Fiche de révision : Circuits linéaires du premier ordre

📋 Plan du Cours

1. Essai indiciel et régimes électriques
2. Continuité et état initial
3. Réponse indicielle du circuit RC
4. Puissance et énergie du circuit RC
5. Réponse indicielle du circuit RL
6. Régime libre du circuit RC
7. Résolution numérique par Euler

📖 1. Essai indiciel et régimes électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelon de tension : Tension d’amplitude E qui vaut 0 pour t < 0 et E pour t ≥ 0.
• Réponse indicielle : Réponse d’un système à un échelon de tension appliqué en entrée.
• Temps de relaxation : Durée du régime transitoire nécessaire pour que le système atteigne son régime permanent.

📝 Points essentiels

📌 Le régime transitoire est la phase où les grandeurs de sortie dépendent du temps, tandis que le régime permanent s’établit ensuite et est de même forme que le signal d’entrée.

💡 Astuce mémo

Le transitoire varie, le permanent s’établit.

📖 2. Continuité et état initial

★ À maîtriser

📌 La tension aux bornes d’un condensateur reste continue au cours du temps, même si la tension d’entrée est discontinue.

📌 L’intensité du courant dans une bobine reste continue au cours du temps.

Compléments

• Dans les conditions initiales de l’essai indiciel, le condensateur est déchargé et aucun courant ne traverse la bobine.

📖 3. Réponse indicielle du circuit RC

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le circuit RC, la constante de temps vaut $\tau = RC$.

📐 Formule - La réponse indicielle en tension du circuit RC est $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, avec $\tau=RC$.

Compléments

• Au bout d’une constante de temps, la tension du condensateur atteint 63 % de sa valeur finale.

• La tangente à l’origine de la réponse indicielle coupe l’asymptote au temps $t=\tau$.

• Le régime permanent est atteint à 99 % au bout de $4{,}6\tau$.

📐 Formule - L’intensité dans le circuit RC vaut $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$ et peut être discontinue à l’instant initial.

📖 4. Puissance et énergie du circuit RC

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail électrique : Quantité d’énergie échangée par un dipôle avec l’extérieur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le bilan de puissance du circuit RC s’écrit $\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Cu_C^2\right)+Ri^2=Ei$.

• Pendant la charge indicielle, l’énergie fournie par le générateur est répartie pour moitié dans le condensateur et pour moitié dissipée par effet Joule dans le résistor.

Compléments

• Pendant le régime transitoire de charge, la source fournit de la puissance, le résistor la reçoit et la dissipe par effet Joule, et le condensateur reçoit de la puissance.

• En régime permanent continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et aucun transfert de puissance ne s’y produit.

💡 Astuce mémo

La charge du condensateur stocke de l’énergie et dissipe l’autre moitié dans le résistor.

📖 5. Réponse indicielle du circuit RL

★ À maîtriser

📐 Formule - La réponse indicielle en intensité du circuit RL est $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

Compléments

• Pendant l’essai indiciel, la bobine reçoit de la puissance et son énergie stockée augmente.

• En régime permanent continu, la bobine se comporte comme un fil et n’intervient plus dans les transferts de puissance entre la source et le résistor.

📖 6. Régime libre du circuit RC

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime libre : Régime au cours duquel un système évolue sans qu’aucun signal ne soit appliqué en entrée.

★ À maîtriser

📐 Formule - La tension du condensateur en régime libre dans un circuit RC est $u_C(t)=U_0e^{-t/\tau}$, avec $\tau=RC$.

Compléments

• En régime libre, la puissance reçue par le condensateur est négative et son énergie stockée diminue : il se décharge.

💡 Astuce mémo

À l’essai indiciel, le condensateur se charge ; en régime libre, il se décharge.

📖 7. Résolution numérique par Euler

📝 Points essentiels

• La résolution numérique de l’équation différentielle est abordée par la méthode d’Euler.