QCM : Compléments d’analyse (32 questions)

Question 1

1. Pour calculer la valeur absolue de $-7$ à partir de sa définition, quelle valeur obtient-on ?

-7

49

7

\sqrt{7}

Explication

La définition donne $|x|=-x$ lorsque $x\leq 0$ , donc $|-7|=-(-7)=7$ . La réponse $-7$ conserve le signe, $49$ calcule le carré, et $\sqrt{7}$ confond la valeur absolue avec une racine.

Answer

$$2\leq 2\leq 8$$

Answer

La primitive de $$x\mapsto 1/x$$ qui s’annule en 1

Answer

$$3\ln a+\ln b-2\ln c$$

Answer

$$e^{\frac{2}{3}\ln 5}$$

Answer

Elle est continue, dérivable et de période $$2\pi$$.

Answer

$$\frac{1}{5}$$

Answer

$$\sin a\cos b+\sin b\cos a$$

Answer

Dans $$[-\pi/2,\pi/2]$$

Answer

$$\operatorname{ch}(0)=1$$, $$\operatorname{sh}(0)=0$$ et $$\operatorname{th}(0)=0$$

Answer

L’aire algébrique sous la courbe entre $$a$$ et $$b$$

Answer

Transformer l’intégrale en une intégrale portant sur la nouvelle variable

Answer

$$u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)\,dx$$

Answer

$$\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_a^b f(x)\,dx$$

Answer

$$\int_0^2 f(x)\,dx\geq\int_0^2 g(x)\,dx$$

Answer

Les solutions qui prennent la valeur $$y_0$$ en $$x_0$$

Answer

Une unique solution sur $$I$$ vérifie cette donnée initiale

Answer

$$(B(x)+y_0)e^{-A(x)}$$

Answer

$$x^2-2+2e^{-x^2/2}$$

Answer

$$\frac{\arcsin x+2}{\sqrt{1-x^2}}$$

Answer

Résoudre sur les deux demi-droites, imposer la continuité en $$0$$, puis vérifier la dérivabilité et la continuité de la dérivée

Answer

$$y(x)=0$$ pour $$x\leq 0$$ et $$y(x)=ke^{-1/x}$$ pour $$x>0$$, avec $$k\in\mathbb{R}$$

Answer

Être deux fois dérivable sur $$I$$ et vérifier l’équation en chaque point de $$I$$

Answer

Une unique solution

Answer

$$y=y_1+y_0$$

Answer

$$(\lambda\cos(3x)+\mu\sin(3x))e^{2x}$$

Answer

Additionner la solution homogène et la solution particulière

Question 2

2. Pour $x=3$ et $y=-5$ , quelles valeurs encadrent $|x+y|$ selon l’inégalité triangulaire donnée ?

8\leq 2\leq 2

2\leq 8\leq 8

2\leq 2\leq 8

8\leq 8\leq 2

Explication

L’inégalité impose $||x|-|y||\leq |x+y|\leq |x|+|y|$ . Ici, les trois termes valent respectivement $|3-5|=2$ , $|3-5|=2$ et $3+5=8$ ; prendre $8$ comme borne inférieure inverse le rôle de la somme des modules.

Question 3

3. Quelle caractérisation définit le logarithme népérien sur les réels strictement positifs ?

La primitive de

x\mapsto 1

qui s’annule en 1

La bijection réciproque de l’exponentielle qui s’annule en 0

La primitive de

x\mapsto 1/x

qui s’annule en 0

La primitive de

x\mapsto 1/x

qui s’annule en 1

Explication

Le logarithme népérien est la primitive de $1/x$ sur $]0,+\infty[$ qui s’annule en 1, ce qui donne $\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}$ . La réciproque de l’exponentielle est bien liée à $\ln$ , mais l’annulation en 0 ne correspond pas à sa caractérisation comme primitive.

Question 4

4. Pour simplifier $\ln\left(\frac{a^3b}{c^2}\right)$ avec $a,b,c>0$ , quelle expression résulte des propriétés du logarithme ?

\ln a+\ln b-\ln c

3\ln a+\ln b+2\ln c

3\ln a+\ln b-2\ln c

3\ln a-\ln b-2\ln c

Explication

Le logarithme d’un quotient soustrait le logarithme du dénominateur, tandis qu’une puissance devient un coefficient : on obtient $3\ln a+\ln b-2\ln c$ . Le signe positif devant $2\ln c$ traite à tort le dénominateur comme un facteur du numérateur.

