Fiche de révision : Automatique linéaire

📋 Plan du Cours

1. Systèmes et maîtrise des procédés
2. Caractéristiques et modèles des systèmes
3. Transformée de Laplace
4. Fonction de transfert et schémas-blocs
5. Analyse temporelle du premier ordre
6. Analyse temporelle du deuxième ordre
7. Systèmes d’ordre supérieur
8. Analyse fréquentielle
9. Diagrammes fréquentiels
10. Système du premier ordre
11. Système du deuxième ordre
12. Boucle fermée et stabilité
13. Critères de Routh et Nyquist
14. Critère du revers, stabilité, marges et degré de stabilité
15. Précision permanente et erreurs dues aux perturbations
16. Identification graphique en boucle ouverte
17. Identification par oscillations limites
18. Structures de correction
19. Correcteurs proportionnel et intégral
20. Correcteurs dérivé et PID

📖 1. Systèmes et maîtrise des procédés

🔑 Notions clés & Définitions

• Système : Reçoit des entrées sur lesquelles on peut agir, subit des perturbations et produit des sorties représentant son évolution.
• Commande d’un système : Action sur un ou plusieurs éléments du système afin de réaliser une tâche déterminée.
• Régulation : Système permettant de maintenir une grandeur physique constante.
• Asservissement : Structure dans laquelle la sortie du système est asservie sur son entrée.

★ À maîtriser

• Dans un procédé, les grandeurs de sortie dépendent des grandeurs incidentes et des perturbations.

Compléments

• Dans un mélangeur, les débits de cacao Qc, de sucre Qs et de mélange Qm sont des grandeurs incidentes, tandis que la concentration C et le niveau H sont les grandeurs à maîtriser.

💡 Astuce mémo

Perturbations → observation → action en boucle fermée

📖 2. Caractéristiques et modèles des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Système dynamique : Système dont on étudie l’évolution temporelle de la sortie lorsqu’il est soumis à une entrée variable dans le temps et à des perturbations.
• Système mono-variable : Système possédant une seule entrée, la consigne, et une seule sortie, la réponse du système.
• Système continu : Système dont les signaux accessibles en différents points du processus sont des fonctions de la variable temporelle continue t.
• Système invariant : Système dont les paramètres ne varient pas au cours du temps ni pendant sa durée de vie.
• Modèle dynamique : Modèle décrivant l’évolution temporelle de la sortie du système.

★ À maîtriser

📌 Un système est linéaire s’il vérifie le principe de superposition : la réponse à la somme de deux entrées est la somme des réponses associées à chacune de ces entrées.

📌 Un modèle de connaissance est élaboré à partir des lois physiques, tandis qu’un modèle de comportement de type boîte noire est identifié lorsque les lois sont difficiles à mettre en œuvre.

• 🔄 L’élaboration d’un modèle de connaissance suit ces étapes :
  1. Délimiter le système physique
  2. Identifier les phénomènes physiques importants
  3. Choisir les variables représentatives, notamment l’entrée et la sortie
  4. Écrire les équations du modèle
  5. Appliquer la transformée de Laplace pour obtenir la fonction de transfert

📐 Formule - L’équation différentielle générale d’un système linéaire invariant relie l’entrée e à la sortie s par $\sum_{k=0}^{m} b_k\frac{d^k e}{dt^k}=\sum_{k=0}^{n}a_k\frac{d^k s}{dt^k}$, avec $n>m$.

Compléments

• Un circuit électrique dont les paramètres R, L et C varient dans le temps est un exemple de système variant dans le temps, mais pas nécessairement non linéaire, avec le vieillissement des composants et les perturbations électriques comme causes possibles.

📐 Formule - Pour un tapis roulant de vitesse V et un retard τ, le débit de sortie vérifie $Q_s(t)=Q_e(t-\tau)$ avec $\tau=\frac{D}{V}$.

📐 Formule - Pour le système masse-amortisseur, l’équation différentielle est $V_e=V_s+\frac{f}{m}\frac{dV_s}{dt}$, avec $\tau=\frac{m}{f}$.

• À partir d’une équation différentielle, la sortie se calcule si l’entrée et les n conditions initiales sont connues ; en automatique, le problème peut être inverse, car l’on connaît la sortie souhaitée et cherche l’entrée de commande.

