Fiche de révision : Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Diviseurs et multiples
2. Propriétés de divisibilité
3. Division euclidienne dans les naturels
4. Division euclidienne dans les entiers

📖 1. Diviseurs et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour deux entiers relatifs a et b, il existe un entier relatif c tel que $a=bc$ ; on note cette relation $b\mid a$.

★ À maîtriser

📌 Si b divise a, b est un diviseur de a et a est un multiple de b.

Compléments

• Pour trouver les diviseurs entiers de 75, on teste les diviseurs positifs jusqu’à $\sqrt{75}\approx 8{,}66$, puis on ajoute leurs opposés.

• L’ensemble des diviseurs entiers de 75 est $D_{75}=\{-75,-25,-15,-5,-3,-1{,}1{,}3{,}5{,}15{,}25{,}75\}$.

• Tout entier relatif divise 0, car $0=0\times a$ pour tout entier relatif a.

• Les entiers 1 et −1 sont des diviseurs de tout entier relatif, et a et −a ont les mêmes diviseurs.

📖 2. Propriétés de divisibilité

★ À maîtriser

• Si a divise b et b divise a, alors a et b sont égaux ou opposés.

• Si a divise b et b divise c, alors a divise c.

• Si c divise a et c divise b, alors c divise toute combinaison linéaire au+bv, où u et v sont des entiers relatifs.

Compléments

• Les entiers relatifs n tels que n divise n+7 sont −7, −1, 1 et 7, car n doit diviser 7 et chacun de ces quatre diviseurs convient.

• Les entiers relatifs n tels que n−4 divise 3n−17 sont −1, 3, 5 et 9, car n−4 doit diviser −5 et ces quatre valeurs conviennent.

📖 3. Division euclidienne dans les naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne dans ℕ : Pour a et b entiers naturels avec b non nul, il existe un unique couple d’entiers naturels (q,r) tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$ ; q est le quotient et r le reste.

★ À maîtriser

📌 Un entier a est divisible par b si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Compléments

• La division euclidienne de 19 par 5 s’écrit $19=5\times3+4$ ; le quotient est 3 et le reste est 4.

• Pour des entiers naturels a et b avec b non nul, le quotient et le reste peuvent être calculés en Python avec (a//b, a%b).

📌 L’égalité $a=bq+r$ ne suffit pas à établir une division euclidienne : il faut aussi vérifier $0\le r<b$.

📖 4. Division euclidienne dans les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne dans ℤ : Pour un entier relatif a et un entier naturel b non nul, il existe un unique couple d’entiers relatifs (q,r) tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$ ; q est le quotient et r le reste.

★ À maîtriser

📌 Dans la division euclidienne d’un entier relatif a par un entier naturel b non nul, le reste doit vérifier $0\le r<b$, même si a est négatif.

Compléments

• Pour effectuer la division euclidienne de −14 par 3, on obtient $-14=3\times(-5)+1$, donc le quotient est −5 et le reste est 1.

📊 Tableaux de synthèse

Division euclidienne selon le domaine