Ensemble des entiers naturels — définition ?
Plus petit ensemble contenant 0 et fermé par successeur.
0 — construction ensembliste ?
∅, l’ensemble vide.
1 — construction ensembliste ?
∅ ∪ {∅}.
2 — représentation ensembliste ?
{0, 1}.
N — propriété ?
Plus petit ensemble contenant tous les entiers construits.
Axiomes de Peano — rôle ?
Caractériser les entiers par 0 et successeur.
Successeur s — rôle ?
Associer à chaque entier son suivant.
Modèle de N — propriété ?
Vérifie tous les axiomes de Peano.
Injectivité de s — propriété ?
Deux entiers différents ont des successeurs différents.
Clôture par successeur — définition ?
Sous-ensemble contenant 0 et fermé par s égal à N.
Définition suite par récurrence — principe ?
Définie par u_{n+1} = f(u_n) avec initiale.
Unicité suite récurrente — propriété ?
Une seule suite vérifie la règle et initiale.
Addition sur N — définition ?
Suit une récurrence basée sur la suite.
Multiplication sur N — définition ?
Définie par récurrence à partir de l’addition.
Ordre sur N — relation ?
n ≤ m s’il existe p avec m = n + p.
Propriétés de l’ordre — sur N ?
Total, bon ordre, pas de plus grand, suite décroissante finie.
Axiomes ordre — rôle ?
Caractériser l’ordre comme bien ordonné avec successeur.
Récurrence simple — principe ?
H(n0) et H(n) ⇒ H(n+1) pour n ≥ n0.
Testez vos connaissances avec un QCM de 18 questions sur Construction rigoureuse de l'ensemble des entiers naturels.
1. Quelle représentation ensembliste correspond à la définition de 2 dans la construction des entiers naturels ?
2. Quel est le rôle de l’ensemble N dans cette construction ensembliste des entiers naturels ?
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