📖 3. Transformée de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : La transformée de Laplace associe à une fonction f(t) une fonction F(p) définie par $F(p)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt$.

★ À maîtriser

• La transformée de Laplace transforme une équation différentielle en équation algébrique et relève du calcul opérationnel.

📐 Formule - La transformée de Laplace d’une dérivée est $\mathcal{L}[f'(t)]=pF(p)-f(0^+)$ ; si la condition initiale est nulle, elle devient $\mathcal{L}[f'(t)]=pF(p)$.

Compléments

📐 Formule - La fonction de Heaviside u(t), nulle pour t<0 et égale à 1 pour t≥0, a pour transformée de Laplace $U(p)=\frac{1}{p}$.

📐 Formule - La transformée de Laplace est linéaire : $\mathcal{L}[f(t)+g(t)]=\mathcal{L}[f(t)]+\mathcal{L}[g(t)]$ et $\mathcal{L}[a f(t)]=a\mathcal{L}[f(t)]$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur initiale donne $\lim_{t\to0^+}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur finale donne $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)$.

📐 Formule - Le théorème du retard associe à un retard τ la relation $G(p)=e^{-\tau p}F(p)$ lorsque g(t) est f(t) retardée de τ.

📐 Formule - Le produit de convolution temporel s(t)=(e*h)(t) correspond au produit des transformées $S(p)=H(p)E(p)$.

📐 Formule - Les transformées usuelles sont $\mathcal{L}[\delta(t)]=1$, $\mathcal{L}[\sin(\omega t)]=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$ et $\mathcal{L}[\cos(\omega t)]=\frac{p}{p^2+\omega^2}$.

📖 4. Fonction de transfert et schémas-blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Rapport de la transformée de Laplace de la sortie à celle de l’entrée, pour des conditions initiales nulles : $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système d’équation différentielle générale, la fonction de transfert s’écrit $H(p)=\frac{b_0+b_1p+\cdots+b_mp^m}{a_0+a_1p+\cdots+a_np^n}$ avec $n>m$.

📌 Les pôles d’une fonction de transfert sont les racines de son dénominateur, tandis que ses zéros sont les racines de son numérateur.

Compléments

📐 Formule - Pour le système masse-amortisseur, la fonction de transfert est $H(p)=\frac{V_s(p)}{V_e(p)}=\frac{1}{1+\frac{f}{m}p}$.

• Un schéma-bloc représente un système comme un transformateur d’informations entre un signal d’entrée et un signal de sortie, au moyen de blocs fonctionnels, de comparateurs et d’arcs orientés.

• Deux blocs en série de fonctions de transfert A(p) et B(p) ont une fonction de transfert globale égale à $A(p)B(p)$.

📖 5. Analyse temporelle du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Un système du premier ordre a pour fonction de transfert $H(p)=\frac{A}{1+\tau p}$, où A est le gain statique et τ la constante de temps.

📐 Formule - Pour une entrée échelon unité, la réponse d’un système du premier ordre est $s(t)=A\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

• La réponse indicielle du premier ordre tend vers la valeur finale smax=A.

Compléments

• Pour un système du premier ordre soumis à un échelon unité, la sortie atteint 63 % de sa valeur maximale à t=τ et 95 % à t=3τ.

📐 Formule - Le temps de montée d’un système du premier ordre, défini entre 10 % et 90 % de la valeur finale, vaut $t_m=2{,}2\tau$.

📖 6. Analyse temporelle du deuxième ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Un système du deuxième ordre a pour fonction de transfert $H(p)=\frac{A}{1+\frac{2m}{\omega_0}p+\frac{1}{\omega_0^2}p^2}$, où A est le gain statique, m le facteur d’amortissement et ω₀ la pulsation propre.

📌 Pour un système du deuxième ordre, m>1 correspond au régime apériodique, m=1 au régime critique, 0<m<1 au régime pseudo-périodique et m=0 au régime oscillant.

📌 Le système du deuxième ordre est instable lorsque m<0 : pour -1<m<0, ses pôles complexes conjugués ont des parties réelles positives, et pour m<-1, ses pôles réels sont positifs.

Compléments

• Lorsque m>1, les pôles du système du deuxième ordre sont deux réels négatifs.

• Lorsque m=1, le système du deuxième ordre est en régime critique.

