Fiche de révision : Compléments d’analyse

📋 Plan du Cours

1. Valeur absolue et propriétés
2. Logarithmes et exponentielles
3. Fonctions puissances
4. Fonctions trigonométriques
5. Fonctions réciproques et hyperboliques
6. Intégrale et primitives usuelles
7. Méthodes de calcul intégral
8. Propriétés de l’intégrale
9. Équations différentielles du premier ordre
10. Compléments aux équations du premier ordre
11. Raccordement des solutions
12. Équations linéaires du second ordre
13. Recherche des solutions particulières

📖 1. Valeur absolue et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, la valeur absolue est définie par $|x|=\max(x,-x)$, donc elle vaut −x si x≤0 et x si x>0.

★ À maîtriser

• Pour tous réels x et y, $||x|-|y||\leq |x+y|\leq |x|+|y|$.

Compléments

📌 Pour tout réel x, $|x|=\sqrt{x^2}$.

📌 Pour a>0, $|x-y|<a\iff x-a<y<x+a$, ce qui équivaut à $y\in]x-a,x+a[\,.$

📖 2. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln est la primitive de x↦1/x sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1, et $\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}$.
• Exponentielle : L’exponentielle exp est la bijection réciproque de ln, de ℝ vers ]0,+∞[; on note e=exp(1) et exp(x)=e^x.
• Logarithme de base a : Pour a>0 et a≠1, le logarithme de base a est défini sur ]0,+∞[ par $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$.

★ À maîtriser

• Pour x,y>0 et n∈ℚ, $\ln(xy)=\ln x+\ln y$, $\ln(x/y)=\ln x-\ln y$ et $\ln(x^n)=n\ln x$.

Compléments

• Le logarithme népérien est continu, dérivable et strictement croissant sur ]0,+∞[, et réalise une bijection de ]0,+∞[ sur ℝ.

• Pour x,y∈ℝ, $e^{x+y}=e^xe^y$ et $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$.

• Les limites de ln vérifient $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$, tandis que celles de e^x vérifient $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

📖 3. Fonctions puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle de base a : Pour a>0 et x∈ℝ, la puissance réelle de base a est définie par $a^x=e^{x\ln a}$.

★ À maîtriser

• Pour a>0 et x,y∈ℝ, $a^xa^y=a^{x+y}$ et $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.

Compléments

• Pour a>0 et x,y∈ℝ, $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$.

• Pour a,b>0 et x∈ℝ, $(ab)^x=a^xb^x$.

📖 4. Fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

• Les fonctions sinus et cosinus sont continues, dérivables sur ℝ et périodiques de période 2π.

• Pour tout réel a, $\cos^2a+\sin^2a=1$ et, si cos a≠0, $1+\tan^2a=\frac1{\cos^2a}$.

• Les formules d’addition sont $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ et $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a$.

Compléments

• La tangente est continue et dérivable sur chaque intervalle $\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[$, pour k∈ℤ.

• Les formules de duplication sont $\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ et $\sin 2a=2\sin a\cos a$.

📌 Les solutions générales sont $\cos x=\cos a\iff x\equiv\pm a\ [2\pi]$, $\sin x=\sin a\iff x\equiv a\text{ ou }\pi-a\ [2\pi]$ et $\tan x=\tan a\iff x\equiv a\ [\pi]$.

📖 5. Fonctions réciproques et hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : L’arcsinus est la bijection réciproque de la restriction de sinus à [−π/2,π/2], de domaine [−1,1] et d’image [−π/2,π/2].
• Fonctions hyperboliques : Pour x∈ℝ, $\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2$, $\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2$ et $\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}$.
• Arccosinus : L’arccosinus est la bijection réciproque de la restriction de cosinus à [0,π], de domaine [−1,1] et d’image [0,π].
• Arctangente : L’arctangente est la bijection réciproque de la restriction de tangente à ]−π/2,π/2[, de domaine ℝ et d’image ]−π/2,π/2[.

📝 Points essentiels

• Sur ]−1,1[, $\arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ et $\arccos'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$.

• Sur ℝ, $\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$; arctan est impaire et strictement croissante.

• Pour tout réel x, $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$.

📖 6. Intégrale et primitives usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale définie : Pour une fonction continue f sur [a,b], son intégrale de a à b représente l’aire algébrique sous sa courbe entre a et b et se note $\int_a^b f(x)\,dx$.
• Primitive : Une primitive F d’une fonction continue f sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I telle que F'=f.

