Qu'est-ce que le sous-groupe engendré par une partie non vide A de G ?
L'ensemble des produits finis d'éléments de A et de leurs inverses.
Quelle propriété caractérise le sous-groupe engendré par A dans G ?
C'est le plus petit sous-groupe de G contenant A.
Que devient l'intersection d'une famille de sous-groupes d'un groupe ?
C'est elle-même un sous-groupe de ce groupe.
Comment se définit un sous-groupe monogène engendré par un élément a ?
C'est l'ensemble des puissances entières de a.
Comment note-t-on le sous-groupe monogène engendré par a ?
Gr(a) = {a^p | p ∈ Z}.
Qu'est-ce qu'un groupe monogène ?
Un groupe engendré par un seul élément.
Quelles sont les conditions pour qu'un groupe soit cyclique ?
Être monogène et d'ordre fini.
À quel groupe est isomorphe tout groupe cyclique d'ordre n > 0 ?
Au groupe additif Z/nZ.
Quelle propriété divise l'ordre de chaque élément dans un groupe fini d'ordre n ?
L'ordre de chaque élément divise n.
Que vaut pour tout élément dans un groupe fini d'ordre ?
.
Qu'est-ce que le groupe symétrique S_n ?
Le groupe des permutations de l'ensemble {1,…,n} muni de la composition.
Combien d'éléments possède le groupe symétrique S_n ?
Il possède n! éléments.
Que fait un cycle de longueur p sur p éléments ?
Il les permute cycliquement.
Que fait un cycle de longueur p sur les éléments hors de son support ?
Il les laisse fixes.
Comment se décompose toute permutation ?
En cycles à supports disjoints de manière unique à l'ordre près.
Quelle est une autre forme de toute permutation en termes de transpositions ?
Elle est une composée de transpositions.
Quelles propriétés doit avoir l'addition dans un anneau ?
Elle doit former un groupe commutatif.
Quelle propriété doit avoir la multiplication dans un anneau ?
Elle doit être associative.
Quelle propriété lie la multiplication à l'addition dans un anneau ?
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Qu'est-ce qu'un idéal I dans un anneau commutatif A ?
Une partie stable par différence et telle qu'ax appartient à I pour tout a dans I et x dans A.
Quelle est la forme des idéaux dans l'anneau principal des entiers relatifs Z ?
Ils sont tous de la forme aZ.
Quand un entier b divise-t-il un entier a ?
Quand il existe un entier q tel qu'a = bq.
Comment s'exprime la divisibilité de a par b en termes d'appartenance ?
a appartient à bZ.
Qu'est-ce que le PGCD de deux entiers a et b ?
L'unique entier naturel d tel qu'aZ + bZ = dZ.
Qu'est-ce que le PPCM de deux entiers a et b ?
L'unique entier naturel m tel qu'aZ ∩ bZ = mZ.
Comment l'algorithme d'Euclide calcule-t-il le PGCD ?
Par divisions euclidiennes successives.
Quel est le dernier reste non nul dans l'algorithme d'Euclide ?
Le PGCD des deux entiers.
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un entier > 1 divisible seulement par 1 et lui-même.
Quelle est la nature de l'ensemble des nombres premiers ?
Il est infini.
Que mesure l'indicatrice d'Euler φ(n) pour n ≥ 1 ?
Le nombre d'entiers < n et premiers avec n.
Quelle est la valeur de φ(1) selon l'indicatrice d'Euler ?
φ(1) = 1.
Comment s'exprime φ(n) si n = p₁^α¹⋯p_k^αᵏ avec pᵢ premiers distincts ?
.
Quelle autre formule donne φ(n) pour n = p₁^α¹⋯p_k^αᵏ ?
.
Quand dit-on que deux entiers p et q sont congrus modulo n ?
Lorsque p − q appartient à nZ.
Comment se note la congruence modulo n entre p et q ?
p ≡ q (mod n).
Qu'est-ce que l'anneau Z/nZ ?
L'anneau commutatif des classes résiduelles modulo n.
Quelle condition rend une classe m inversible dans Z/nZ ?
PGCD(m,n) = 1.
Quand l'anneau Z/nZ est-il un corps ?
