QCM : Divisibilité et congruences (9 questions)

Question 1

1. Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ , quelle condition signifie que $b$ divise $a$ ?

Il existe un entier relatif

c

tel que

b=ac

Il existe un entier positif

c

tel que

a=bc

Il existe un entier relatif

c

tel que

a=bc

Il existe un entier relatif

c

tel que

a=b+c

Explication

La divisibilité de $a$ par $b$ signifie que $a$ est le produit de $b$ par un entier relatif. L’égalité $b=ac$ inverse les rôles, l’entier positif impose une restriction absente de la définition, et $a=b+c$ décrit une somme.

Answer

Il existe un entier relatif $$c$$ tel que $$a=bc$$

Question 2

2. Puisque $-24=6\times(-4)$ , quelle relation décrit correctement les rôles de $6$ et de $-24$ ?

-24

est un diviseur de

6

et

6

est un multiple de

-24

6

est un multiple de

-24

et

-24

est un diviseur de

6

-4

est un diviseur de

-24

et

6

est un multiple de

-4

6

est un diviseur de

-24

et

-24

est un multiple de

6

Explication

Dans l’égalité $-24=6\times(-4)$ , le facteur $6$ divise $-24$ , qui est donc un multiple de $6$ . Les réponses faisant de $-24$ un diviseur inversent les rôles, tandis que celle centrée sur $-4$ ne décrit pas la relation demandée entre $6$ et $-24$ .

Answer

$$6$$ est un diviseur de $$-24$$ et $$-24$$ est un multiple de $$6$$

Question 3

3. Deux entiers $x$ et $y$ vérifient $x\mid y$ et $y\mid x$ . Quelle relation peut-on conclure entre eux ?

Ils sont égaux ou opposés

Ils sont égaux et positifs

Ils sont opposés et non nuls

x

divise

y

, sans autre conclusion

Explication

Lorsque chacun des deux entiers divise l’autre, ils sont égaux ou opposés. La conclusion n’exige ni qu’ils soient positifs ni qu’ils soient non nuls; la seule divisibilité dans un sens ne restitue pas l’hypothèse réciproque.

Answer

Ils sont égaux ou opposés

Question 4

4. Dans une chaîne de divisibilité, $5\mid 20$ et $20\mid 60$ . Que peut-on conclure ?

60\mid 5

5\mid 60

5\mid 1200

20\mid 5

Explication

La divisibilité est transitive : si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ , alors $a$ divise $c$ ; ici, $5\mid 60$ . La relation $60\mid 5$ inverse le sens, $5\mid 1200$ applique à tort une règle de produit, et $20\mid 5$ renverse le premier lien.

Answer

$$5\mid 60$$

Question 5

5. Un entier $c$ divise à la fois $a$ et $b$ . Quelle conclusion s’applique à $3a-2b$ ?

c

divise

3a+2b

, mais pas la différence

c

divise

3a-2b

3c

divise

a-2b

c

divise

3a

, mais pas nécessairement

3a-2b

Explication

Tout entier qui divise $a$ et $b$ divise leurs combinaisons linéaires à coefficients entiers, donc il divise $3a-2b$ . L’exclusion des différences oublie que les coefficients peuvent être négatifs, tandis que les autres réponses modifient le rôle de $c$ ou omettent la propriété de combinaison linéaire.

Answer

$$c$$ divise $$3a-2b$$

Question 6

6. Pour diviser 47 par 6 dans les naturels, quel couple $q,r$ satisfait la définition de la division euclidienne ?

q=6,\ r=6

q=8,\ r=-1

q=7,\ r=5

q=5,\ r=7

Explication

La division euclidienne impose $47=6q+r$ avec $0\le r<6$ ; ici $47=6\times7+5$ . Le couple $q=5,r=7$ inverse les rôles et ne respecte pas la borne du reste, tandis que les autres couples ne satisfont pas l’égalité ou la contrainte sur le reste.

Answer

$$q=7,\ r=5$$

Question 7

7. Une division euclidienne dans les naturels donne $a=9q+4$ . Que peut-on conclure sur la divisibilité de $a$ par 9 ?

a

n’est pas divisible par 9

a

est divisible par 9

La divisibilité ne peut pas être déterminée

a

est divisible par 4

Explication

Un entier est divisible par le diviseur si et seulement si le reste de la division euclidienne est nul ; le reste vaut ici 4, donc $a$ n’est pas divisible par 9. Un reste inférieur à 9 ne signifie pas qu’il est nul, et le quotient ne détermine pas cette divisibilité.

