Fiche de révision : Compresseurs et triangles de vitesse

📋 Plan du Cours

1. Contraintes aérodynamiques des compresseurs
2. Stations et triangles de vitesse
3. Travail d’Euler et rotor axial
4. Compression centrifuge et glissement
5. Coefficients de débit et de charge
6. Rothalpie et degré de réaction
7. Particularité de la réaction à 50 %
8. Dimensionnement d’un rotor frontal

📖 1. Contraintes aérodynamiques des compresseurs

★ À maîtriser

• Dans un compresseur, les couches limites des aubes rencontrent un gradient de pression adverse et sont proches du décollement, contrairement aux rangées de turbine qui accélèrent l’écoulement.

Compléments

• Le rapport de pression typique d’un étage de compresseur est π ≈ 1,3, contre π ≈ 2,5 pour un étage de turbine.

💡 Astuce mémo

Le compresseur lutte contre le gradient adverse, tandis que la turbine accélère l’écoulement.

📖 2. Stations et triangles de vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse absolue : Vitesse de l’écoulement dans le repère fixe.
• Vitesse relative : Vitesse de l’écoulement vue depuis le rotor, dont la vitesse périphérique est U = Ωr.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation vectorielle entre vitesse absolue, vitesse relative et vitesse de l’aube est $\vec C=\vec W+\vec U$.

• Dans un étage axial, la station 1 est l’entrée du rotor, la station 2 est sa sortie et l’entrée du stator, et la station 3 est la sortie du stator.

Compléments

📐 Formule - Dans le triangle de vitesse, $C_x=W_x$ et $W_\theta=C_\theta-U$.

• Dans un rotor de compresseur, la composante tangentielle relative à l’entrée est négative, Wθ < 0, et l’angle relatif β′ est donc négatif.

📖 3. Travail d’Euler et rotor axial

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un rotor adiabatique, le travail massique égale la hausse d’enthalpie totale : $c_p\Delta T_t=U_2C_{\theta2}-U_1C_{\theta1}$.

📐 Formule - À rayon moyen constant, l’équation d’Euler devient $c_p\Delta T_t=U\Delta C_\theta$.

• L’équation d’Euler fixe le travail échangé, mais ne détermine pas à elle seule la diffusion dans les rangées ni les pertes.

Compléments

📐 Formule - Le bilan du moment cinétique donne le couple rotorique $\mathcal{T}=\dot m(r_2C_{\theta2}-r_1C_{\theta1})$.

📐 Formule - La puissance transmise par le rotor est $\dot W=\dot m(U_2C_{\theta2}-U_1C_{\theta1})$.

📖 4. Compression centrifuge et glissement

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans ces conditions, le travail spécifique est $w_c=\sigma_sU_2^2$.

Compléments

📐 Formule - Pour un étage centrifuge, le travail d’Euler avec changement de rayon est $w_c=U_2C_{\theta2}-U_1C_{\theta1}$.

• Avec une entrée axiale, Cθ1 = 0, et un facteur de glissement σs ≈ 0,9, la sortie vérifie Cθ2 = σsU2.

• Pour U2 = 500 m s−1 et σs = 0,9, le travail vaut 225 kJ kg−1 et la hausse de température totale est de 224 K en un étage.

• Les compresseurs centrifuges, malgré leur diffuseur radial dissipatif et leur aire frontale, sont utilisés dans les petits turbomoteurs, turbopropulseurs et groupes auxiliaires de puissance; les grands moteurs utilisent des compresseurs axiaux.

📖 5. Coefficients de débit et de charge

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient de charge est défini par $\psi=\frac{c_p\Delta T_t}{U^2}=\frac{\Delta C_\theta}{U}$ à rayon constant.

📐 Formule - Le coefficient de débit est défini par $\phi=\frac{C_x}{U}$.

Compléments

• Les valeurs typiques d’un compresseur axial sont φ ≈ 0,4–0,7 et ψ ≈ 0,3–0,5.