Si et seulement si n est premier.
Quand deux polynômes sont-ils premiers entre eux ?
Quand leur PGCD est une constante non nulle, choisie égale à 1.
Quelle condition caractérise deux polynômes premiers entre eux selon une identité de Bézout ?
Il existe U et V tels que PU + QV = 1.
Comment l'algorithme d'Euclide trouve-t-il le PGCD de deux polynômes ?
Par divisions euclidiennes successives en retenant le dernier reste non nul.
Quelle propriété unique a la décomposition d'un polynôme non constant en K[X] ?
Elle est unique à l'ordre et à un scalaire multiplicatif près en produit de polynômes irréductibles.
Qu'est-ce qu'une K-algèbre ?
Un espace vectoriel sur K avec une multiplication bilinéaire, associative et une unité.
Quelle propriété distingue K[X] parmi les algèbres ?
Elle est associative et commutative.
Quelle propriété distingue généralement M_n(K) parmi les algèbres ?
Elle est associative mais généralement non commutative.
Quand une somme de sous-espaces est-elle dite directe ?
Quand chaque vecteur a une décomposition unique en vecteurs des sous-espaces.
Quelle condition caractérise une somme directe E₁+⋯+E_n ?
x₁+⋯+x_n=0 avec xᵢ∈Eᵢ implique x₁=⋯=x_n=0.
Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?
Le rang d'une matrice est le rang de son système de vecteurs colonnes.
À quoi est égal le rang d'une matrice en plus du rang des colonnes ?
Il est égal au rang de son système de vecteurs lignes.
Quelle condition caractérise l'inversibilité d'une matrice carrée A ?
Son rang est égal à son ordre.
Quelle propriété caractérise le déterminant d'une matrice carrée ?
C'est une application alternée et linéaire par rapport à chaque ligne et colonne.
Quelle condition sur le déterminant caractérise l'inversibilité d'une matrice carrée A ?
Le déterminant doit être non nul.
Qu'est-ce qu'une matrice nilpotente ?
Une matrice carrée A telle qu'il existe un entier p>0 avec A^p=0.
Comment se calcule la trace d'une matrice carrée A d'ordre n ?
C'est la somme des coefficients diagonaux de A.
Quelle est la formule de la trace d'une matrice A=(aᵢⱼ) d'ordre n ?
Quelles propriétés linéaires vérifie la trace ?
La trace est linéaire.
Quelle égalité relie la trace des produits AB et BA ?
On a tr(AB)=tr(BA).
Quelle propriété d'invariance possède la trace par similitude ?
La trace est invariante par similitude : tr(P⁻¹AP)=tr(A).
Qu'est-ce qu'une matrice de passage entre deux bases B et B' ?
Une matrice inversible dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B' dans B.
Quelle relation lie les anciennes coordonnées X et nouvelles X' avec la matrice de passage P ?
On a .
Quelle formule exprime le changement de base pour une application linéaire ?
où P et Q sont matrices de passage des espaces de départ et d'arrivée.
Quand deux matrices carrées A et B sont-elles dites semblables ?
Lorsqu'il existe une matrice inversible P telle que .
Quand une partie A est-elle génératrice d'un groupe G ?
Lorsque le sous-groupe engendré par A est égal à G.
Qu'est-ce que le groupe alterné A_n ?
Le noyau du morphisme signature de S_n vers {−1,1}.
Quand un anneau est-il dit principal ?
Quand tous ses idéaux sont engendrés par un seul élément.
Que donne le théorème chinois si PGCD(n,m)=1 ?
Un isomorphisme d’anneaux .
Comment définit-on le rang d'une matrice par rapport aux matrices carrées inversibles ?
C'est l'ordre maximal des matrices carrées inversibles que l'on peut en extraire.
Quelle est la borne supérieure de l'indice de nilpotence d'une matrice carrée d'ordre n ?
L'indice de nilpotence est inférieur ou égal à n.
Comment calcule-t-on le déterminant d'une matrice-blocs triangulaire M=((A,B),(0,C)) ?
.
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1. Concernant le sous-groupe engendré par une partie non vide d’un groupe :
2. Parmi les propositions suivantes concernant l’intersection de sous-groupes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?
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