Fiche de révision : Compléments d’algèbre générale et linéaire

📋 Plan du Cours

1. Sous-groupes et groupes engendrés
2. Groupes cycliques et quotients
3. Groupes symétriques et alternés
4. Anneaux, idéaux et divisibilité
5. PGCD, PPCM et arithmétique
6. Nombres premiers et Euler
7. Congruences et anneaux quotients
8. Polynômes et factorisation
9. Algèbres et sommes directes
10. Matrices et déterminants
11. Matrices nilpotentes et traces
12. Changements de bases et matrices-blocs

📖 1. Sous-groupes et groupes engendrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-groupe engendré : l’ensemble des produits finis d’éléments de A et de leurs inverses ; c’est le plus petit sous-groupe de G contenant A.
• Sous-groupe monogène : Le sous-groupe monogène engendré par a est l’ensemble des puissances entières de a, noté Gr(a) = {a^p | p ∈ Z}.
• Partie génératrice : Une partie A est génératrice d’un groupe G lorsque le sous-groupe engendré par A est égal à G.

📝 Points essentiels

📌 L’intersection d’une famille de sous-groupes d’un groupe est elle-même un sous-groupe de ce groupe.

💡 Astuce mémo

Intersection de sous-groupes → sous-groupe ; produits d’éléments → sous-groupe engendré

📖 2. Groupes cycliques et quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe monogène : engendré par un élément a de G.
• Groupe cyclique : monogène et d’ordre fini.

📝 Points essentiels

• Tout groupe cyclique d’ordre n > 0 est isomorphe au groupe additif Z/nZ.

📌 Dans un groupe fini d’ordre n, l’ordre de chaque élément divise n et, pour tout élément a, on a a^n = e.

💡 Astuce mémo

Groupe monogène = engendré par un élément ; groupe cyclique = monogène fini

📖 3. Groupes symétriques et alternés

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe symétrique : Le groupe symétrique S_n est le groupe des permutations de l’ensemble {1,…,n}, muni de la composition, et il possède n! éléments.
• Cycle : Un cycle de longueur p permute cycliquement p éléments distincts et laisse fixes tous les autres éléments.
• Groupe alterné : Le groupe alterné A_n est le noyau du morphisme signature de S_n vers {−1,1}.

📝 Points essentiels

• Toute permutation se décompose de manière unique à l’ordre près en cycles à supports disjoints et est une composée de transpositions.

💡 Astuce mémo

Cycles disjoints → transpositions → signature → groupe alterné

📖 4. Anneaux, idéaux et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau : un ensemble muni d’une addition qui en fait un groupe commutatif et d’une multiplication associative, distributive par rapport à l’addition et possédant un élément neutre 1.
• Idéal : Un idéal I d’un anneau commutatif A est une partie stable par différence et telle que ax appartient à I pour tout a dans I et tout x dans A.
• Anneau principal : Un anneau est principal lorsque tous ses idéaux sont principaux, c’est-à-dire engendrés par un seul élément.

📝 Points essentiels

• L’anneau des entiers relatifs Z est principal et tous ses idéaux sont de la forme aZ.

📖 5. PGCD, PPCM et arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier b divise un entier a lorsqu’il existe un entier q tel que a = bq, ce qui équivaut à a appartenir à bZ.
• PGCD : Le PGCD de deux entiers a et b est l’unique entier naturel d tel que aZ + bZ = dZ.
• PPCM : Le PPCM de deux entiers a et b est l’unique entier naturel m tel que aZ ∩ bZ = mZ.

📝 Points essentiels

• L’algorithme d’Euclide calcule le PGCD par divisions euclidiennes successives ; le PGCD est le dernier reste non nul.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → restes successifs → dernier reste non nul

📖 6. Nombres premiers et Euler

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même.
• Indicatrice d’Euler : Pour n ≥ 1, l’indicatrice d’Euler φ(n) est le nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n, avec φ(1)=1.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des nombres premiers est infini.

📐 Formule — Si n = p₁^α¹⋯p_k^αᵏ, où les pᵢ sont premiers distincts, alors $φ(n)=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1)$.

