QCM : Compléments d’algèbre générale et linéaire (35 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le sous-groupe engendré par une partie non vide d’un groupe :

Il correspond à l’intersection de sous-groupes déjà donnés contenant cette partie.
Il est nécessairement contenu dans tout sous-groupe contenant la partie considérée.
Il est formé de produits finis d’éléments de la partie et de leurs inverses.
Il constitue le plus petit sous-groupe contenant la partie considérée.
Il rassemble seulement les produits d’éléments de la partie, sans utiliser leurs inverses.

Il est nécessairement contenu dans tout sous-groupe contenant la partie considérée. · Il est formé de produits finis d’éléments de la partie et de leurs inverses. · Il constitue le plus petit sous-groupe contenant la partie considérée.

Explication

Le sous-groupe engendré regroupe les produits finis d’éléments de la partie et de leurs inverses, et c’est le plus petit sous-groupe qui la contient. Il est donc inclus dans tout sous-groupe contenant cette partie. L’intersection concerne une famille de sous-groupes déjà construits, tandis que les inverses peuvent intervenir dans les produits.

2. Parmi les propositions suivantes concernant l’intersection de sous-groupes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’intersection conserve une structure de sous-groupe dans le groupe considéré.
L’intersection de sous-groupes est l’ensemble des produits finis de leurs éléments.
L’intersection d’une famille de sous-groupes est un sous-groupe du groupe ambiant.
Cette propriété s’applique à toute famille de sous-groupes d’un même groupe.
L’intersection de sous-groupes est définie comme une famille de permutations.

L’intersection conserve une structure de sous-groupe dans le groupe considéré. · L’intersection d’une famille de sous-groupes est un sous-groupe du groupe ambiant. · Cette propriété s’applique à toute famille de sous-groupes d’un même groupe.

Explication

L’intersection d’une famille de sous-groupes d’un même groupe est elle-même un sous-groupe, et cette propriété s’applique à toute famille de sous-groupes. Elle ne correspond pas à l’ensemble des produits finis de leurs éléments ni au sous-groupe engendré par leur réunion, et elle ne se définit pas comme une famille de permutations.

3. À propos d’un groupe monogène :

Un groupe monogène doit posséder un nombre fini d’éléments.
Il est engendré par un élément appartenant au groupe.
La propriété monogène impose que le groupe soit isomorphe à Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Un groupe infini peut être monogène.
Il peut être engendré par les puissances entières d’un élément.

Il est engendré par un élément appartenant au groupe. · Un groupe infini peut être monogène. · Il peut être engendré par les puissances entières d’un élément.

Explication

Un groupe monogène est engendré par un seul élément, donc ses éléments s’obtiennent par les puissances entières d’un générateur. Cette définition n’impose pas la finitude : un groupe infini peut être monogène. L’isomorphisme avec Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} concerne les groupes cycliques finis.

4. Concernant le groupe symétrique SnS_n :

Sa loi est la composition des permutations.
Il est constitué des permutations de signature négative.
Il est formé des permutations de l’ensemble {1,…,n}\{1,\ldots,n\}.
Il possède n!n! éléments.
Il est constitué de permutations d’un ensemble comportant n+1n+1 éléments.

Sa loi est la composition des permutations. · Il est formé des permutations de l’ensemble $$\{1,\ldots,n\}$$. · Il possède $$n!$$ éléments.

Explication

Le groupe symétrique SnS_n est formé de toutes les permutations de l’ensemble {1,…,n}\{1,\ldots,n\}, sa loi est la composition et son cardinal vaut n!n!. Les permutations de signature positive forment le groupe alterné, tandis que les permutations de signature négative ne constituent pas à elles seules le groupe symétrique. L’ensemble permuté comporte nn éléments.

5. Un cycle de longueur pp dans un groupe symétrique :

Agit sur tous les éléments de l’ensemble sous-jacent.
Possède un support constitué de pp éléments distincts.
Laisse fixes exactement pp éléments distincts.
Permute cycliquement pp éléments distincts.
Laisse fixes tous les éléments qui ne figurent pas dans son support.

Possède un support constitué de $$p$$ éléments distincts. · Permute cycliquement $$p$$ éléments distincts. · Laisse fixes tous les éléments qui ne figurent pas dans son support.

Explication

Un cycle de longueur pp permute cycliquement pp éléments distincts : ils constituent son support. Tous les éléments extérieurs à ce support restent fixes. Il n’agit donc pas nécessairement sur tous les éléments et ne fixe pas exactement pp éléments.

