Quelle relation exprime l’additivité de l’intégrale de deux fonctions mesurables positives ?
Comment l’intégrale d’une fonction positive se comporte-t-elle sous multiplication par un scalaire positif fini ?
Quelle inégalité relie l’intégrale de la limite inférieure des fonctions positives aux limites inférieures de leurs intégrales ?
Quel théorème permet d’étendre l’homogénéité de l’intégrale au scalaire ?
Le théorème de Beppo-Levi.
Comment obtient-on la relation pour à partir des multiples entiers de ?
En faisant tendre vers l’infini dans .
Par quelles fonctions approche-t-on et pour établir l’additivité de l’intégrale positive ?
Par des suites croissantes de fonctions étagées positives.
Quelle propriété des fonctions étagées sert à établir l’additivité de l’intégrale positive ?
L’additivité de l’intégrale pour les fonctions étagées.
Quel théorème permet de passer à la limite dans la preuve de l’additivité de l’intégrale positive ?
Le théorème de Beppo-Levi.
Comment définit-on les sommes partielles pour intégrer une somme infinie ?
.
Vers quelle fonction les sommes partielles convergent-elles ?
Vers .
Quel théorème permet de passer à la limite sous l’intégrale ?
Le théorème de Beppo-Levi.
Teste tes connaissances avec un QCM de 4 questions sur Convergence et intégrale de Lebesgue.
1. Sur un espace mesuré, deux fonctions mesurables positives et ont pour intégrales respectives 4 et 7. Quelle est l’intégrale de leur somme ?
2. Une fonction mesurable positive a une intégrale égale à 6. Si on la multiplie par le scalaire positif fini , quelle est l’intégrale de la fonction obtenue ?
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