Question 5

5. Pour calculer une puissance réelle de base $5$ et d’exposant $\frac{2}{3}$ à partir de l’exponentielle et du logarithme, quelle expression faut-il utiliser ?

e^{\frac{\ln 5}{2/3}}

e^{\frac{2}{3}\ln 5}

e^{2\ln 5}

e^{\frac{2}{3}\ln(2/3)}

Explication

La définition d’une puissance réelle est $a^x=e^{x\ln a}$ ; ici, on prend donc $a=5$ et $x=\frac{2}{3}$ . L’exposant sans facteur $\frac{2}{3}$ omet l’exposant donné, $\ln(2/3)$ confond exposant et base, et la division inverse le rôle de l’exposant.

Question 6

6. En simplifiant $\frac{7^{3/2}}{7^{-1/2}}$ , quelle puissance de base $7$ obtient-on ?

7^{-2}

7^1

7^2

7^{-3/4}

Explication

Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : $\frac{7^{3/2}}{7^{-1/2}}=7^{3/2-(-1/2)}=7^2$ . $7^1$ vient de leur addition, $7^{-2}$ inverse l’ordre de la soustraction et $7^{-3/4}$ multiplie les exposants.

Question 7

7. Une fonction $f$ est définie par $f(x)=\cos x$ . Quelles propriétés possède-t-elle sur $\mathbb{R}$ ?

Elle est continue, dérivable et de période

4\pi

.

Elle est continue, dérivable et de période

2\pi

.

Elle est continue et dérivable sur chaque intervalle entre ses zéros.

Elle est continue, dérivable et de période

\pi

.

Explication

Le cosinus est continu et dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa période est $2\pi$ . La période $\pi$ correspond à la tangente ; la continuité par morceaux ne décrit pas le cosinus, et $4\pi$ double sa période.

Question 8

8. Un angle $a$ vérifie $\cos a\ne 0$ et $\tan a=2$ . Quelle valeur obtient-on pour $\cos^2 a$ ?

\frac{1}{5}

5

\frac{1}{4}

\frac{3}{5}

Explication

Comme $1+\tan^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$ , on a $\frac{1}{\cos^2 a}=1+2^2=5$ , donc $\cos^2 a=\frac{1}{5}$ . La valeur $5$ oublie l’inversion, $\frac{1}{4}$ omet le terme constant et $\frac{3}{5}$ ne découle pas de l’identité donnée.

Question 9

9. Pour $a=\frac{\pi}{3}$ et $b=\frac{\pi}{6}$ , quelle expression donne correctement $\sin(a+b)$ avant son éventuelle simplification ?

\cos a\sin b+\cos b\sin a

\sin a\cos b+\sin b\cos a

\cos a\cos b-\sin a\sin b

\sin a\cos b-\sin b\cos a

Explication

La formule d’addition du sinus est $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$ . L’expression avec deux cosinus est celle de $\cos(a+b)$ , le signe moins correspond à une mauvaise gestion du signe, et l’expression avec deux produits de cosinus ne respecte pas la formule du sinus.

Question 10

10. Pour retrouver un angle principal associé à une valeur de sinus, dans quel intervalle doit-on chercher la valeur de $\arcsin(x)$ lorsque $x\in[-1,1]$ ?

Dans

[-\pi/2,\pi/2]

Dans

[0,\pi]

Dans

]-\pi/2,\pi/2[

Dans

[-\pi,\pi]

Explication

L’arcsinus est définie comme la réciproque de la restriction du sinus à $[-\pi/2,\pi/2]$ , et son image est cet intervalle. L’intervalle $[0,\pi]$ correspond à l’arccosinus, l’intervalle ouvert à l’arctangente, et $[-\pi,\pi]$ n’est pas l’intervalle principal de l’arcsinus.

Question 11

11. Pour $x=0$ , quelles valeurs obtient-on avec les définitions des fonctions hyperboliques usuelles ?

\operatorname{ch}(0)=0

,

\operatorname{sh}(0)=1

et

\operatorname{th}(0)=0

\operatorname{ch}(0)=1

,

\operatorname{sh}(0)=0

et

\operatorname{th}(0)=0

\operatorname{ch}(0)=1

,

\operatorname{sh}(0)=0

et

\operatorname{th}(0)=1

\operatorname{ch}(0)=0

,

\operatorname{sh}(0)=0

et

\operatorname{th}(0)=1

Explication

Les définitions donnent $\operatorname{ch}(0)=(1+1)/2=1$ et $\operatorname{sh}(0)=(1-1)/2=0$ ; leur quotient vaut donc $\operatorname{th}(0)=0$ . La valeur $0$ pour le cosinus hyperbolique confond les deux fonctions, tandis que les réponses donnant une tangente hyperbolique égale à $1$ ne respectent pas son quotient définitoire.