6. Concernant la définition d’un anneau, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La multiplication d’un anneau possède pour élément neutre 0.
La multiplication d’un anneau est associative.
L’addition d’un anneau forme un groupe commutatif.
La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
L’addition d’un anneau peut être dépourvue d’élément neutre.

La multiplication d’un anneau est associative. · L’addition d’un anneau forme un groupe commutatif. · La multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Explication

L’addition doit former un groupe commutatif et possède donc un élément neutre. La multiplication possède un élément neutre 1, elle est associative et distributive par rapport à l’addition, mais elle n’est pas nécessairement commutative.

7. À propos d’un idéal d’un anneau commutatif, quelles propositions sont exactes ?

Un idéal est stable par différence de ses éléments.
Le produit d’un élément de l’idéal par un élément de l’anneau appartient à l’idéal.
Un idéal doit être stable par division euclidienne entre ses éléments.
Pour tout élément de l’idéal et tout élément de l’anneau, leur quotient appartient à l’idéal.
La stabilité par multiplication concerne tout élément de l’anneau.

Un idéal est stable par différence de ses éléments. · Le produit d’un élément de l’idéal par un élément de l’anneau appartient à l’idéal. · La stabilité par multiplication concerne tout élément de l’anneau.

Explication

Un idéal est stable par différence et par multiplication par tout élément de l’anneau. La définition ne fait intervenir ni quotient ni division euclidienne.

8. Concernant les idéaux de l’anneau des entiers relatifs Z\mathbb{Z} :

Tous les idéaux de Z\mathbb{Z} sont de la forme aZa\mathbb{Z}.
L’anneau Z\mathbb{Z} possède des idéaux qui nécessitent deux générateurs.
Les sous-groupes additifs de Z\mathbb{Z} ont également la forme aZa\mathbb{Z}.
Les idéaux de Z\mathbb{Z} sont caractérisés sans générateur unique.
L’anneau Z\mathbb{Z} est un anneau principal.

Tous les idéaux de $$\mathbb{Z}$$ sont de la forme $$a\mathbb{Z}$$. · Les sous-groupes additifs de $$\mathbb{Z}$$ ont également la forme $$a\mathbb{Z}$$. · L’anneau $$\mathbb{Z}$$ est un anneau principal.

Explication

L’anneau Z\mathbb{Z} est principal, et tous ses idéaux sont engendrés par un seul élément sous la forme aZa\mathbb{Z}. Ses sous-groupes additifs possèdent aussi cette forme, mais cela ne remplace pas la caractérisation multiplicative des idéaux.

9. Concernant la divisibilité des entiers, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La relation b∣ab\mid a signifie qu’il existe un entier qq tel que b=aqb=aq.
La relation a∣ba\mid b équivaut à a∈bZa\in b\mathbb{Z}.
La relation a∣ba\mid b signifie qu’il existe un entier qq tel que b=aqb=aq.
La relation b∣ab\mid a signifie qu’il existe un entier qq tel que a=bqa=bq.
La relation b∣ab\mid a équivaut à a∈bZa\in b\mathbb{Z}.

La relation $$a\mid b$$ signifie qu’il existe un entier $$q$$ tel que $$b=aq$$. · La relation $$b\mid a$$ signifie qu’il existe un entier $$q$$ tel que $$a=bq$$. · La relation $$b\mid a$$ équivaut à $$a\in b\mathbb{Z}$$.

Explication

Par définition, b∣ab\mid a signifie a=bqa=bq, ce qui équivaut à a∈bZa\in b\mathbb{Z}. En revanche, a∣ba\mid b signifie b=aqb=aq, et non l’égalité inversée.

10. Le PGCD de deux entiers aa et bb est caractérisé par :

L’identification avec le générateur de aZ∩bZa\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}.
L’égalité aZ+bZ=dZa\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}.
L’engendrement de l’intersection des idéaux associés.
L’égalité aZ∩bZ=dZa\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}.
L’existence d’un unique entier naturel dd.

L’égalité $$a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$$. · L’existence d’un unique entier naturel $$d$$.

Explication

Le PGCD est l’unique entier naturel dd tel que la somme des idéaux vérifie aZ+bZ=dZa\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}. L’intersection aZ∩bZa\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} caractérise le PPCM, pas le PGCD.

11. À propos du PPCM de deux entiers aa et bb, quelles propositions sont exactes ?