💡 Astuce mémo

Décomposition première → calcul du PGCD, du PPCM et de l’indicatrice

📖 7. Congruences et anneaux quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo n : Deux entiers p et q sont congrus modulo n lorsque p − q appartient à nZ, ce qui se note p ≡ q (mod n).

★ À maîtriser

• L’anneau Z/nZ est l’anneau commutatif des classes résiduelles modulo n.

📌 Dans Z/nZ, une classe m est inversible si et seulement si PGCD(m,n)=1.

📌 L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.

Compléments

📐 Formule — Si PGCD(n,m)=1, le théorème chinois donne un isomorphisme d’anneaux $\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.

💡 Astuce mémo

Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier

📖 8. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynômes premiers entre eux : Deux polynômes P et Q sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est une constante non nulle, que l’on peut choisir égal à 1.

📝 Points essentiels

📌 Deux polynômes P et Q sont premiers entre eux si et seulement s’il existe U et V tels que PU + QV = 1.

• L’algorithme d’Euclide des polynômes obtient le PGCD par divisions euclidiennes successives et retient le dernier reste non nul.

• Tout polynôme non constant de K[X] se décompose de manière unique, à l’ordre près et à un scalaire multiplicatif près, en produit de polynômes irréductibles.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → PGCD → Bézout → factorisation irréductible

📖 9. Algèbres et sommes directes

🔑 Notions clés & Définitions

• Algèbre sur K : Une K-algèbre est un espace vectoriel sur K muni d’une multiplication interne bilinéaire, associative et possédant une unité.
• Somme directe : Une somme de sous-espaces est directe lorsque chaque vecteur de la somme possède une décomposition unique comme somme de vecteurs appartenant aux sous-espaces.

📝 Points essentiels

• K[X] est une algèbre associative commutative, tandis que M_n(K) est une algèbre associative généralement non commutative.

📌 La somme E₁+⋯+E_n est directe si et seulement si x₁+⋯+x_n=0 avec xᵢ∈Eᵢ implique x₁=⋯=x_n=0.

📖 10. Matrices et déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une matrice : Le rang d’une matrice est le rang de son système de vecteurs colonnes, et il est aussi égal au rang de son système de vecteurs lignes.
• Déterminant : Le déterminant d’une matrice carrée est une application alternée et linéaire par rapport à chaque ligne et à chaque colonne.

★ À maîtriser

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son rang est égal à son ordre.

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) est non nul.

Compléments

• Le rang d’une matrice est l’ordre maximal des matrices carrées inversibles que l’on peut en extraire.

💡 Astuce mémo

Rang → changement de base → déterminant → inverse

📖 11. Matrices nilpotentes et traces

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice nilpotente : Une matrice carrée A est nilpotente lorsqu’il existe un entier naturel p strictement positif tel que A^p=0.
• Trace : La trace d’une matrice carrée A=(aᵢⱼ) d’ordre n est la somme de ses coefficients diagonaux, $tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$.

★ À maîtriser

📌 La trace est linéaire, vérifie tr(AB)=tr(BA) et est invariante par similitude : tr(P⁻¹AP)=tr(A).

Compléments

• L’indice de nilpotence d’une matrice carrée d’ordre n est inférieur ou égal à n.

💡 Astuce mémo

Nilpotence : une puissance vaut zéro ; trace : somme diagonale

📖 12. Changements de bases et matrices-blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage : La matrice de passage d’une base B à une base B′ est la matrice inversible dont les colonnes donnent les coordonnées des vecteurs de B′ dans la base B.
• Matrices semblables : Deux matrices carrées A et B sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible P telle que B=P⁻¹AP.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si P est la matrice de passage de B à B′, les anciennes coordonnées X et les nouvelles coordonnées X′ vérifient $X=PX'$.

📐 Formule — Pour une application linéaire, le changement de bases vérifie $A'=QAP$, où P et Q sont les matrices de passage dans les espaces de départ et d’arrivée.

Compléments

📐 Formule — Pour une matrice-blocs triangulaire M=((A,B),(0,C)), on a $det(M)=det(A)det(C)$.

💡 Astuce mémo

Équivalence : deux bases différentes ; similitude : même espace et même base changée

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM dans Z

Types de transformations matricielles