Question 12

12. Pour une fonction continue sur $[a,b]$ , que représente géométriquement $\int_a^b f(x)\,dx$ ?

La longueur de la courbe entre les abscisses

a

et

b

La plus grande valeur de la fonction entre

a

et

b

L’aire algébrique sous la courbe entre

a

et

b

L’aire géométrique entre la courbe et l’axe des abscisses

Explication

L’intégrale d’une fonction continue sur un segment représente l’aire algébrique sous sa courbe entre les bornes : les contributions situées sous l’axe des abscisses sont négatives. L’aire géométrique ne tient pas compte des signes, tandis que la longueur et le maximum sont d’autres grandeurs.

Question 13

13. Une fonction continue est intégrée de $2$ à $7$ , et l’on sait que $\int_2^5 f(x)\,dx=4$ et $\int_5^7 f(x)\,dx=-1$ . Quelle est la valeur de $\int_2^7 f(x)\,dx$ ?

5

3

-5

-1

Explication

L’additivité donne $\int_2^7 f(x)\,dx=\int_2^5 f(x)\,dx+\int_5^7 f(x)\,dx=4+(-1)=3$ . La valeur $5$ néglige le signe de la seconde intégrale, $-5$ inverse les signes, et $-1$ ne conserve que l’intégrale du dernier sous-intervalle.

Question 14

14. Une primitive de $f$ est $F(x)=x^2+1$ . Quelle valeur obtient-on pour $\int_1^3 f(x)\,dx$ ?

2

-8

8

10

Explication

Le théorème fondamental donne $\int_1^3 f(x)\,dx=F(3)-F(1)=(9+1)-(1+1)=8$ . La valeur $2$ correspond à la seule valeur en borne inférieure, $10$ à l’addition des évaluations, et $-8$ à la différence prise dans l’ordre inverse.

Question 15

15. Pour calculer une intégrale dont l’intégrande contient une expression composée, on pose cette expression égale à une nouvelle variable. Quel effet cette substitution doit-elle produire ?

Transformer l’intégrale en une intégrale portant sur la nouvelle variable

Inverser les bornes sans modifier la variable d’intégration

Conserver l’intégrande et remplacer seulement le nom de la variable

Décomposer l’intégrande en un produit à intégrer séparément

Explication

Le changement de variable réécrit l’intégrale en fonction de la nouvelle variable, en transformant l’expression composée. La décomposition en produit relève d’une autre démarche, tandis que le simple renommage ou l’inversion des bornes ne réalise pas cette transformation.

Question 16

16. Pour calculer $\int u'(x)v(x)\,dx$ , une étudiante choisit comme facteur à dériver $v$ et comme facteur à intégrer $u'$ . Quelle expression obtient-elle par intégration par parties ?

-\int u(x)v'(x)\,dx

u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)\,dx

u'(x)v'(x)-\int u(x)v(x)\,dx

u(x)v(x)+\int u(x)v'(x)\,dx

Explication

L’intégration par parties donne le produit des deux fonctions moins l’intégrale du premier facteur multiplié par la dérivée du second. Le signe positif est erroné, le produit des dérivées n’est pas le terme de bord, et l’expression sans ce terme l’omet.

Question 17

17. On pose $x=\varphi(t)$ avec $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ ; les hypothèses de continuité et de dérivabilité sont satisfaites. Quelle égalité traduit le changement de variable pour intégrer $f$ entre $a$ et $b$ ?

\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(x)\,dx

\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_a^b f(x)\,dx

\int_\beta^\alpha f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_a^b f(x)\,dx

\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,dt=\int_a^b f(x)\,dx

Explication

Le changement de variable inclut le facteur $\varphi'(t)$ et transforme les bornes $\alpha,\beta$ en $a,b$ . L’intégrale sans ce facteur oublie la dérivée; les autres propositions conservent des bornes ou une orientation incohérentes.

Question 18

18. Sur un intervalle $[a,b]$ , on sait que $\int_a^b f(x)\,dx=3$ et $\int_a^b g(x)\,dx=2$ . Quelle est la valeur de $\int_a^b (2f-g)(x)\,dx$ ?