L’entier mm est caractérisé comme un entier naturel unique.
Le PPCM engendre la somme aZ+bZa\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
Le PPCM est l’unique entier naturel mm associé à aZ∩bZ=mZa\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}.
Le PPCM est défini par l’égalité aZ+bZ=mZa\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}.
L’intersection des idéaux aZa\mathbb{Z} et bZb\mathbb{Z} est mZm\mathbb{Z}.

L’entier $$m$$ est caractérisé comme un entier naturel unique. · Le PPCM est l’unique entier naturel $$m$$ associé à $$a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}$$. · L’intersection des idéaux $$a\mathbb{Z}$$ et $$b\mathbb{Z}$$ est $$m\mathbb{Z}$$.

Explication

Le PPCM est l’unique entier naturel mm tel que aZ∩bZ=mZa\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}. La somme aZ+bZa\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} caractérise le PGCD.

12. Lors de l’application de l’algorithme d’Euclide, quelles propositions sont exactes ?

L’algorithme utilise des divisions euclidiennes successives.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Le calcul s’arrête après l’obtention d’un reste nul.
Les divisions successives déterminent directement le PPCM.
Le dernier reste non nul fournit le PGCD recherché.

L’algorithme utilise des divisions euclidiennes successives. · Le PGCD est le dernier reste non nul. · Le calcul s’arrête après l’obtention d’un reste nul. · Le dernier reste non nul fournit le PGCD recherché.

Explication

L’algorithme d’Euclide enchaîne les divisions euclidiennes jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD ; l’algorithme ne détermine pas directement le PPCM.

13. Concernant les nombres premiers, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Un nombre premier est divisible par 11 et par lui-même.
Tout entier supérieur à 11 est nécessairement premier.
Un nombre premier possède au moins trois diviseurs positifs distincts.
Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 11.
L’entier 11 est un nombre premier selon cette définition.

Un nombre premier est divisible par $$1$$ et par lui-même. · Un nombre premier est un entier strictement supérieur à $$1$$.

Explication

Un nombre premier est strictement supérieur à 11 et n’a que 11 et lui-même comme diviseurs. L’entier 11 n’est donc pas premier, et les autres affirmations élargissent à tort cette définition.

14. À propos de l’ensemble des nombres premiers, quelles propositions sont exactes ?

Il existe une infinité de nombres premiers distincts.
Un entier fixé possède un ensemble fini de diviseurs.
L’infinité des nombres premiers implique celle des diviseurs d’un entier fixé.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
L’ensemble des diviseurs d’un entier fixé est infini.

Il existe une infinité de nombres premiers distincts. · Un entier fixé possède un ensemble fini de diviseurs. · L’ensemble des nombres premiers est infini.

Explication

Il existe une infinité de nombres premiers distincts. En revanche, les diviseurs d’un entier fixé constituent un ensemble fini, indépendamment de l’infinité des nombres premiers.

15. Concernant l’indicatrice d’Euler φ(n)\varphi(n), quelles propositions sont exactes ?

Pour n=1n=1, φ(1)=0\varphi(1)=0.
La quantité φ(n)\varphi(n) compte tous les entiers jusqu’à nn, sans condition de coprimalité.
On a φ(1)=1\varphi(1)=1.
La fonction φ\varphi dénombre des entiers premiers avec l’entier étudié.
Pour n≥1n\geq 1, φ(n)\varphi(n) compte les entiers inférieurs à nn et premiers avec nn.

On a $$\varphi(1)=1$$. · La fonction $$\varphi$$ dénombre des entiers premiers avec l’entier étudié. · Pour $$n\geq 1$$, $$\varphi(n)$$ compte les entiers inférieurs à $$n$$ et premiers avec $$n$$.

Explication

L’indicatrice d’Euler compte les entiers inférieurs à nn qui sont premiers avec nn, et vérifie φ(1)=1\varphi(1)=1. Elle ne compte donc pas tous les entiers sans condition, et sa valeur en 11 n’est pas nulle.

16. Soit n=p1α1⋯pkαkn=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}, avec des pip_i premiers distincts. Quelles propositions sont exactes ?

La deuxième expression donne la même valeur que la première.
On a φ(n)=n∏i=1k(1−1pi)\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right).
La formule utilise un produit sur les diviseurs de nn.
On a φ(n)=∏i=1kpiαi−1(pi−1)\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1).
Les facteurs de la formule dépendent des nombres premiers distincts pip_i.

