L’ensemble {0, 1}
Explication
Dans cette construction, 2 est défini comme l’ensemble {0,1}, c’est-à-dire l’ensemble des entiers précédents. L’ensemble vide correspond à 0, pas à 2.
Être le plus petit ensemble contenant tous les entiers construits
Explication
Le texte indique que N est défini comme le plus petit ensemble contenant tous les entiers construits. Il ne s’agit ni de l’ensemble des entiers relatifs ni d’un ensemble arbitraire.
Aucun entier n’a pour successeur 0
Explication
C’est l’axiome (P1) : pour tout entier naturel, son successeur n’est pas 0. L’injectivité relève d’un autre axiome, à savoir (P2).
A est nécessairement égal à N
Explication
L’axiome (P3) dit que si A contient 0 et est stable par successeur, alors A = N. C’est une propriété de génération de tout N, pas de finitude.
Une valeur initiale et une règle de passage au terme suivant
Explication
Une suite récurrente est définie par une valeur de départ u0 et une règle u_{n+1}=f(u_n). Sans règle de passage, la suite n’est pas déterminée.
La clôture par successeur appliquée à l’ensemble des indices où elles coïncident
Explication
On considère l’ensemble des indices où les deux suites sont égales, puis on montre qu’il contient 0 et est stable par successeur ; l’axiome (P3) donne alors qu’il est tout N. L’injectivité de f n’est pas l’outil central ici.
Par des suites construites par récurrence
Explication
Le cours annonce que l’addition et la multiplication sont définies à l’aide de suites construites par récurrence. Cette même idée sert aussi pour d’autres opérations comme la puissance et la factorielle.
La puissance
Explication
Le texte cite explicitement la puissance, ainsi que la factorielle, parmi les opérations définissables par récurrence. La soustraction et le logarithme ne sont pas présentés ainsi.
Par l’existence d’un p tel que m = n + p
Explication
La définition donnée est n ≤ m s’il existe p ∈ N tel que m = n + p. Cela formalise l’idée qu’on passe de n à m en ajoutant un entier.
Toute partie non vide admet un plus petit élément
Explication
Le bon ordre signifie que toute partie non vide possède un plus petit élément. L’existence d’un maximal unique pour toute partie majorée n’est pas la définition du bon ordre.
O1
Explication
L’axiome O1 dit précisément que l’ensemble est bien ordonné et admet un plus petit élément noté 0. O2 et O3 concernent respectivement l’existence des successeurs et le fait que tout non nul soit successeur.
Tout élément non nul est le successeur d’un autre élément
Explication
O3 exprime que tout élément non nul est le successeur d’un autre élément. C’est un point essentiel du lien entre les axiomes de l’ordre et ceux de Peano.
Si H(n0) est vraie et si H(n) implique H(n+1), alors H(n) est vraie pour tout n ≥ n0
Explication
La récurrence simple repose sur une hypothèse initiale au rang n0 et une étape de propagation de n à n+1. Elle conclut alors que H vaut pour tout n supérieur ou égal à n0.
Elle assure la propagation de la propriété d’un rang au suivant
Explication
Cette implication est l’étape de propagation : si la propriété est vraie au rang n, elle l’est aussi au rang n+1. Avec le cas initial, cela permet d’obtenir tous les rangs à partir de n0.
La conjonction P(0) ∧ P(1) ∧ ... ∧ P(k)
Explication
La récurrence forte autorise l’usage simultané de toutes les propriétés précédentes jusqu’à k. C’est précisément la conjonction P(0) ∧ ... ∧ P(k) qui sert à établir P(k+1).
Comme une variante renvoyée à une feuille de TD
Explication
Le texte précise que la récurrence double est mentionnée mais renvoyée à une feuille de TD. Aucun énoncé détaillé n’est fourni dans l’extrait.
L’existence d’une suite infinie strictement décroissante
Explication
Un ordre bien fondé est défini par l’absence de suite infinie strictement décroissante. Cette notion est distincte du bon ordre, qui concerne l’existence d’un plus petit élément dans toute partie non vide.
Être bien fondé équivaut à être un bon ordre
Explication
La proposition 3.4 affirme que, pour un ordre total, bien fondé et bon ordre sont équivalents. La différence entre minimal et plus petit élément est importante surtout en ordre partiel.
Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Construction rigoureuse de l'ensemble des entiers naturels.
Ensemble des entiers naturels — définition ?
Plus petit ensemble contenant 0 et fermé par successeur.
0 — construction ensembliste ?
∅, l’ensemble vide.
1 — construction ensembliste ?
∅ ∪ {∅}.
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