Fiche de révision : Quantité de mouvement et forces

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et projections des forces
2. Dérivées et équations différentielles
3. Masse et inertie du point matériel
4. Quantité de mouvement
5. Nature et familles des forces
6. Poids et réaction du support
7. Tension d’un fil et ressort
8. Frottement fluide
9. Bilan des forces
10. Bilan des forces sur le ballon
11. Les trois lois de Newton
12. Résoudre un problème de dynamique
13. Choix des axes de projection
14. Applications du principe fondamental
15. Expérience du frottement solide
16. Frottement fluide et vitesse limite
17. Oscillateur harmonique masse-ressort
18. Pendule simple et petits angles
19. Méthode de résolution dynamique
20. Lois et modèles récapitulatifs
21. Applications et pièges de dynamique

📖 1. Vecteurs et projections des forces

★ À maîtriser

• Une force est représentée par un vecteur caractérisé par son point d’application, sa direction, son sens et sa norme.

📐 Formule - Si un vecteur de norme F forme un angle α avec l’axe Ox, ses composantes sont $F_x=F\cos\alpha$ et $F_y=F\sin\alpha$.

• Sur un plan incliné d’angle α, le poids P se décompose en $P\sin\alpha$ le long de la pente vers le bas et $P\cos\alpha$ perpendiculairement au plan.

Compléments

📌 La somme de deux vecteurs se construit bout à bout ou par la règle du parallélogramme, mais leurs normes ne s’additionnent pas sauf si les vecteurs ont le même sens.

📌 Une composante vectorielle est positive si sa projection pointe dans le sens de l’axe et négative si elle pointe dans le sens opposé; elle est nulle lorsque le vecteur est perpendiculaire à l’axe.

💡 Astuce mémo

Le long de la pente : sinus ; perpendiculaire à la pente : cosinus.

📖 2. Dérivées et équations différentielles

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse est la dérivée temporelle de la position et l’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse : $\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ et $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$.

• Dans un mouvement circulaire de rayon R à vitesse constante v, l’accélération est dirigée vers le centre et sa norme vaut $a=\frac{v^2}{R}$.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes dans une base fixe, l’accélération s’écrit $\vec a=\ddot x\,\vec u_x+\ddot y\,\vec u_y+\ddot z\,\vec u_z$.

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération constante a, de position initiale x₀ et de vitesse initiale v₀, $v(t)=at+v_0$ et $x(t)=\frac12at^2+v_0t+x_0$.

• Une équation différentielle a pour inconnue une fonction du temps et contient une ou plusieurs dérivées de cette fonction.

• Pour vérifier une solution proposée d’une équation différentielle, on dérive la fonction autant de fois que nécessaire, on la remplace dans l’équation, puis on vérifie l’égalité pour tout t et le respect de la condition initiale.

💡 Astuce mémo

Proposer, dériver, remplacer, vérifier.

📖 3. Masse et inertie du point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse : Grandeur qui mesure la quantité de matière d’un objet et sa résistance à changer de mouvement, appelée inertie; elle s’exprime en kilogrammes (kg).
• Point matériel : Objet assez petit devant les distances du problème pour être représenté par un point auquel est attribuée toute sa masse.

★ À maîtriser

• La dynamique étudie les causes des changements de mouvement, notamment les forces.

Compléments

• La masse d’un objet ne dépend ni du lieu ni de son mouvement.

• En 1687, Isaac Newton énonce les trois lois qui relient les forces au mouvement.

📖 4. Quantité de mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : Vecteur $\vec{p}=m\vec{v}$ d’un point matériel de masse m et de vitesse $\vec{v}$ dans un référentiel ℛ, exprimé en kg · m · s⁻¹.

📝 Points essentiels

• La quantité de mouvement a le même sens que la vitesse, sa norme augmente avec la masse et la vitesse, et elle dépend du référentiel.

📖 5. Nature et familles des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Action mécanique exercée sur un point et représentée par un vecteur caractérisé par un point d’application, une direction, un sens et une norme exprimée en newtons (N).