La deuxième expression donne la même valeur que la première. · On a $$\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$$. · On a $$\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1)$$. · Les facteurs de la formule dépendent des nombres premiers distincts $$p_i$$.

Explication

Les deux expressions donnent la même valeur pour l’indicatrice d’Euler dans la décomposition en facteurs premiers de nn. On a φ(n)=n∏i=1k(1−1pi)\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) et φ(n)=∏i=1kpiαi−1(pi−1)\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1). Les produits sont indexés par les nombres premiers distincts pip_i qui apparaissent dans la décomposition, et non par les diviseurs de nn. Les exposants interviennent dans la forme développée des facteurs.

17. Concernant la congruence de deux entiers modulo un entier naturel non nul :

La congruence de p et q modulo n équivaut à p et q appartenant à nℤ.
La congruence de p et q modulo n équivaut à p+q appartenant à nℤ.
La congruence de p et q modulo n équivaut à l’égalité p=q.
La congruence de p et q modulo n équivaut à p/q appartenant à nℤ.
La congruence de p et q modulo n équivaut à p-q appartenant à nℤ.

La congruence de p et q modulo n équivaut à p-q appartenant à nℤ.

Explication

La congruence modulo n est définie par l’appartenance de p-q à nℤ. Elle ne demande pas l’égalité ordinaire p=q, ni une condition portant sur la somme, le quotient ou l’appartenance séparée des deux entiers.

18. Parmi les propositions suivantes concernant Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Les classes résiduelles modulo n constituent les éléments de Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
L’anneau Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} se distingue de Z\mathbb{Z}, qui contient les entiers eux-mêmes.
La structure Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un anneau commutatif.
Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est l’anneau commutatif des classes résiduelles modulo n.
Les éléments de Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} sont des classes d’entiers modulo n.

Les classes résiduelles modulo n constituent les éléments de $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$. · L’anneau $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ se distingue de $$\mathbb{Z}$$, qui contient les entiers eux-mêmes. · La structure $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ est un anneau commutatif. · $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ est l’anneau commutatif des classes résiduelles modulo n. · Les éléments de $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ sont des classes d’entiers modulo n.

Explication

Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est bien l’anneau commutatif formé des classes résiduelles modulo n. Ses éléments sont donc des classes d’entiers, contrairement aux éléments de Z\mathbb{Z}, qui sont les entiers eux-mêmes.

19. Dans Z/15Z\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}, quelles propositions décrivent correctement l’inversibilité d’une classe ?

La classe de 5 est inversible car PGCD⁡(5,15)=1\operatorname{PGCD}(5,15)=1.
La classe de 3 est inversible car PGCD⁡(3,15)=1\operatorname{PGCD}(3,15)=1.
La classe de 2 est inversible car PGCD⁡(2,15)=1\operatorname{PGCD}(2,15)=1.
La classe de 4 est inversible car PGCD⁡(4,15)=1\operatorname{PGCD}(4,15)=1.
La classe de 6 est inversible car PGCD⁡(6,15)=1\operatorname{PGCD}(6,15)=1.

La classe de 2 est inversible car $$\operatorname{PGCD}(2,15)=1$$. · La classe de 4 est inversible car $$\operatorname{PGCD}(4,15)=1$$.

Explication

Une classe modulo 15 est inversible si et seulement si son représentant est premier avec 15. Les nombres 2 et 4 ont un PGCD égal à 1 avec 15, tandis que 3, 5 et 6 partagent un facteur avec 15.

20. L’anneau Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} possède une structure de corps dans le cas où :

n est un nombre premier égal à 2.
n est un nombre premier égal à 13.
n est un nombre premier égal à 5.
n est un nombre premier égal à 11.
n est un entier composé égal à 15.

n est un nombre premier égal à 2. · n est un nombre premier égal à 13. · n est un nombre premier égal à 5. · n est un nombre premier égal à 11.

Explication

Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un corps si et seulement si n est premier. Les valeurs 2, 5, 11 et 13 conviennent, tandis que 15 est composé.

21. Concernant deux polynômes premiers entre eux :

Ils sont associés lorsqu’ils ont un PGCD constant.
Leur PGCD est une constante non nulle.
Leur PGCD est un polynôme non constant.
Ils possèdent un facteur commun non constant.
Ils peuvent choisir leur PGCD égal à 1.

Leur PGCD est une constante non nulle. · Ils peuvent choisir leur PGCD égal à 1.