📐 Formule - Pour 0<m<1, la réponse indicielle du système du deuxième ordre est pseudo-périodique et sa pulsation amortie vérifie $\omega=\omega_0\sqrt{1-m^2}$.

📐 Formule - Pour 0<m<1, la pseudo-période des oscillations amorties vaut $T_p=\frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-m^2}}$.

📐 Formule - Pour 0<m<1, le premier dépassement vaut $D_1=Ae^{-\frac{m\pi}{\sqrt{1-m^2}}}$.

• Pour m=0, le système du deuxième ordre est en régime périodique, avec des pôles complexes conjugués à parties réelles nulles.

💡 Astuce mémo

Amortissement positif : réponse stable ; amortissement négatif : réponse instable

📖 7. Systèmes d’ordre supérieur

★ À maîtriser

• La réponse d’un système d’ordre supérieur se détermine par superposition des réponses de ses sous-systèmes d’ordre un et deux.

📌 Pour qu’un système décrit par une fonction de transfert rationnelle existe physiquement, l’ordre du dénominateur doit être supérieur ou égal à celui du numérateur, soit n≥m.

Compléments

📐 Formule - Une fonction de transfert d’ordre supérieur peut s’écrire comme une somme d’éléments simples associés à ses pôles : $H(p)=\sum_{i=1}^{n}\frac{C_i}{p-p_i}$.

• Dans la fonction de transfert d’un système d’ordre supérieur, les coefficients des polynômes sont réels et les pôles peuvent être réels ou complexes.

📖 8. Analyse fréquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse fréquentielle : Étude de la réponse en régime permanent d’un système à un signal d’entrée sinusoïdal dont on fait varier la fréquence.
• Fonction de transfert : Rapport de la transformée de Laplace de la sortie à celle de l’entrée, soit $H(p)=S(p)/E(p)$.

★ À maîtriser

• En régime permanent, la sortie d’un système soumis à une entrée sinusoïdale est sinusoïdale, avec une fréquence identique, une amplitude éventuellement différente et un déphasage par rapport à l’entrée.

• Pour une entrée exponentielle complexe $e(t)=A e^{j\omega t}$, la sortie s’obtient par convolution avec la réponse impulsionnelle, puis, en régime permanent, par $s_p(t)=A e^{j\omega t}H(j\omega)$.

📌 Si $H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi}$, la sortie sinusoïdale garde la pulsation $\omega$, son amplitude est multipliée par $|H(j\omega)|$ et elle est déphasée de $\varphi$ par rapport à l’entrée.

• 🔄 L’analyse fréquentielle suit ces étapes :
  1. Faire varier la fréquence d’entrée.
  2. Attendre le régime permanent de la sortie.
  3. Relever l’amplitude de la sortie.
  4. Relever son déphasage par rapport à l’entrée.

Compléments

• Pour faciliter l’analyse fréquentielle, le signal sinusoïdal est représenté par une exponentielle complexe et seule sa partie imaginaire est conservée pour retrouver le signal sinus considéré.

• Le régime permanent de la sortie est étudié en faisant tendre le temps vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Entrée sinusoïdale → régime permanent → gain et déphasage

📖 9. Diagrammes fréquentiels

★ À maîtriser

• Le diagramme de Bode comporte deux graphiques en fonction de la pulsation sur une échelle logarithmique : le gain en décibels et la phase en degrés.

📐 Formule - Le gain en décibels est $G_{dB}=20\log_{10}|H(j\omega)|$.

Compléments

• Une décade correspond à un rapport de 10 entre deux pulsations, tandis qu’une octave correspond à un rapport de 2.

• Le diagramme de Black représente le gain en fonction de la phase sur un seul graphique et permet d’analyser un système en boucle fermée à partir de sa fonction de transfert en boucle ouverte.

• Le diagramme de Nyquist représente la partie réelle et la partie imaginaire de $H(j\omega)$ sur un seul graphique et sert à analyser la stabilité d’un système.

📖 10. Système du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système du premier ordre $H(p)=\frac{A}{1+\tau p}$, le gain complexe fréquentiel est $H(j\omega)=\frac{A}{1+j\tau\omega}$.

📐 Formule - Le module du gain fréquentiel d’un système du premier ordre est $|H(j\omega)|=\frac{A}{\sqrt{1+(\tau\omega)^2}}$.

📐 Formule - La phase d’un système du premier ordre est $\varphi_{H(j\omega)}=-\arctan(\tau\omega)$.