📝 Points essentiels

📌 Les forces se répartissent entre les actions à distance, comme le poids, et les actions de contact exercées par un support, un fil, un ressort ou un fluide.

💡 Astuce mémo

À distance : la Terre attire ; au contact : un objet touche le système.

📖 6. Poids et réaction du support

★ À maîtriser

📐 Formule - Le poids d’un objet vérifie $\vec{P}=m\vec{g}$, où $\vec{g}$ est le champ de pesanteur vertical vers le bas.

📐 Formule - La réaction du support se décompose selon $\vec{R}=\vec{N}+\vec{T}$, où $\vec{N}$ est normale au support et $\vec{T}$ lui est tangentielle.

Compléments

• À la surface de la Terre, $g\approx9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, valeur souvent arrondie à 9,8.

• Le poids est vertical, dirigé vers le bas et appliqué au centre de l’objet; sa norme est proportionnelle à la masse.

• Sur un support lisse sans frottement, $\vec{T}=\vec{0}$ et la réaction est égale à sa composante normale, $\vec{R}=\vec{N}$.

• La norme N de la réaction normale ne peut pas être négative; si N vaut zéro, l’objet est sur le point de décoller du support.

• La réaction normale N n’est égale à mg que pour un objet au repos sur une table horizontale; elle peut différer de mg sur un plan incliné, dans un ascenseur accéléré ou si une force supplémentaire agit sur l’objet.

💡 Astuce mémo

Sur une rampe, la réaction se partage en une flèche perpendiculaire et une flèche le long de la pente.

📖 7. Tension d’un fil et ressort

🔑 Notions clés & Définitions

• Allongement : L’allongement d’un ressort est $x=\ell-\ell_0$, où ℓ est sa longueur instantanée et ℓ₀ sa longueur à vide; il est positif si le ressort est étiré et négatif s’il est comprimé.

★ À maîtriser

• Pour un fil inextensible et de masse négligeable, la tension est dirigée le long du fil, du point vers le support, et sa norme est déterminée par les équations.

📐 Formule - La force exercée par un ressort sur l’objet accroché vérifie $\vec{F}=-kx\vec{u}_x$, où k est sa raideur et $\vec{u}_x$ est dirigé du point d’attache vers l’objet le long du ressort.

Compléments

📌 Un fil tire mais ne pousse jamais, et sa force suit toujours la direction du fil tendu.

• Un fil sans masse transmet la même tension à ses deux extrémités; cela reste vrai pour une poulie idéale sans masse et sans frottement.

• La force de rappel du ressort est dirigée vers la position d’équilibre où sa longueur vaut ℓ₀; elle est opposée à la déformation.

💡 Astuce mémo

Le fil tire le long de lui-même ; le ressort ramène vers sa longueur naturelle.

📖 8. Frottement fluide

★ À maîtriser

📌 Le frottement fluide est opposé à la vitesse de l’objet par rapport au fluide; son modèle est linéaire à faible vitesse et quadratique à grande vitesse.

📐 Formule - En régime linéaire, le frottement fluide vérifie $\vec{f}=-\lambda\vec{v}$.

📐 Formule - En régime quadratique, le frottement fluide vérifie $\vec{f}=-\frac{1}{2}\rho C_x S v^2\vec{u}_v$, où $\vec{u}_v=\frac{\vec{v}}{v}$.

Compléments

• Le coefficient de traînée $C_x$ dépend de la forme de l’objet, et S désigne sa surface vue de face.

💡 Astuce mémo

À faible vitesse, le frottement croît comme v ; à grande vitesse, comme v².

📖 9. Bilan des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Bilan des forces : Liste complète des forces qui agissent sur le système étudié, et uniquement sur celui-ci.

★ À maîtriser

• Pour établir un bilan des forces, on délimite le système, on identifie les actions à distance, puis on recense les contacts qui exercent des forces.

