\overrightarrow{AB} est celle du point d’arrivée moins celle du point de départ, soit zB−zAz_B-z_A. La somme des affixes ne donne pas l’affixe du vecteur, et l’ordre inversé de la soustraction donne l’opposé. Pour le milieu de [AB][AB], l’affixe est zA+zB2\frac{z_A+z_B}{2} ; pour le barycentre des points pondérés, elle dépend des coefficients de pondération.

7. Parmi les propositions suivantes concernant la conjugaison d’une somme et d’un produit, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

La conjugaison d’un produit vérifie z×z′‾=z×z′\overline{z\times z'}=z\times z'.
La somme d’un nombre complexe et de son conjugué vaut 2iRe(z)2i\mathrm{Re}(z).
La conjugaison d’un produit vérifie z×z′‾=z‾+z′‾\overline{z\times z'}=\overline z+\overline{z'}.
La différence d’un nombre complexe et de son conjugué vaut 2Im(z)2\mathrm{Im}(z).
La conjugaison d’une somme vérifie z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}.

La conjugaison d’une somme vérifie $$\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$$.

Explication

La conjugaison d’une somme s’effectue en conjuguant chacun de ses termes, et celle d’un produit en conjuguant chacun de ses facteurs. La somme d’un nombre complexe et de son conjugué vaut 2Re(z)2\mathrm{Re}(z), tandis que leur différence vaut 2iIm(z)2i\mathrm{Im}(z).

8. Soit un nombre complexe zz. Quelles conditions caractérisent les nombres réels et les nombres imaginaires purs ?

Le nombre zz est réel si et seulement si z=z‾z=\overline z.
Le nombre zz est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Le nombre zz est réel si et seulement si z=−z‾z=-\overline z.
Le nombre zz est imaginaire pur si et seulement si z=z‾z=\overline z.
Le nombre zz est imaginaire pur si et seulement si z=−z‾z=-\overline z.

Le nombre $$z$$ est réel si et seulement si $$z=\overline z$$. · Le nombre $$z$$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. · Le nombre $$z$$ est imaginaire pur si et seulement si $$z=-\overline z$$.

Explication

Un nombre complexe est réel exactement lorsqu’il est égal à son conjugué, ce qui équivaut à une partie imaginaire nulle. Il est imaginaire pur exactement lorsqu’il est l’opposé de son conjugué ; les deux critères croisés sont donc faux.

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Quelle est la forme algébrique d’un nombre complexe zz ?

z=a+ibz=a+ib.

À quoi correspond aa dans la forme algébrique z=a+ibz=a+ib ?

À Re(z)\mathrm{Re}(z), la partie réelle de zz.

À quoi correspond bb dans la forme algébrique z=a+ibz=a+ib ?

À Im(z)\mathrm{Im}(z), la partie imaginaire de zz.

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