Explication

Deux polynômes premiers entre eux ont un PGCD constant non nul, que l’on peut normaliser à 1. Ils ne possèdent donc pas de facteur commun non constant et cette propriété ne les rend pas associés.

22. Quelles sont les caractérisations exactes de deux polynômes PP et QQ premiers entre eux ?

Le polynôme 1 appartient à l’idéal engendré par PP et QQ.
Il existe des polynômes U,VU,V tels que PU−QV=0PU-QV=0.
Il existe des polynômes U,VU,V tels que PU+QV=XPU+QV=X.
Il existe des polynômes U,VU,V tels que PU+QV=1PU+QV=1.
Toute combinaison PU+QVPU+QV est égale à 1.

Le polynôme 1 appartient à l’idéal engendré par $$P$$ et $$Q$$. · Il existe des polynômes $$U,V$$ tels que $$PU+QV=1$$.

Explication

La relation de Bézout PU+QV=1PU+QV=1 caractérise le fait que PP et QQ sont premiers entre eux. Cela signifie aussi que 1 appartient à l’idéal qu’ils engendrent, mais pas que toute combinaison vaut 1 ni que les relations proposées avec X ou zéro suffisent.

23. Lorsqu’on applique l’algorithme d’Euclide à deux polynômes, quelles affirmations sont exactes ?

Le premier reste nul fournit le PGCD recherché.
Le dernier quotient fournit le PGCD des deux polynômes.
Les divisions s’arrêtent avant l’apparition d’un reste nul.
Les divisions euclidiennes successives permettent d’obtenir leur PGCD.
Le dernier reste non nul fournit le PGCD, à un scalaire près.

Les divisions euclidiennes successives permettent d’obtenir leur PGCD. · Le dernier reste non nul fournit le PGCD, à un scalaire près.

Explication

L’algorithme d’Euclide utilise des divisions successives et le dernier reste non nul est le PGCD, à normalisation près. Le reste nul marque la fin du processus, mais ne constitue pas le PGCD.

24. La décomposition d’un polynôme non constant de K[X]K[X] en facteurs irréductibles vérifie les propriétés suivantes :

Elle est unique à l’ordre des facteurs près.
Elle s’effectue en facteurs quadratiques sur tout corps KK.
Elle est unique à un scalaire multiplicatif près.
Elle dépend du choix d’un ordre fixé pour les facteurs.
Elle existe pour tout polynôme non constant de K[X]K[X].

Elle est unique à l’ordre des facteurs près. · Elle est unique à un scalaire multiplicatif près. · Elle existe pour tout polynôme non constant de $$K[X]$$.

Explication

Tout polynôme non constant de K[X]K[X] se décompose en produit de polynômes irréductibles. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs et à un facteur scalaire près; les facteurs ne sont pas nécessairement linéaires sur tout corps.

25. Une KK-algèbre est définie comme une structure possédant quelles propriétés ?

Un espace vectoriel dont la multiplication interne est bilinéaire mais non associative.
Un espace vectoriel sur KK muni d’une multiplication externe non bilinéaire.
Un espace vectoriel sur KK muni d’une multiplication interne bilinéaire, associative et unitaire.
Un groupe commutatif sur KK sans multiplication interne définie.
Un anneau dépourvu d’espace vectoriel sous-jacent sur KK.

Un espace vectoriel sur $$K$$ muni d’une multiplication interne bilinéaire, associative et unitaire.

Explication

Une KK-algèbre est un espace vectoriel sur KK muni d’une multiplication interne bilinéaire, associative et possédant une unité. Les autres descriptions omettent ou contredisent au moins une de ces propriétés.

26. Concernant les algèbres K[X]K[X] et Mn(K)M_n(K), la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Mn(K)M_n(K) est une algèbre associative généralement non commutative.
Ni K[X]K[X] ni Mn(K)M_n(K) ne possède de structure associative.
K[X]K[X] est une algèbre associative et commutative.
Mn(K)M_n(K) est une algèbre commutative pour tout entier n.
La multiplication de K[X]K[X] est généralement non commutative.

$$M_n(K)$$ est une algèbre associative généralement non commutative. · $$K[X]$$ est une algèbre associative et commutative.

Explication

La multiplication des polynômes dans K[X]K[X] est associative et commutative. La multiplication matricielle dans Mn(K)M_n(K) est associative, mais elle est généralement non commutative.