• À la pulsation de coupure $\omega_c=1/\tau$, le gain est inférieur de 3 dB au gain statique et la phase vaut $-45^\circ$.

Compléments

• Pour un système du premier ordre, le gain tend vers le gain statique $A$ aux faibles pulsations et la phase tend vers $0^\circ$.

• Aux pulsations très supérieures à $1/\tau$, la phase tend vers $-90^\circ$ et le gain décroît de 20 dB par décade.

📐 Formule - Pour un système du premier ordre, la fréquence de coupure vérifie $f_c=1/(2\pi\tau)$ et le temps de montée vérifie $t_m=2{,}2\tau$, d’où $t_m f_c\approx0{,}35$.

📌 Une bande passante plus large correspond à un système plus rapide.

📖 11. Système du deuxième ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Un système du deuxième ordre s’écrit sous la forme $H(p)=\frac{A}{1+\frac{2m}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}$, où $m$ est le facteur d’amortissement et $\omega_0$ la pulsation propre.

📐 Formule - Le gain fréquentiel d’un système du deuxième ordre est $H(j\omega)=\frac{A}{1-(\omega/\omega_0)^2+j\,2m\omega/\omega_0}$.

📌 Un système du deuxième ordre présente une résonance si et seulement si le facteur d’amortissement vérifie $m<1/\sqrt{2}$.

Compléments

• À la pulsation propre $\omega_0$, le module du gain vaut $A/(2m)$ et la phase vaut $-90^\circ$.

📐 Formule - Lorsqu’il y a résonance, sa pulsation est $\omega_R=\omega_0\sqrt{1-2m^2}$.

📌 Dans la synthèse du cours, le régime pseudo-périodique est associé à la résonance, tandis que le régime apériodique est associé à l’absence de résonance.

💡 Astuce mémo

Amortissement faible : résonance possible ; amortissement plus fort : pas de résonance

📖 12. Boucle fermée et stabilité

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une boucle unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée est $FTBF(p)=\frac{FTBO(p)}{1+FTBO(p)}$.

• En boucle ouverte, le correcteur n’agit pas sur la perturbation, tandis qu’en boucle fermée il agit directement sur celle-ci.

Compléments

• En boucle ouverte, le gain statique du système du premier ordre corrigé par une constante $K$ est $K$ et sa bande passante est $1/\tau$.

• En boucle fermée, le gain statique vaut $K/(1+K)$ et tend vers 1 lorsque $K$ tend vers l’infini.

📌 Pour le système du premier ordre étudié, la bande passante en boucle fermée est supérieure à celle en boucle ouverte, ce qui améliore la rapidité.

• L’abaque de Black-Nichols permet d’obtenir graphiquement les caractéristiques en boucle fermée à partir du diagramme de Black en boucle ouverte, en lisant les contours de gain et de phase en boucle fermée.

📖 13. Critères de Routh et Nyquist

★ À maîtriser

• Un système est stable si, après la cessation d’une sollicitation extérieure, il revient à sa position d’équilibre.

• Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.

• Un système bouclé est stable si les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée, racines de l’équation caractéristique $1+FTBO(p)=0$, ont des parties réelles strictement négatives.

• Le critère de Routh sert à déterminer la stabilité sans calculer explicitement les pôles : les coefficients du dénominateur doivent être positifs, puis tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh doivent être positifs.

Compléments

📌 Le système peut être stable et revenir à zéro, à stabilité impropre et se stabiliser à une valeur non nulle, quasi stable et osciller, ou instable et diverger vers l’infini.

• La stabilité d’un système dépend des pôles de sa fonction de transfert et non de la forme de l’excitation.

📌 La stabilité en boucle ouverte ne garantit pas la stabilité en boucle fermée, et un système instable en boucle ouverte peut être stable en boucle fermée.

• Le critère de Nyquist est une méthode graphique de stabilité, tandis que le critère de Routh est une méthode algébrique.

📌 Pour un système bouclé, la stabilité en boucle fermée revient à vérifier que les zéros de $1+FTBO(p)$ sont dans le demi-plan gauche.

• Dans la construction de Nyquist, on fait parcourir au paramètre complexe $p$ le contour de Bromwich, puis on trace les valeurs de $1+FTBO(p)$ et on examine leurs tours autour de l’origine.