• La charge typique d’un étage de turbine axiale est ψ ≈ 1–2.

📖 6. Rothalpie et degré de réaction

🔑 Notions clés & Définitions

• Rothalpie : La rothalpie I = h + 1/2 W² − 1/2 U² est conservée le long d’une ligne de courant à travers un rotor.
• Degré de réaction : Rapport de la hausse d’enthalpie statique dans le rotor à la hausse d’enthalpie statique totale de l’étage : Λ = (h2 − h1)/(h3 − h1).

📝 Points essentiels

📐 Formule - La conservation de la rothalpie donne $h_2-h_1=\frac{1}{2}(W_1^2-W_2^2)+\frac{1}{2}(U_2^2-U_1^2)$.

📐 Formule - Pour un étage axial à rayon moyen constant avec C3 = C1, le degré de réaction s’écrit $\Lambda=1-\frac{C_{\theta1}+C_{\theta2}}{2U}=-\frac{C_x}{2U}(\tan\beta'_1+\tan\beta'_2)$.

• L’analyse du rotor par la rothalpie suppose un écoulement adiabatique et stationnaire dans le repère tournant, sans forces volumiques.

📖 7. Particularité de la réaction à 50 %

★ À maîtriser

• Pour Λ = 1/2, le swirl moyen absolu vérifie (Cθ1 + Cθ2)/2 = U/2.

• À Λ = 1/2 et pour le même Cx, les vitesses satisfont W1 = C2 et W2 = C1 = C3, ce qui répartit également la décélération entre rotor et stator.

Compléments

📐 Formule - À réaction égale à 1/2, les composantes tangentielles vérifient $|W_{\theta1}|=C_{\theta2}$ et $|W_{\theta2}|=C_{\theta1}$.

• À Λ = 1/2, les vitesses d’entrée des deux rangées sont équilibrées et la vitesse maximale, ainsi que la charge dynamique associée aux pertes, sont minimisées pour un travail donné.

• Pour U = 350 m s−1, Cx = 180 m s−1 et ΔCθ = 130 m s−1, Λ = 1/2 donne W1 = C2 = 300 m s−1; sans aubes directrices, Λ = 0,81 donne W1 = 394 m s−1 et C2 = 222 m s−1.

💡 Astuce mémo

À Λ = 1/2, les triangles de vitesse absolue et relative se reflètent de part et d’autre.

📖 8. Dimensionnement d’un rotor frontal

★ À maîtriser

📐 Formule - Sans aubes directrices, Cθ1 = 0, donc $\psi=\frac{C_{\theta2}}{U}$ et $\Lambda=1-\frac{\psi}{2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un étage à 50 % de réaction avec U = 350 m s−1, Cθ1 = 110 m s−1 et Cθ2 = 240 m s−1, le travail massique vaut $w_c=U(C_{\theta2}-C_{\theta1})=45{,}5\ \mathrm{kJ\ kg^{-1}}$.

• Dans cet exemple, ΔTt = 45,3 K, le rapport de température τ = 1,157 et le rapport de pression π = 1,574 pour ηc = 0,88.

• Dans l’exemple d’étage à 50 % de réaction, ψ = 0,371 et φ = 0,514.

• Dans cet exemple, W2/W1 = C3/C2 = 0,703 dans les deux rangées, légèrement inférieur au critère de de Haller 0,72 mentionné pour la session suivante.

• Pour le rotor frontal sans aubes directrices de U = 320 m s−1, Cx = 170 m s−1 et β′2 = −32°, le swirl de sortie vaut Cθ2 = 213,8 m s−1, ΔTt = 68 K, φ = 0,53, ψ = 0,67 et Λ = 0,67.

• Pour ce rotor frontal, le rapport de vitesses relatives W2/W1 = 200/362 = 0,55 indique une forte diffusion; la charge ψ = 0,67 est élevée et le rotor doit fonctionner en régime transsonique.