Compléments

📌 Une force exercée par le système sur un autre objet n’appartient pas au bilan des forces du système, car elle agit sur cet autre objet.

• Un objet en chute libre lorsque le frottement de l’air est négligé ne subit que son poids.

💡 Astuce mémo

Système → actions à distance → contacts.

📖 10. Bilan des forces sur le ballon

📝 Points essentiels

• Après le tir, un ballon en vol subit son poids, exercé à distance par la Terre, et le frottement de l’air, une force de contact opposée à sa vitesse ; le pied ne le touche plus, donc il n’exerce plus de force sur lui.

📖 11. Les trois lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Un référentiel est galiléen si le principe d’inertie y est vérifié.
• Point pseudo-isolé : Point qui subit des forces qui se compensent, de sorte que leur somme est nulle.
• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un point de masse m et de vitesse vectorielle $\vec{v}$ est $\vec{p}=m\vec{v}$.

★ À maîtriser

📌 Dans un référentiel galiléen, un point isolé ou pseudo-isolé a un mouvement rectiligne uniforme ou reste au repos ; réciproquement, si sa vitesse est constante, la somme des forces qu’il subit est nulle.

📌 Dans un référentiel galiléen, une force résultante n’est pas nécessaire pour entretenir un mouvement rectiligne uniforme : les forces servent à changer le mouvement, tandis que les frottements peuvent ralentir un objet.

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\frac{d\vec{p}}{dt}=\sum \vec{F}$ et, à masse constante, $m\vec{a}=\sum \vec{F}$.

📐 Formule - Pour deux points A et B en interaction, les forces réciproques vérifient $\vec{F}_{A\to B}=-\vec{F}_{B\to A}$ ; elles ont la même norme, la même droite d’action et des sens opposés.

Compléments

• Le référentiel terrestre est considéré galiléen à très bonne approximation pour les expériences courtes, de quelques minutes, et de petite taille ; le référentiel géocentrique convient mieux aux satellites et aux mouvements de quelques heures, tandis que le référentiel héliocentrique convient aux planètes.

• L’accélération a toujours la direction et le sens de la somme des forces, tandis que la vitesse est tangente à la trajectoire.

📌 Les forces réciproques de la troisième loi de Newton s’exercent sur deux corps différents et ne s’annulent donc pas dans le bilan des forces d’un même système.

• Dans le référentiel terrestre, une mangue de 0,30 kg en chute libre sans air a une accélération égale à $\vec{g}$, de norme 9,81 m·s⁻² vers le bas, indépendamment de sa masse.

💡 Astuce mémo

La vitesse décrit le mouvement ; la résultante des forces détermine son changement.

📖 12. Résoudre un problème de dynamique

📝 Points essentiels

• La résolution d’un problème de dynamique suit six étapes ordonnées.

• Pour résoudre un problème de dynamique, il faut définir le système, choisir et annoncer un référentiel galiléen, dresser le bilan des forces avec un schéma, écrire le PFD, projeter sur une base adaptée, puis résoudre l’équation différentielle avec les conditions initiales et vérifier unités, signes, ordre de grandeur et cas limites.

💡 Astuce mémo

Système → référentiel → bilan → PFD → projection → résolution

📖 13. Choix des axes de projection

★ À maîtriser

📌 Pour projeter le PFD, on choisit un axe dans la direction du mouvement ou de l’accélération attendue, puis un axe perpendiculaire pour déterminer notamment une force inconnue si l’accélération y est nulle.

Compléments

• Le sens des axes doit être indiqué sur le schéma, car il détermine le signe de chaque composante.

📖 14. Applications du principe fondamental

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un seau hissé verticalement avec l’axe orienté vers le haut, la tension vérifie $T=m(g+a_z)$.

📐 Formule - Sur un plan incliné d’angle α, avec l’axe x dirigé vers le bas de la pente et l’axe y perpendiculaire vers l’extérieur, les projections donnent $N=mg\cos\alpha$ et $ma=mg\sin\alpha-T$, où T est le frottement dirigé vers le haut de la pente.