• Le théorème de Cauchy relie les tours de l’image d’un contour autour de zéro au nombre de zéros et de pôles entourés par le contour.

• Pour tracer le lieu de Nyquist à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte, on évalue celle-ci en $p=j\omega$ pour les pulsations positives et l’on utilise la symétrie par rapport à l’axe réel.

📖 14. Critère du revers, stabilité, marges et degré de stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de stabilité : Quantification de l’éloignement du système par rapport à la juste instabilité.
• Distance critique : Distance du lieu au point critique dans le plan de Nyquist.

★ À maîtriser

📌 Le critère du revers s’applique aux systèmes stables en boucle ouverte, sans zéro ni pôle de la FTBO, et conclut à la stabilité si, lorsque la pulsation varie de 0 à l’infini, le lieu de Nyquist laisse le point critique à gauche.

📌 La marge de gain est la distance au point critique mesurée sur l’axe vertical, tandis que la marge de phase est mesurée sur l’axe horizontal.

• Un système est correctement réglé si son facteur de résonance Q est inférieur ou égal à 2,3 dB, sa marge de phase est comprise entre 30° et 60° et sa marge de gain est supérieure ou égale à 6 dB.

Compléments

📌 Dans le plan de Black, le critère du revers conclut à la stabilité si le lieu parcouru pour une pulsation croissante de 0 à l’infini laisse le point critique (0 dB ; −180°) à droite.

📌 Dans le plan de Bode, le système est stable si le gain est inférieur à 0 dB à la pulsation où la phase atteint −180°, et si la phase est supérieure à −180° à la pulsation où le gain atteint 0 dB.

• La réponse harmonique de la FTBO, qui peut être obtenue expérimentalement, suffit pour tester la stabilité en boucle fermée selon le critère du revers.

• Un lieu proche du point critique entraîne une résonance élevée.

• Des retards parasites, des bruits ou des variations du gain d’amplification peuvent faire apparaître un risque d’instabilité, car le modèle ne représente jamais complètement le système réel.

📖 15. Précision permanente et erreurs dues aux perturbations

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision du système : Évaluée en régime permanent par la valeur de l’erreur entre la consigne et la sortie.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une consigne échelon unitaire, l’erreur de position vaut $q_\infty=\frac{1}{1+K}$ sans intégrateur dans la FTBO, et $q_\infty=0$ avec au moins un intégrateur.

📐 Formule - Pour une consigne rampe de pente a, l’erreur de vitesse vaut $q_\infty=\infty$ sans intégrateur, $q_\infty=\frac{a}{K}$ avec un intégrateur, et $q_\infty=0$ avec plus d’un intégrateur.

📐 Formule - Pour une consigne parabolique de coefficient a, l’erreur d’accélération vaut $q_\infty=\infty$ sans intégrateur ou avec un intégrateur, $q_\infty=\frac{2a}{K}$ avec deux intégrateurs, et $q_\infty=0$ avec plus de deux intégrateurs.

📐 Formule - Pour une perturbation échelon, l’erreur permanente vaut $q_\infty=-\frac{1}{K}$ lorsqu’au moins un intégrateur se trouve dans G, avant la perturbation.

Compléments

• Les erreurs étudiées sont :

  • l’erreur de position
  • l’erreur de vitesse
  • l’erreur d’accélération
  • l’erreur due à une perturbation

• Le nombre d’intégrateurs requis dans la FTBO pour annuler l’erreur est un pour la position, deux pour la vitesse et trois pour l’accélération.

📌 Un intégrateur dans G donne une erreur permanente de $-1/K$, tandis qu’un intégrateur dans K donne une erreur permanente nulle.

📖 16. Identification graphique en boucle ouverte

🔑 Notions clés & Définitions

• Identification : Recherche d’un modèle dont les réponses dynamique et statique sont aussi proches que possible de celles du système réel.

★ À maîtriser

📌 Le modèle de connaissance peut devenir complexe et comporter des paramètres inconnus, tandis que le modèle de commande est un modèle phénoménologique simple, à paramètres issus d’essais, destiné à simuler le processus pour élaborer la commande.

Compléments

• Les modèles d’identification recherchés sont notamment du premier ou du deuxième ordre.

• L’identification industrielle peut être menée en boucle ouverte si le processus est stable en boucle ouverte, ou en boucle fermée si le processus est instable en boucle ouverte.