★ À maîtriser

• Pour une fonction continue f, $\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$, $\int_a^a f(x)\,dx=0$ et $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

• Si F est une primitive de f sur I, alors pour a,b∈I, $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Compléments

• La variable d’intégration est muette : son remplacement par une autre lettre ne change pas la valeur de l’intégrale.

• Des primitives usuelles sont $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$ pour n∈ℚ{−1}, $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+k$ et $\int e^x dx=e^x+k$, sur leurs domaines respectifs.

📖 7. Méthodes de calcul intégral

★ À maîtriser

• Le changement de variable transforme une intégrale composée en intégrale portant sur la variable nouvelle.

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables u et v dont les dérivées sont continues, $\int u'v=uv-\int uv'$.

📐 Formule - Si φ(α)=a, φ(β)=b, f est continue et φ est dérivable à dérivée continue, alors $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_a^b f(x)\,dx$.

Compléments

📌 Pour une primitive de f(u(t))u'(t), on compose une primitive de f avec u : $\int f(u(t))u'(t)\,dt=F(u(t))+k$ si F'=f.

• Pour p,q∈ℕ, l’intégrale $I_{p,q}=\int_0^1t^p(1-t)^qdt$ vaut $\frac{p!q!}{(p+q+1)!}$.

• La règle de Bioche propose les substitutions suivantes :

  • t=cos x si f(−x)d(−x)=f(x)dx
  • t=sin x si f(π−x)d(π−x)=f(x)dx
  • t=tan x si f(x+π)d(π+x)=f(x)dx

📖 8. Propriétés de l’intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur moyenne : La valeur moyenne de f continue sur [a,b] est $\frac1{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intégrale est linéaire : $\int_a^b(\lambda f+\mu g)(x)\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx$.

📌 Si f et g sont continues sur [a,b] et f(x)≥g(x) partout, alors $\int_a^b f(x)\,dx\geq\int_a^b g(x)\,dx$.

Compléments

📌 Si f est continue et strictement positive sur [a,b] avec a<b, alors $\int_a^b f(x)\,dx>0$.

📌 Si f est continue sur [a,b] et $\int_a^b f(x)\,dx=0$, alors il existe x∈[a,b[ tel que f(x)=0.

📖 9. Équations différentielles du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du premier ordre : Une équation différentielle linéaire du premier ordre sur I s’écrit $y'+a(x)y=b(x)$, où a et b sont continues sur I; une solution est une fonction dérivable vérifiant cette égalité sur I.
• Problème de Cauchy : Le problème de Cauchy consiste à déterminer les solutions d’une équation différentielle vérifiant une condition initiale $y(x_0)=y_0$.

★ À maîtriser

📌 Si a et b sont continues sur un intervalle I, alors pour tout x₀∈I et y₀∈ℝ, l’équation $y'+a(x)y=b(x)$ admet une unique solution sur I vérifiant y(x₀)=y₀.

• La solution du problème de Cauchy se calcule avec un facteur intégrant : prendre une primitive A de a telle que A(x₀)=0, puis une primitive B de be^A telle que B(x₀)=0, et obtenir $y(x)=(B(x)+y_0)e^{-A(x)}$.

Compléments

• Toute solution de $y'+a(x)y=b(x)$ vérifie $y'=-a(x)y+b(x)$ et est donc de classe C¹ sur I.

📖 10. Compléments aux équations du premier ordre

📝 Points essentiels

• Pour résoudre y' + xy = x^3, le facteur intégrant e^{x^2/2} donne la famille y(x)=x^2-2+ke^{-x^2/2} ; la condition y(0)=0 impose k=2.

• L’équation y'+2x y=x, avec y(0)=1, admet la solution y(x)=1/2+(1/2)e^{-x^2}.

• Sur ℝ, l’équation y'+2x y=x^3 admet la famille de solutions y(x)=x^2-2+ke^{-x^2/2}, où k∈ℝ.

• Sur ]−1,1[, les solutions de (1−x²)y'−xy=1 sont y(x)=(arcsin x+k)/√(1−x²), où k∈ℝ.