Compléments

• Pour un seau de 12 kg avec g = 9,81 m·s⁻², la tension vaut environ 118 N à vitesse constante, 124 N lorsqu’il accélère vers le haut à 0,50 m·s⁻² et 108 N lorsqu’il ralentit en montant avec une accélération de 0,80 m·s⁻² vers le bas.

• Sans frottement sur un plan incliné, l’accélération vers le bas de la pente vaut $a=g\sin\alpha$.

• Pour l’enfant de 20 kg sur un toboggan de 3,0 m incliné à 30°, avec un frottement de 40 N et g = 9,81 m·s⁻², la réaction normale vaut environ 170 N et l’accélération le long de la pente vaut environ 2,9 m·s⁻².

📐 Formule - Pour un mouvement à accélération constante avec départ sans vitesse et origine à la position initiale, la vitesse et la position vérifient $v(t)=at$ et $x(t)=\frac{1}{2}at^2$.

• Dans l’exemple du toboggan, l’enfant atteint le bas en environ 1,44 s à environ 4,2 m·s⁻¹ avec frottement.

💡 Astuce mémo

Le seau monte à vitesse constante ou accélère ; sur le toboggan, le poids se partage entre pente et normale.

📖 15. Expérience du frottement solide

★ À maîtriser

• À l’arrêt, le frottement s’adapte à la poussée jusqu’à son seuil de 98 N ; au-delà, la caisse glisse et le frottement retombe à 78 N.

📌 Au repos, le frottement solide vérifie $\|\vec T\| \leq \mu_s N$ et sa valeur, inconnue d’avance, est celle nécessaire pour empêcher le glissement dans cette limite.

📌 En glissement, le frottement solide vérifie $\|\vec T\| = \mu_c N$ et sa direction est opposée à la vitesse de glissement.

📐 Formule - Sur une pente, l’objet reste au repos tant que $\tan\alpha \leq \mu_s$ ; l’angle limite vaut donc $\alpha_{\mathrm{lim}} = \arctan(\mu_s)$.

• Pour déterminer si un objet glisse, on suppose d’abord le repos et on calcule le frottement requis avec le PFD, puis on vérifie si T ≤ μsN ; si cette condition échoue, on traite le glissement avec T = μcN opposé à la vitesse et on calcule l’accélération.

Compléments

• Dans l’expérience représentée, une caisse de 20 kg ne bouge pas sous une poussée de 90 N et le frottement statique vaut alors 90 N.

• Le graphique de l’expérience indique un seuil de frottement statique μₛN de 98 N et un frottement de glissement μcN de 78 N.

• Pour une caisse de 20 kg sur un sol horizontal, la réaction normale vaut N = mg = 20 × 9,81 = 196 N.

📌 Le coefficient statique μs borne le frottement au repos, tandis que le coefficient cinétique μc fixe sa valeur en glissement ; en général, μc est inférieur ou à peu près égal à μs.

📐 Formule - L’angle φ de la réaction totale avec la normale au support vérifie $\tan\varphi = \frac{\|\vec T\|}{N}$ ; au repos, la réaction reste dans le cône de frottement de demi-angle φs, défini par $\tan\varphi_s = \mu_s$.

💡 Astuce mémo

Au repos, le frottement suit la poussée ; au glissement, il prend la valeur μcN.

📖 16. Frottement fluide et vitesse limite

★ À maîtriser

📌 Le frottement fluide linéaire s’applique aux petites vitesses, aux petits objets ou aux fluides visqueux, tandis que le modèle quadratique convient aux grandes vitesses.

📐 Formule - Dans le modèle linéaire, la force de frottement fluide est opposée à la vitesse et vaut $\vec f = -\lambda\vec v$, où λ s’exprime en kg·s⁻¹.