27. Une somme de sous-espaces vectoriels est directe lorsque :

Les composantes d’un vecteur sont déterminées sans ambiguïté.
Les sous-espaces doivent avoir la même dimension pour former une somme directe.
Chaque vecteur de la somme admet au moins une décomposition.
Un vecteur de la somme peut avoir plusieurs décompositions valides.
Chaque vecteur de la somme possède une décomposition unique.

Les composantes d’un vecteur sont déterminées sans ambiguïté. · Chaque vecteur de la somme possède une décomposition unique.

Explication

Une somme est directe lorsque la décomposition de chaque vecteur comme somme de composantes des sous-espaces est unique. L’existence seule ne suffit pas, et les dimensions des sous-espaces n’ont pas besoin d’être égales.

28. Pour des sous-espaces E1,…,EnE_1,\ldots,E_n, quelles formulations caractérisent une somme directe ?

La décomposition d’un vecteur de la somme en composantes des EiE_i est unique.
L’absence de relation nulle non triviale entre les composantes caractérise la somme directe.
La somme E1+⋯+EnE_1+\cdots+E_n est directe si la relation nulle impose toutes les composantes nulles.
Si x1+⋯+xn=0x_1+\cdots+x_n=0 avec xi∈Eix_i\in E_i, alors tous les xix_i sont nuls.
La somme est directe dès qu’une relation nulle possède au moins une composante non nulle.

La décomposition d’un vecteur de la somme en composantes des $$E_i$$ est unique. · L’absence de relation nulle non triviale entre les composantes caractérise la somme directe. · La somme $$E_1+\cdots+E_n$$ est directe si la relation nulle impose toutes les composantes nulles. · Si $$x_1+\cdots+x_n=0$$ avec $$x_i\in E_i$$, alors tous les $$x_i$$ sont nuls.

Explication

La somme est directe si et seulement si une relation x1+⋯+xn=0x_1+\cdots+x_n=0, avec xi∈Eix_i\in E_i, entraîne l’annulation de chaque composante. Cette condition équivaut à l’unicité des décompositions et à l’absence de relation nulle non triviale; une relation comportant une composante non nulle montre au contraire que la somme n’est pas directe.

29. Parmi les propositions suivantes concernant l’inversibilité d’une matrice carrée, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Une matrice carrée d’ordre n est inversible si l’ordre de sa plus grande sous-matrice inversible vaut n moins un.
Une matrice carrée d’ordre quatre est inversible si son rang vaut quatre.
Une matrice carrée d’ordre quatre est inversible si l’ordre de sa plus grande sous-matrice inversible vaut trois.
Une matrice carrée d’ordre quatre est inversible si l’ordre de sa plus grande sous-matrice inversible vaut cinq.
Une matrice carrée d’ordre n est inversible si son rang vaut n.

Une matrice carrée d’ordre quatre est inversible si son rang vaut quatre. · Une matrice carrée d’ordre n est inversible si son rang vaut n.

Explication

Une matrice carrée est inversible lorsque son rang est égal à son ordre. Pour une matrice d’ordre quatre, le rang doit donc être quatre ; plus généralement, il doit être égal à n. Le rang est aussi l’ordre maximal des matrices carrées inversibles que l’on peut extraire, ce qui conduit à la même condition.

30. Une matrice carrée A vérifie les propriétés suivantes :

L’inversibilité de A équivaut à la non-nullité de son déterminant.
Si det⁡(A)≠0\det(A)\ne 0, alors A est inversible.
Une matrice carrée de déterminant nul est non inversible.
Si det⁡(A)=0\det(A)=0, alors A peut être inversible.
Si A est inversible, alors det⁡(A)≠0\det(A)\ne 0.

L’inversibilité de A équivaut à la non-nullité de son déterminant. · Si $$\det(A)\ne 0$$, alors A est inversible. · Une matrice carrée de déterminant nul est non inversible. · Si A est inversible, alors $$\det(A)\ne 0$$.

Explication

Pour une matrice carrée, l’inversibilité équivaut à un déterminant non nul. Ainsi, un déterminant nul entraîne la non-inversibilité, et il ne peut pas être compatible avec une matrice inversible.

31. Concernant la trace d’une matrice carrée d’ordre n, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La trace est une expression alternée des coefficients de la matrice.
La trace est la somme des coefficients de la première colonne.
La trace est le produit des coefficients de chaque ligne.
La trace est obtenue en additionnant les coefficients de chaque ligne.
La trace est la somme des coefficients diagonaux de la matrice.