• Pour prolonger en x=1 les solutions de (1−x²)y'−xy=1 définies de part et d’autre de 1, les constantes doivent être k=0 sur ]1,+∞[ et k=−π/2 sur ]−1,1[ ; les deux limites valent alors −1, après quoi il faut encore examiner la dérivabilité en 1.

📖 11. Raccordement des solutions

★ À maîtriser

• Pour résoudre x²y'−y=0 sur ℝ, on résout séparément sur les demi-droites, on impose la continuité en 0, puis on vérifie la dérivabilité et la continuité de la dérivée.

• Les solutions de x²y'−y=0 définies sur ℝ sont y(x)=0 pour x≤0 et y(x)=ke^{-1/x} pour x>0, où k∈ℝ.

Compléments

• Pour tout k∈ℝ, lim_{x→0⁺}ke^{-1/x}=0, tandis que lim_{x→0⁻}k'e^{-1/x} n’est pas nulle si k'≠0.

• Le prolongement défini par y(x)=0 pour x≤0 et y(x)=ke^{-1/x} pour x>0 vérifie y'(0)=0 et sa dérivée est continue en 0.

💡 Astuce mémo

La continuité en 0 impose d’abord le raccordement des constantes, puis la dérivabilité vérifie le prolongement.

📖 12. Équations linéaires du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire du second ordre à coefficients constants : Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants de la forme y''+ay'+by=f(x), où a,b sont réels constants et f est continue sur un intervalle I ; une solution est deux fois dérivable sur I et vérifie l’équation en tout point de I.
• Problème de Cauchy d’ordre deux : Déterminer les solutions de y''+ay'+by=f(x) satisfaisant y(x₀)=y₀ et y'(x₀)=y₁.
• Équation homogène associée : Équation y''+ay'+by=0.
• Équation caractéristique : Équation r²+ar+b=0.

★ À maîtriser

• Si a et b sont réels constants, f est continue sur I, x₀∈I et y₀,y₁∈ℝ, le problème de Cauchy y''+ay'+by=f(x), y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y₁ possède une unique solution sur I.

• Si y₁ est une solution particulière de y''+ay'+by=f(x), toutes les solutions s’écrivent y=y₁+y₀, où y₀ est une solution de l’équation homogène associée.

• Si l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes α et β, les solutions de l’équation homogène sont y(x)=λe^{αx}+μe^{βx}, avec λ,μ∈ℝ.

• Si l’équation caractéristique a une racine double α, les solutions de l’équation homogène sont y(x)=(λx+μ)e^{αx}, avec λ,μ∈ℝ.

• Si l’équation caractéristique a les racines complexes conjuguées α±iω, les solutions réelles de l’équation homogène sont y(x)=(λ cos(ωx)+μ sin(ωx))e^{αx}, avec λ,μ∈ℝ.

Compléments

• Si α et β sont les racines réelles de r²+ar+b=0, alors a=−(α+β) et b=αβ.

📖 13. Recherche des solutions particulières

★ À maîtriser

• Pour résoudre y''+ay'+by=f(x), on résout l’équation homogène, on détermine une solution particulière, puis on additionne ces deux solutions.

📌 Lorsque le second membre est Ae^{αx}, on peut chercher une solution particulière de la forme Ce^{αx} si α n’est pas racine de r²+ar+b=0, Cxe^{αx} si α est racine simple, et Cx²e^{αx} si α est racine double.

Compléments

📐 Formule - Dans le cas où α n’est pas racine de r²+ar+b=0, le choix $C=\frac{A}{\alpha^2+a\alpha+b}$ fournit une solution particulière Ce^{αx}.

📐 Formule - Si α est une racine simple de r²+ar+b=0, le choix $C=\frac{A}{2\alpha+a}$ fournit une solution particulière Cxe^{αx}.

📐 Formule - Si α est une racine double de r²+ar+b=0, le choix $C=\frac{A}{2}$ fournit une solution particulière Cx²e^{αx}.

• Pour résoudre une équation dont le second membre est une somme, on peut déterminer une solution particulière pour chaque terme puis additionner ces solutions particulières.

• Par variations des constantes pour y''+y=tan x sur ]−π/2,π/2[, on pose y=λ(x)cos x+μ(x)sin x, puis on impose λ'cos x+μ'sin x=0 et −λ'sin x+μ'cos x=tan x.

💡 Astuce mémo

Résoudre l’homogène, trouver une particulière, puis les additionner.