Construction rigoureuse de l'ensemble des entiers naturels

📋 Plan du Cours

1. Construction de l’ensemble des entiers naturels
2. Axiomes de Peano et modèle de N
3. Définition par récurrence des suites
4. Définition de l’addition et de la multiplication
5. Ordre sur N et propriétés du bon ordre
6. Axiomes de l’ordre et équivalence avec Peano
7. Récurrence simple et principe de propagation
8. Récurrence forte et récurrence double
9. Ordres bien fondés et récurrence bien fondée

📖 1. Construction de l’ensemble des entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers comme ordinaux : Notion d’entier définie en théorie des ensembles via la structure d’ordinal, où chaque entier correspond à un ensemble bien ordonné.
• 0 = ∅ : Définition ensembliste de 0 comme l’ensemble vide, servant de base à la construction de N.
• 1 = ∅ ∪ {∅} : Définition ensembliste de 1 à partir de 0, en ajoutant 0 comme élément à l’ensemble vide.
• 2 = {0, 1} : Représentation ensembliste de 2 comme l’ensemble des entiers précédents, illustrant l’idée {0,1}.
• N plus petit ensemble : Ensemble N défini comme le plus petit ensemble contenant tous les entiers construits, noté N.

📝 Points essentiels