QCM : Convergence et intégrale de Lebesgue (4 questions)

Question 1

1. Sur un espace mesuré, deux fonctions mesurables positives $f$ et $g$ ont pour intégrales respectives 4 et 7. Quelle est l’intégrale de leur somme ?

3

28

f + g

11

Explication

L’intégrale est additive pour deux fonctions mesurables positives : l’intégrale de leur somme vaut la somme de leurs intégrales, soit 4 + 7 = 11. La différence 3 soustrait les valeurs, 28 les multiplie, et « f + g » désigne la fonction plutôt que son intégrale.

Answer

Utiliser Beppo-Levi sur les sommes partielles croissantes $$F_n$$

Answer

Cette intégrale est inférieure ou égale à 7.

Question 2

2. Une fonction mesurable positive $f$ a une intégrale égale à 6. Si on la multiplie par le scalaire positif fini $\lambda=3$ , quelle est l’intégrale de la fonction obtenue ?

3

18

2

9

Explication

La multiplication d’une fonction positive par un scalaire positif fini multiplie son intégrale par ce même scalaire : 3 × 6 = 18. La valeur 2 correspond à une division, 9 à une addition, et 3 omet l’intégrale initiale.

Question 3

3. Pour une suite de fonctions mesurables positives $(f_n)$ , on pose $F_n=f_0+\cdots+f_n$ . Quelle démarche justifie l’égalité entre l’intégrale de la somme infinie et la somme des intégrales ?

Appliquer le lemme de Fatou pour obtenir une égalité

Utiliser les différences

F_n-F_{n-1}

comme suite décroissante

Utiliser Beppo-Levi sur les sommes partielles croissantes

F_n

Échanger limite et intégrale sans vérifier la croissance

Explication

Les sommes partielles $F_n$ sont mesurables, croissantes et convergent vers la somme infinie ; le théorème de Beppo-Levi autorise alors le passage à la limite sous l’intégrale. Les différences ne constituent pas la suite croissante requise, le lemme de Fatou donne une inégalité, et l’échange de limite sans croissance établie n’est pas justifié.

Question 4

4. Sur un espace mesuré, une suite de fonctions mesurables positives vérifie $\liminf_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu=7$ . Quelle borne garantit le lemme de Fatou pour $\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu$ ?

Cette intégrale est inférieure ou égale à la limite supérieure des intégrales.

Cette intégrale est supérieure ou égale à 7.

Cette intégrale est inférieure ou égale à 7.

Cette intégrale est égale à 7.

Explication

Pour des fonctions mesurables positives, le lemme de Fatou donne $\int_X\liminf f_n\,d\mu\leq\liminf_n\int_X f_n\,d\mu$ , donc la borne vaut 7. Dire qu’elle est supérieure ou égale inverse le sens, utiliser la limite supérieure change le membre de droite, et imposer l’égalité est trop fort.

QCM : Convergence et intégrale de Lebesgue (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur un espace mesuré, deux fonctions mesurables positives $f$ et $g$ ont pour intégrales respectives 4 et 7. Quelle est l’intégrale de leur somme ?

2. Une fonction mesurable positive $f$ a une intégrale égale à 6. Si on la multiplie par le scalaire positif fini $\lambda=3$ , quelle est l’intégrale de la fonction obtenue ?

3. Pour une suite de fonctions mesurables positives $(f_n)$ , on pose $F_n=f_0+\cdots+f_n$ . Quelle démarche justifie l’égalité entre l’intégrale de la somme infinie et la somme des intégrales ?

4. Sur un espace mesuré, une suite de fonctions mesurables positives vérifie $\liminf_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu=7$ . Quelle borne garantit le lemme de Fatou pour $\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu$ ?

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QCM : Convergence et intégrale de Lebesgue (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur un espace mesuré, deux fonctions mesurables positives fff et ggg ont pour intégrales respectives 4 et 7. Quelle est l’intégrale de leur somme ?

2. Une fonction mesurable positive fff a une intégrale égale à 6. Si on la multiplie par le scalaire positif fini λ=3\lambda=3λ=3, quelle est l’intégrale de la fonction obtenue ?

3. Pour une suite de fonctions mesurables positives (fn)(f_n)(fn​), on pose Fn=f0+⋯+fnF_n=f_0+\cdots+f_nFn​=f0​+⋯+fn​. Quelle démarche justifie l’égalité entre l’intégrale de la somme infinie et la somme des intégrales ?

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2. Une fonction mesurable positive $f$ a une intégrale égale à 6. Si on la multiplie par le scalaire positif fini $\lambda=3$ , quelle est l’intégrale de la fonction obtenue ?

3. Pour une suite de fonctions mesurables positives $(f_n)$ , on pose $F_n=f_0+\cdots+f_n$ . Quelle démarche justifie l’égalité entre l’intégrale de la somme infinie et la somme des intégrales ?