Fiche de révision : Circuits linéaires du premier ordre

📋 Plan du Cours

1. Cadre et régimes étudiés
2. Charge du condensateur RC
3. Réponse temporelle du dipôle RC
4. Bilan énergétique de la charge
5. Décharge libre du condensateur
6. Établissement du courant dans RL

📖 1. Cadre et régimes étudiés

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime libre : Régime observé lorsque les sources sont éteintes, les conditions initiales fixant l’énergie initiale et le régime qui en résulte.
• Échelon de tension : Un échelon de tension idéal de f.e.m. $e(t)$ vaut zéro pour $t<0$ et $E$ pour $t>0$.

📝 Points essentiels

• Un circuit linéaire du premier ordre est réglé pour être décrit par une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

💡 Astuce mémo

Régime libre sans source, réponse indicielle avec source.

📖 2. Charge du condensateur RC

★ À maîtriser

• Lors de la charge d’un condensateur initialement déchargé, la fermeture de l’interrupteur impose successivement une tension nulle aux bornes du condensateur à $t=0^+$, un courant initial $i(0^+)=E/R$, puis un régime permanent où $u=E$ et $i=0$.

📌 La tension et la charge d’un condensateur sont continues à l’instant de commutation, donc $u(0^+)=u(0^-)$ et $q(0^+)=q(0^-)$.

📐 Formule — Pour un condensateur, le courant et la charge vérifient $i=C\frac{du}{dt}$ et $q=Cu$.

Compléments

• En régime permanent continu, le condensateur est équivalent à un circuit ouvert, donc le courant est nul et, dans le circuit de charge étudié, $u=E$ et $q=CE$.

💡 Astuce mémo

Interrupteur fermé → courant maximal → charge → courant nul.

📖 3. Réponse temporelle du dipôle RC

★ À maîtriser

📐 Formule — La tension de charge du dipôle RC vérifie $u+RC\frac{du}{dt}-E=0$, avec une constante de temps $\tau=RC$ exprimée en secondes.

📐 Formule — La solution de charge du condensateur est $u(t)=0$ pour $t<0$ et $u(t)=E(1-e^{-t/\tau})$ pour $t>0$.

📐 Formule — Le courant de charge vaut $i(t)=0$ pour $t<0$ et $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$ pour $t>0$.

Compléments

• La tension de charge atteint environ 63 % de sa valeur finale à l’instant $t=\tau$.

• Le régime permanent peut être considéré comme atteint lorsque la tension atteint 99 % de $E$, soit après environ $4{,}6\tau$.

💡 Astuce mémo

La résistance limite le courant → le condensateur se charge selon une exponentielle.

📖 4. Bilan énergétique de la charge

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie fournie par le générateur pendant la charge vaut $E_{fE}=CE^2$.

📐 Formule — L’énergie reçue par le condensateur pendant sa charge vaut $E_C=\frac{1}{2}CE^2$.

📐 Formule — L’énergie reçue par la résistance pendant la charge vaut $E_R=\frac{1}{2}CE^2$ et est dissipée sous forme thermique par effet Joule.

Compléments

📌 Le bilan énergétique de la charge est $E_{fE}=E_C+E_R$, avec une équipartition de l’énergie fournie entre le condensateur et la résistance.

💡 Astuce mémo

Le condensateur stocke, la résistance dissipe.

📖 5. Décharge libre du condensateur

★ À maîtriser

• Lors de la décharge d’un condensateur initialement chargé à $u=E$, la tension décroît vers zéro, le courant initial vaut $-E/R$ et le courant tend ensuite vers zéro.

📐 Formule — La tension de décharge vaut $u(t)=E$ pour $t<0$ et $u(t)=Ee^{-t/\tau}$ pour $t>0$, avec $\tau=RC$.

• Pendant la décharge, l’énergie initialement stockée dans le condensateur vaut $\frac12 CE^2$ et est entièrement dissipée par la résistance par effet Joule.

Compléments

📐 Formule — Le courant de décharge vaut $i(t)=0$ pour $t<0$ et $i(t)=-\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$ pour $t>0$.

💡 Astuce mémo

Charge initiale → décharge exponentielle → énergie dissipée par R.

📖 6. Établissement du courant dans RL

★ À maîtriser

📌 La bobine impose la continuité du courant qui la traverse, donc, dans le circuit RL étudié, $i(0^+)=i(0^-)=0$ lors de la fermeture de l’interrupteur.

• À l’instant $t=0^+$, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert et le courant vaut zéro, tandis qu’en régime permanent continu elle est équivalente à un court-circuit.

Compléments

• Dans le circuit RL étudié, le régime permanent continu impose une tension nulle aux bornes de la bobine et un courant $i=E/R$.

💡 Astuce mémo

À l’instant initial L bloque le courant, en régime permanent L le laisse passer.

📊 Tableaux de synthèse

Comportement des dipôles réactifs