La trace est la somme des coefficients diagonaux de la matrice.

Explication

La trace d’une matrice carrée d’ordre n est définie par tr⁡(A)=∑i=1naii\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii} : elle additionne les coefficients diagonaux. Elle ne correspond ni à la somme d’une colonne, ni au produit des coefficients de chaque ligne, ni à une expression alternée des coefficients.

32. Les propriétés de la trace d’une matrice carrée comprennent :

La trace transforme le produit de matrices en produit de leurs traces.
Pour une matrice inversible P, on a tr⁡(P−1AP)≠tr⁡(A)\operatorname{tr}(P^{-1}AP)\ne\operatorname{tr}(A).
La trace varie sous une transformation par similitude.
La trace est une application linéaire sur les matrices carrées.
Pour deux matrices compatibles, on a tr⁡(AB)=tr⁡(BA)\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).

La trace est une application linéaire sur les matrices carrées. · Pour deux matrices compatibles, on a $$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$.

Explication

La trace est linéaire et satisfait tr⁡(AB)=tr⁡(BA)\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA). Elle est aussi invariante par similitude, donc la transformation P−1APP^{-1}AP conserve la trace, contrairement aux deux dernières affirmations.

33. Concernant la matrice de passage d’une base B à une base B′ :

Elle est inversible.
Elle permet de relier les deux systèmes de coordonnées des mêmes vecteurs.
Ses colonnes donnent les coordonnées des vecteurs de B dans la base B′.
Elle exprime les nouveaux vecteurs dans la nouvelle base.
Ses colonnes donnent les coordonnées des vecteurs de B′ dans la base B.

Elle est inversible. · Elle permet de relier les deux systèmes de coordonnées des mêmes vecteurs. · Ses colonnes donnent les coordonnées des vecteurs de B′ dans la base B.

Explication

La matrice de passage est inversible et ses colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs de B′ exprimés dans B. Elle ne donne donc pas les coordonnées de B dans B′ ; l’expression dans la nouvelle base relève du changement opposé.

34. Si P est la matrice de passage de B à B′, quelles relations entre coordonnées sont exactes ?

La matrice P transforme les anciennes coordonnées X en nouvelles coordonnées X′ par X′=PXX'=PX.
Les anciennes coordonnées vérifient X=PX′X=PX'.
Les nouvelles coordonnées vérifient X′=PXX'=PX.
La relation entre coordonnées s’écrit X=PX′X=PX'.
La relation directe s’écrit X=P−1X′X=P^{-1}X'.

Les anciennes coordonnées vérifient $$X=PX'$$. · La relation entre coordonnées s’écrit $$X=PX'$$.

Explication

Avec la convention donnée, P relie les nouvelles coordonnées X′ aux anciennes coordonnées X par X=PX′X=PX'. Les expressions utilisant P−1P^{-1} ou affirmant X′=PXX'=PX décrivent incorrectement ce sens du changement.

35. Pour une application linéaire représentée dans deux choix de bases, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La matrice transformée vérifie A′=QAPA'=QAP.
Le changement de bases s’écrit nécessairement A′=P−1APA'=P^{-1}AP.
La formule A′=QAPA'=QAP utilise une seule matrice de passage.
Le changement de bases utilise une matrice P dans l’espace de départ.
La matrice Q intervient comme matrice de passage dans l’espace de départ.

La matrice transformée vérifie $$A'=QAP$$. · Le changement de bases utilise une matrice P dans l’espace de départ.

Explication

Le changement de bases d’une application linéaire s’écrit A′=QAPA'=QAP, avec P dans l’espace de départ et Q dans l’espace d’arrivée. La formule de similitude P−1APP^{-1}AP concerne le cas particulier d’un endomorphisme avec une même base de départ et d’arrivée.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 69 flashcards sur Compléments d’algèbre générale et linéaire.

Qu'est-ce que le sous-groupe engendré par une partie non vide A de G ?

L'ensemble des produits finis d'éléments de A et de leurs inverses.

Quelle propriété caractérise le sous-groupe engendré par A dans G ?

C'est le plus petit sous-groupe de G contenant A.

Que devient l'intersection d'une famille de sous-groupes d'un groupe ?

C'est elle-même un sous-groupe de ce groupe.

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Consultez la fiche de révision complète sur Compléments d’algèbre générale et linéaire.

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