Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Diviseurs et multiples
2. Propriétés de divisibilité
3. Division euclidienne dans les naturels
4. Division euclidienne dans les entiers

📖 1. Diviseurs et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour deux entiers relatifs a et b, il existe un entier relatif c tel que $a=bc$ ; on note cette relation $b\mid a$.

★ À maîtriser

📌 Si b divise a, b est un diviseur de a et a est un multiple de b.

Compléments

• Pour trouver les diviseurs entiers de 75, on teste les diviseurs positifs jusqu’à $\sqrt{75}\approx 8{,}66$, puis on ajoute leurs opposés.

• L’ensemble des diviseurs entiers de 75 est $D_{75}=\{-75,-25,-15,-5,-3,-1{,}1{,}3{,}5{,}15{,}25{,}75\}$.

• Tout entier relatif divise 0, car $0=0\times a$ pour tout entier relatif a.

• Les entiers 1 et −1 sont des diviseurs de tout entier relatif, et a et −a ont les mêmes diviseurs.

📖 2. Propriétés de divisibilité

★ À maîtriser

• Si a divise b et b divise a, alors a et b sont égaux ou opposés.

• Si a divise b et b divise c, alors a divise c.

• Si c divise a et c divise b, alors c divise toute combinaison linéaire au+bv, où u et v sont des entiers relatifs.

Compléments

• Les entiers relatifs n tels que n divise n+7 sont −7, −1, 1 et 7, car n doit diviser 7 et chacun de ces quatre diviseurs convient.