Fiche de révision : Convergence et intégrale de Lebesgue

📋 Plan du Cours

1. Linéarité de l’intégrale positive
2. Intégration d’une somme infinie
3. Inégalité du lemme de Fatou

📖 1. Linéarité de l’intégrale positive

★ À maîtriser

• Pour deux fonctions mesurables positives f et g, l’intégrale est additive : $\int_X (f+g)\,d\mu=\int_X f\,d\mu+\int_X g\,d\mu$.

• Pour toute fonction mesurable positive f et tout scalaire réel positif fini λ, $\int_X \lambda f\,d\mu=\lambda\int_X f\,d\mu$.

Compléments

• Pour λ=+∞, la relation $\int_X \lambda f\,d\mu=\lambda\int_X f\,d\mu$ est obtenue en faisant tendre n vers l’infini dans $\int_X nf\,d\mu=n\int_X f\,d\mu$, par le théorème de Beppo-Levi.

• L’additivité pour les fonctions positives s’établit en approchant f et g par des suites croissantes de fonctions étagées positives, en utilisant l’additivité pour les fonctions étagées, puis en passant à la limite par le théorème de Beppo-Levi.

📖 2. Intégration d’une somme infinie

📝 Points essentiels

• Pour établir l’égalité des intégrales et de la somme infinie, on pose $F_n=f_0+\cdots+f_n$ ; les F_n sont mesurables, croissantes et convergent vers $\sum_{n=0}^{\infty}f_n$, puis le théorème de Beppo-Levi permet de passer à la limite sous l’intégrale.

📖 3. Inégalité du lemme de Fatou

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour toute suite de fonctions mesurables positives (f_n) sur un espace mesuré, $\int_X\liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\leq\liminf_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu$.

💡 Astuce mémo

L’intégrale de la limite inférieure reste en dessous de la limite inférieure des intégrales.