• Les essais d’identification utilisent généralement une entrée échelon ou rampe, tandis que les essais harmoniques sont moins fréquents car ils demandent des mesures à plusieurs fréquences.

• L’essai en boucle ouverte se déroule ainsi : ouvrir la boucle et déconnecter le correcteur, appliquer un faible échelon autour du point d’équilibre, observer la sortie

• Les trois familles de réponses couramment observées sont :

  • la courbe en S
  • la courbe intégratrice
  • la courbe avec oscillations

📐 Formule - Le modèle de Strejc pour une courbe en S est $F(p)=\frac{A e^{-Tp}}{(1+\tau p)^n}$.

📐 Formule - Pour le modèle de Broïda appliqué à une courbe en S, les mesures donnent A, T_B et T_C, puis $\tau=5{,}5(T_C-T_B)$ et $T=2{,}8T_B-1{,}8T_C$.

📖 17. Identification par oscillations limites

★ À maîtriser

• 🔄 Le second essai consiste à : annuler les actions intégrale et dérivée du correcteur, augmenter le gain proportionnel jusqu’à obtenir des oscillations sinusoïdales, mesurer la période T et le gain critique G_c

Compléments

• La méthode des oscillations limites commence par un essai échelon ; si l’erreur statique est non nulle, le système est naturellement stable et le gain A peut être calculé à partir de la valeur finale mesurée.

• Si l’erreur statique est nulle lors du premier essai, le système est naturellement instable et possède une ou deux intégrations, que l’essai en rampe permet de distinguer.

📖 18. Structures de correction

★ À maîtriser

• La correction série est la structure la plus répandue et peut agir sur la stabilité, la précision statique et dynamique, ainsi que le rejet des perturbations.

📌 Un correcteur est physiquement réalisable si le degré de son numérateur est inférieur à celui de son dénominateur.

Compléments

• La correction parallèle ne permet pas d’améliorer l’erreur statique.

• La correction cascade comporte deux degrés de liberté, K1 et K2, et est plus complexe à régler.

• Le réglage vérifie :

  • le rejet des perturbations
  • la rapidité
  • la forme de la FTBF
  • la réalisabilité physique du correcteur
  • le fonctionnement correct du système

📖 19. Correcteurs proportionnel et intégral

★ À maîtriser

• L’action proportionnelle apporte du gain au système, l’action intégrale améliore la précision statique et l’action dérivée améliore la précision dynamique, notamment la rapidité de réaction.

📐 Formule - Un correcteur PI a pour fonction de transfert $K(p)=K\frac{1+Tp}{Tp}$.

• Le correcteur PI agit surtout en basses fréquences : son gain devient infini quand la pulsation tend vers zéro, ce qui améliore la précision statique, mais son déphasage tend vers −90° et peut réduire la stabilité.

Compléments

📐 Formule - Un correcteur proportionnel a pour fonction de transfert $K(p)=K$.

📐 Formule - Un correcteur PI à retard de phase s’écrit $K(p)=K\frac{1+T_1p}{1+T_2p}$ avec $T_1<T_2$.

💡 Astuce mémo

PI : précision statique en basse fréquence ; PD : rapidité en haute fréquence.

📖 20. Correcteurs dérivé et PID

★ À maîtriser

• Le correcteur PD idéal augmente le gain aux hautes fréquences et apporte une phase pouvant tendre vers +90°, mais il amplifie les bruits haute fréquence et n’est pas physiquement réalisable.

• Le PID mixte théorique n’est pas réalisable ; le PID réel filtre les hautes fréquences en remplaçant l’action dérivée idéale par une avance de phase.

Compléments

📐 Formule - Un correcteur PD idéal a pour fonction de transfert $K(p)=K(1+Tp)$.

📐 Formule - Un correcteur PD à avance de phase s’écrit $K(p)=K\frac{1+T_1p}{1+T_2p}$ avec $T_1>T_2$.

• Un PID peut être associé :

  • en série
  • en parallèle
  • sous forme mixte

• Le PID combine un gain en basses fréquences favorable à la précision statique, un gain et un apport de phase en hautes fréquences favorables à la rapidité et à la stabilité, mais la baisse de phase en basses fréquences peut réduire la stabilité.

📊 Tableaux de synthèse

Erreur permanente et intégrateurs