Flashcards : Compléments d’analyse (89 cartes)

Comment la valeur absolue de tout réel $x$ est-elle définie par un maximum ?

Si $x\leq 0$, à quoi est égale la valeur absolue de $x$ ?

Si $x>0$, à quoi est égale la valeur absolue de $x$ ?

Quel encadrement relie $|x+y|$ à $|x|$ et $|y|$ ?

Comment s’exprime $\ln x$ comme intégrale sur $]0,+\infty[$ ?

Quelle identité relie $\ln(xy)$ à $\ln x$ et $\ln y$ ?

Quelle fonction est la réciproque de l’exponentielle ?

Comment définit-on la puissance réelle de base $a>0$ et d’exposant $x$ ?

Comment simplifier le produit de $a^x$ et $a^y$ pour $a>0$ ?

Comment simplifier le quotient de $a^x$ par $a^y$ pour $a>0$ ?

Sur quel ensemble les fonctions sinus et cosinus sont-elles continues et dérivables ?

Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?

Quelle identité relie $\cos^2 a$ et $\sin^2 a$ pour tout réel $a$ ?

Quelle identité relie $\tan^2 a$ et $\cos^2 a$ lorsque $\cos a\ne0$ ?

Quelle est la formule d’addition de $\cos(a+b)$ ?

Quel est le domaine de l’arcsinus ?

Quelle est l’image de l’arcsinus ?

Comment définir $\operatorname{ch}x$ pour tout réel $x$ ?

Que représente l’intégrale définie d’une fonction continue entre deux bornes ?

Comment décomposer l’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ au point $c$ ?

Quelle est la valeur de l’intégrale de $f$ entre deux bornes identiques ?

Comment une primitive $F$ d’une fonction continue $f$ est-elle définie sur $I$ ?

Comment calculer l’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ à l’aide de sa primitive $F$ ?

Que transforme le changement de variable dans une intégrale composée ?

Quelle formule donne l’intégration par parties pour u et v ?

Quelle formule relie l’intégrale de f(φ(t))φ′(t) à celle de f(x) ?

Quelle formule exprime la linéarité de l’intégrale sur $[a,b]$ ?

Que compare la propriété de croissance des intégrales lorsque $f\geq g$ sur $[a,b]$ ?

Quelle forme prend une équation différentielle linéaire du premier ordre sur I ?

Quelle condition initiale définit le problème de Cauchy pour une équation différentielle ?

Combien de solutions vérifient la condition initiale pour $y'+a(x)y=b(x)$, si a et b sont continues sur I ?

Quelle formule donne la solution du problème de Cauchy avec un facteur intégrant ?

Comment choisir la primitive A de a dans la méthode du facteur intégrant ?

Comment choisir la primitive B de $be^A$ dans la méthode du facteur intégrant ?

Quelles étapes permettent de résoudre $x^2y'-y=0$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelles sont les solutions de $x^2y'-y=0$ définies sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle forme générale définit une équation linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Combien de solutions possède le problème de Cauchy d’ordre deux sous les hypothèses données ?

Comment s’écrivent les solutions à partir d’une solution particulière et de l’équation homogène associée ?

Quelle forme prennent les solutions homogènes si l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $\alpha$ et $\beta$ ?

Quelles sont les étapes pour résoudre $y''+ay'+by=f(x)$ ?

Quelle forme chercher pour une solution particulière si $Ae^{\alpha x}$ est le second membre et que $\alpha$ n’est pas racine ?

Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel $x$ à partir de son carré ?

Pour $a>0$, quelle inégalité équivaut à $|x-y|<a$ ?

Pour $a>0$, dans quel intervalle ouvert se trouve $y$ si $|x-y|<a$ ?

Quelle bijection le logarithme népérien réalise-t-il ?

Comment définit-on $\log_a(x)$ pour $a>0$ et $a\ne1$ ?

Comment exprimer $e^{x+y}$ comme produit ?

Quelle est la limite de $\ln x$ quand $x$ tend vers $0^+$ ?

Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ?

Comment simplifier la puissance $\left(a^x\right)^y$ pour $a>0$ ?

Comment développer $\left(ab\right)^x$ pour $a,b>0$ ?

Sur quels intervalles la tangente est-elle continue et dérivable ?

Quelles sont les formules de duplication du cosinus et du sinus ?

Quelles sont les solutions de $\cos x=\cos a$ modulo $2\pi$ ?

Quel est le domaine de l’arccosinus ?

Quelle est l’image de l’arctangente ?

Quelle est la dérivée de l’arcsinus sur $]-1,1[$ ?

Quelle est la dérivée de l’arctangente sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle identité relie $\operatorname{ch}x$ et $\operatorname{sh}x$ pour tout réel $x$ ?

Que devient la valeur d’une intégrale si l’on remplace sa variable d’intégration ?

Quelle est une primitive usuelle de $x^n$ pour $n\in\mathbb{Q}\setminus\{-1\}$ ?

Comment obtenir une primitive de f(u(t))u′(t) si F′=f ?

Quelle est la valeur de l’intégrale Iₚ,ᵩ sur [0,1] ?

Quelle substitution la règle de Bioche propose-t-elle si f(−x)d(−x)=f(x)dx ?

Quelle substitution la règle de Bioche propose-t-elle si f(π−x)d(π−x)=f(x)dx ?

Quel est le signe de l’intégrale d’une fonction continue strictement positive sur $[a,b]$, avec $a<b$ ?

Que garantit une intégrale nulle pour une fonction continue sur $[a,b]$ ?

Quelle formule définit la valeur moyenne de $f$ continue sur $[a,b]$ ?

Quelle régularité possède toute solution de $y'+a(x)y=b(x)$ sur I ?

Quelle famille résout $y'+xy=x^3$ avec facteur intégrant $e^{x^2/2}$ ?

Quelle valeur de $k$ impose $y(0)=0$ dans cette famille ?

Quelle solution de $y'+2xy=x$ vérifie $y(0)=1$ ?

Quelle famille résout $y'+2xy=x^3$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est la forme des solutions sur $]-1,1[$ de $(1-x^2)y'-xy=1$ ?

Quelle constante prolonge les solutions sur $]1,+\infty[$ en $x=1$ ?

Quelle constante prolonge les solutions sur $]-1,1[$ en $x=1$ ?

Quelle est la limite de $ke^{-1/x}$ quand $x\to0^+$ ?

Que vaut la limite de $k'e^{-1/x}$ quand $x\to0^-$ si $k'\ne0$ ?

Que vaut $y'(0)$ pour le prolongement nul à gauche et égal à $ke^{-1/x}$ à droite ?

Quelle propriété de continuité possède la dérivée de ce prolongement en 0 ?

Quelles conditions initiales caractérisent le problème de Cauchy d’ordre deux ?

Quelle équation homogène associe-t-on à $y''+ay'+by=f(x)$ ?

Quelle équation caractéristique associe-t-on à $y''+ay'+by=0$ ?

Quelle valeur de $C$ convient lorsque $\alpha$ n’est pas racine de $r^2+a r+b=0$ ?

Quelle valeur de $C$ convient lorsque $\alpha$ est une racine simple ?

Quelle solution particulière fournit le choix $C=\frac{A}{2}$ lorsque $\alpha$ est une racine double ?

Comment traiter un second membre qui est une somme de termes ?

Pour $y''+y=\tan x$, quelle forme prend l’essai par variations des constantes ?