📐 Formule - Dans le modèle quadratique, la force de frottement fluide vaut $\vec f = -\frac{1}{2}\rho C_x S v^2\vec u_v$, où ρ est la masse volumique du fluide, Cx le coefficient de traînée, S la surface vue de face et $\vec u_v = \frac{\vec v}{v}$.

📐 Formule - Pour cette chute avec frottement linéaire, la vitesse est $v(t) = v_{\mathrm{lim}}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, où $v_{\mathrm{lim}} = \frac{mg}{\lambda}$ et $\tau = \frac{m}{\lambda}$.

📌 À la vitesse limite, l’accélération est nulle et le frottement fluide équilibre le poids ; dans le régime linéaire, $v_{\mathrm{lim}} = \frac{mg}{\lambda}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une chute verticale avec frottement linéaire, sans vitesse initiale et en négligeant la poussée d’Archimède, la vitesse suit $\frac{dv}{dt} + \frac{v}{\tau} = g$ avec $\tau = \frac{m}{\lambda}$.

• Dans le modèle linéaire, la vitesse atteint 63 % de sa valeur limite à t = τ, 95 % à t = 3τ et 99 % à t = 5τ.

📐 Formule - Pour une goutte soumise au frottement quadratique, l’équilibre entre frottement et poids donne $v_{\mathrm{lim}} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_x S}}$.

💡 Astuce mémo

La vitesse augmente → le frottement grandit → l’équilibre avec le poids fixe la vitesse limite.

📖 17. Oscillateur harmonique masse-ressort

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une masse-ressort horizontale sans frottement, l’allongement vérifie $\ddot{x}+\omega_0^2x=0$ avec $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ et $T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

📌 L’isochronisme signifie que, pour une même masse et un même ressort, la période ne dépend pas de l’amplitude initiale.

Compléments

📐 Formule - La solution du mouvement masse-ressort est $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$, où $X_m$ est l’amplitude et $\varphi$ la phase à l’origine.

• La fréquence propre est $f_0=1/T_0$ et représente le nombre d’oscillations par seconde, exprimé en hertz.

• Les conditions initiales déterminent l’amplitude et la phase en imposant $x(0)=X_m\cos\varphi$ et $\dot{x}(0)=-X_m\omega_0\sin\varphi$.

💡 Astuce mémo

Ressort plus raide → période plus courte ; masse plus lourde → période plus longue.

📖 18. Pendule simple et petits angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Pendule simple : Un point matériel de masse m accroché à un fil inextensible de masse négligeable et de longueur ℓ, fixé en un point O.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le mouvement du pendule simple vérifie $\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$, indépendamment de la masse du pendule.

📐 Formule - Pour les petits angles exprimés en radians, $\sin\theta\approx\theta$, ce qui transforme l’équation du pendule en $\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\theta=0$.

📐 Formule - Aux petits angles, le pendule a une pulsation propre $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ et une période propre $T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$.

Compléments

• La composante tangentielle du poids, $-mg\sin\theta$, ramène le pendule vers la verticale, tandis que la tension du fil est radiale et ne contribue pas au mouvement le long de l’arc.

• L’écart de l’approximation $\sin\theta\approx\theta$ est d’environ 2 % au plus jusqu’à 20° et atteint 21 % à 60° selon les valeurs indiquées.

💡 Astuce mémo

Aux petits angles, sin θ ≈ θ → le pendule devient harmonique.

📖 19. Méthode de résolution dynamique

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution suit six réflexes dans l’ordre :
  1. Définir le système étudié.
  2. Choisir et annoncer un référentiel galiléen.
  3. Dresser le bilan des forces avec un schéma.
  4. Écrire le PFD.
  5. Projeter sur une base adaptée à la géométrie.
  6. Résoudre avec les conditions initiales, puis contrôler unités, signes, ordres de grandeur et cas limites.

📌 La force de frottement fluide est opposée à la vitesse, tandis que le frottement solide s’oppose au glissement relatif ou à sa tendance et peut donc être dirigé dans le sens du mouvement par rapport au sol.