Answer

$$a$$ n’est pas divisible par 9

Question 8

8. Pour diviser l’entier relatif $-23$ par le naturel non nul 5, quel couple d’entiers $q,r$ vérifie la définition de la division euclidienne ?

q=-5,\ r=5

q=-4,\ r=-3

q=-5,\ r=2

q=-4,\ r=3

Explication

Il faut avoir $-23=5q+r$ et $0\le r<5$ ; $-23=5\times(-5)+2$ satisfait ces deux conditions. Le reste négatif ne respecte pas la borne, un reste égal à 5 est trop grand, et le couple $(-4,3)$ ne donne pas l’égalité demandée.

Answer

$$q=-5,\ r=2$$

Question 9

9. Un élève propose $-31=7\times(-4)-3$ comme division euclidienne de $-31$ par 7. Quelle correction faut-il apporter ?

Remplacer le couple par

q=-5,\ r=-4

Garder le couple, car l’égalité est vérifiée

Remplacer le couple par

q=-4,\ r=3

Remplacer le couple par

q=-5,\ r=4

Explication

Le reste d’une division euclidienne doit vérifier $0\le r<7$ , même lorsque le dividende est négatif ; or le reste proposé, $-3$ , est négatif. En diminuant le quotient d’une unité et en ajoutant 7 au reste, on obtient $-31=7\times(-5)+4$ .

Answer

Remplacer le couple par $$q=-5,\ r=4$$

QCM : Divisibilité et congruences (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ , quelle condition signifie que $b$ divise $a$ ?

2. Puisque $-24=6\times(-4)$ , quelle relation décrit correctement les rôles de $6$ et de $-24$ ?

3. Deux entiers $x$ et $y$ vérifient $x\mid y$ et $y\mid x$ . Quelle relation peut-on conclure entre eux ?

4. Dans une chaîne de divisibilité, $5\mid 20$ et $20\mid 60$ . Que peut-on conclure ?

5. Un entier $c$ divise à la fois $a$ et $b$ . Quelle conclusion s’applique à $3a-2b$ ?

6. Pour diviser 47 par 6 dans les naturels, quel couple $q,r$ satisfait la définition de la division euclidienne ?

7. Une division euclidienne dans les naturels donne $a=9q+4$ . Que peut-on conclure sur la divisibilité de $a$ par 9 ?

8. Pour diviser l’entier relatif $-23$ par le naturel non nul 5, quel couple d’entiers $q,r$ vérifie la définition de la division euclidienne ?

9. Un élève propose $-31=7\times(-4)-3$ comme division euclidienne de $-31$ par 7. Quelle correction faut-il apporter ?

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QCM : Divisibilité et congruences (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour deux entiers relatifs aaa et bbb, quelle condition signifie que bbb divise aaa ?

2. Puisque −24=6×(−4)-24=6\times(-4)−24=6×(−4), quelle relation décrit correctement les rôles de 666 et de −24-24−24 ?

3. Deux entiers xxx et yyy vérifient x∣yx\mid yx∣y et y∣xy\mid xy∣x. Quelle relation peut-on conclure entre eux ?

4. Dans une chaîne de divisibilité, 5∣205\mid 205∣20 et 20∣6020\mid 6020∣60. Que peut-on conclure ?

5. Un entier ccc divise à la fois aaa et bbb. Quelle conclusion s’applique à 3a−2b3a-2b3a−2b ?

6. Pour diviser 47 par 6 dans les naturels, quel couple $q,r$ satisfait la définition de la division euclidienne ?

7. Une division euclidienne dans les naturels donne a=9q+4a=9q+4a=9q+4. Que peut-on conclure sur la divisibilité de aaa par 9 ?

8. Pour diviser l’entier relatif −23-23−23 par le naturel non nul 5, quel couple d’entiers q,rq,rq,r vérifie la définition de la division euclidienne ?

9. Un élève propose −31=7×(−4)−3-31=7\times(-4)-3−31=7×(−4)−3 comme division euclidienne de −31-31−31 par 7. Quelle correction faut-il apporter ?

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1. Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ , quelle condition signifie que $b$ divise $a$ ?

2. Puisque $-24=6\times(-4)$ , quelle relation décrit correctement les rôles de $6$ et de $-24$ ?

3. Deux entiers $x$ et $y$ vérifient $x\mid y$ et $y\mid x$ . Quelle relation peut-on conclure entre eux ?

4. Dans une chaîne de divisibilité, $5\mid 20$ et $20\mid 60$ . Que peut-on conclure ?

5. Un entier $c$ divise à la fois $a$ et $b$ . Quelle conclusion s’applique à $3a-2b$ ?

7. Une division euclidienne dans les naturels donne $a=9q+4$ . Que peut-on conclure sur la divisibilité de $a$ par 9 ?

8. Pour diviser l’entier relatif $-23$ par le naturel non nul 5, quel couple d’entiers $q,r$ vérifie la définition de la division euclidienne ?

9. Un élève propose $-31=7\times(-4)-3$ comme division euclidienne de $-31$ par 7. Quelle correction faut-il apporter ?