Compléments

📌 Pour un frottement solide, il faut déterminer si le système est au repos ou en glissement avant d’appliquer la loi de frottement correspondante.

📌 Dans un référentiel non galiléen, le PFD doit inclure les forces d’inertie ; l’écrire sans annoncer le référentiel peut donc conduire à oublier ces forces.

• Sur un plan incliné, l’angle nul constitue un contrôle de projection : le poids doit alors être entièrement perpendiculaire au plan.

💡 Astuce mémo

Système → référentiel → forces → PFD → projection → résolution

📖 20. Lois et modèles récapitulatifs

★ À maîtriser

📐 Formule - La quantité de mouvement et le PFD dans un référentiel galiléen s’écrivent $\vec p=m\vec v$ et $\frac{d\vec p}{dt}=\sum\vec F$, soit $m\vec a=\sum\vec F$.

📐 Formule - Pour le frottement de Coulomb, au repos $\|\vec T\|\leq\mu_sN$ et en glissement $\|\vec T\|=\mu_dN$, avec une force opposée à la vitesse de glissement.

Compléments

📐 Formule - Pour une chute avec frottement fluide linéaire, la vitesse limite et le temps caractéristique valent $v_{\mathrm{lim}}=\frac{mg}{\lambda}$ et $\tau=\frac{m}{\lambda}$, et la vitesse évolue selon $v(t)=v_{\mathrm{lim}}(1-e^{-t/\tau})$.

📐 Formule - Pour un oscillateur masse-ressort, $\ddot{x}+\omega_0^2x=0$, $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ et $T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

📐 Formule - Pour un pendule simple aux petits angles, $\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\theta=0$ et $T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$.

💡 Astuce mémo

Au repos, le frottement s’ajuste ; en glissement, il atteint sa valeur cinétique

📖 21. Applications et pièges de dynamique

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec un frottement quadratique $\vec f=-\frac12\rho C_xS v^2\vec u_v$, l’équilibre entre le poids et le frottement donne $v_{\mathrm{lim}}=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}$.

📌 La période du pendule simple ne dépend pas de la masse, tandis que celle du ressort est proportionnelle à la racine carrée de la masse.

📌 Une caisse posée sur un camion ne glisse pas si l’accélération du camion vérifie $a\leq\mu_sg$ ; avec $\mu_s=0{,}40$ et $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, l’accélération maximale est 3,9 m·s⁻².

Compléments

• Pour le parachutiste de 80 kg dans un air de masse volumique 1,2 kg·m⁻³, avec $C_xS=0{,}50\ \mathrm{m^2}$ avant ouverture et $C_xS=40\ \mathrm{m^2}$ après ouverture, les vitesses limites sont respectivement 51 m·s⁻¹ (184 km·h⁻¹) et 5,7 m·s⁻¹ (21 km·h⁻¹).

• Pour un ressort de masse 0,20 kg dont 10 oscillations durent 6,3 s, la période est 0,63 s et la raideur déduite de $k=\frac{4\pi^2m}{T_0^2}$ est d’environ 20 N·m⁻¹.

• Pour un pendule dont la tige s’allonge de 0,10 %, la période augmente d’environ 0,05 % ; pour une période initiale de 2,0 s, l’horloge retarde d’environ 43 s par jour.

• Pour une caisse de 50 kg accélérée à 3,0 m·s⁻² sans glisser, le frottement statique vaut 150 N et est dirigé vers l’avant ; à 5,0 m·s⁻², la caisse glisse vers l’arrière du plateau.

• Lors du freinage d’un véhicule de 15 m·s⁻¹ à l’arrêt en 3,0 s, l’accélération est de 5,0 m·s⁻² vers l’arrière ; un porte-clés suspendu s’incline vers l’avant d’environ 27° et la tension de son fil vaut 0,55 N pour une masse de 50 g.

💡 Astuce mémo

Si l’accélération du camion dépasse μₛg, la caisse glisse vers l’arrière du plateau