4

5

8

2

Explication

Par linéarité, l’intégrale vaut $2\times 3-2=4$ . La valeur 8 additionne les intégrales pondérées, 2 applique le signe négatif à la mauvaise intégrale, et 5 oublie le coefficient de $f$ .

Question 19

19. Deux fonctions continues $f$ et $g$ sont définies sur $[0,2]$ , et $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de cet intervalle. Quelle relation entre leurs intégrales est garantie ?

\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2 g(x)\,dx

\int_0^2 f(x)\,dx\leq\int_0^2 g(x)\,dx

\int_0^2 f(x)\,dx\geq\int_0^2 g(x)\,dx

\int_0^2 f(x)\,dx>\int_0^2 g(x)\,dx

Explication

L’intégration préserve l’ordre lorsque les fonctions continues vérifient $f\geq g$ sur tout l’intervalle, d’où une inégalité large entre leurs intégrales. L’égalité ou l’inégalité stricte ne sont pas garanties, et l’ordre inversé contredit l’hypothèse.

Question 20

20. Pour l’équation $y'+a(x)y=b(x)$ , que cherche-t-on dans un problème de Cauchy associé à la condition $y(x_0)=y_0$ ?

Toutes les solutions sans condition en

x_0

Les coefficients qui rendent l’équation vraie en

x_0

Les solutions qui prennent la valeur

y_0

en

x_0

Les solutions dont la dérivée vaut

y_0

en

x_0

Explication

Un problème de Cauchy consiste à déterminer les solutions de l’équation qui vérifient la condition initiale $y(x_0)=y_0$ . Remplacer cette condition par une valeur de dérivée ou l’omettre change le problème posé.

Question 21

21. Sur l’intervalle $I=[-2,3]$ , les fonctions $a$ et $b$ sont continues. Pour une donnée initiale située en $x_0=1$ avec $y_0=-4$ , quelle conclusion s’applique à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Une unique solution existe seulement au voisinage de

x_0

Une unique solution sur

I

vérifie cette donnée initiale

Au moins deux solutions sur

I

vérifient cette donnée initiale

Aucune conclusion n’est possible sans connaître les valeurs de

a

et

b

Explication

La continuité de $a$ et de $b$ sur l’intervalle garantit, pour tout $x_0\in I$ et tout $y_0\in\mathbb R$ , une unique solution sur $I$ satisfaisant la condition initiale. La conclusion ne se limite pas au voisinage de $x_0$ .

Question 22

22. Pour résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ avec $y(x_0)=y_0$ , on choisit une primitive $A$ de $a$ telle que $A(x_0)=0$ et une primitive $B$ de $b e^A$ telle que $B(x_0)=0$ . Quelle expression donne la solution ?

(B(x)e^{-A(x)}+y_0)e^{A(x)}

(B(x)+y_0)e^{-A(x)}

B(x)+y_0e^{-A(x)}

(B(x)+y_0)e^{A(x)}

Explication

Le facteur intégrant conduit à $y(x)=(B(x)+y_0)e^{-A(x)}$ , avec les primitives normalisées en $x_0$ . L’exponentielle multiplie donc toute la somme, et son exposant est $-A(x)$ .

Question 23

23. Une solution de $y'+xy=x^3$ est de la forme $y(x)=x^2-2+ke^{-x^2/2}$ . Quelle solution satisfait $y(0)=0$ ?

x^2+2e^{-x^2/2}

x^2-2+2e^{-x^2/2}

x^2-2-2e^{-x^2/2}

x^2-2+e^{-x^2/2}

Explication

À $x=0$ , la condition donne $-2+k=0$ , donc $k=2$ , et la solution est $x^2-2+2e^{-x^2/2}$ . Prendre $k=1$ correspond à une autre donnée initiale; supprimer $-2$ ou choisir $k=-2$ ne satisfait pas la condition.

Question 24

24. Sur $]-1,1[$ , quelle solution de $(1-x^2)y'-xy=1$ satisfait $y(0)=2$ ?

\frac{\arcsin x+2}{\sqrt{1-x^2}}

\frac{\arcsin x+1}{\sqrt{1-x^2}}

\arcsin x+2

\frac{\arcsin x-2}{\sqrt{1-x^2}}

Explication

La famille est $y(x)=\frac{\arcsin x+k}{\sqrt{1-x^2}}$ ; en $x=0$ , elle donne $y(0)=k$ , donc $k=2$ . Le dénominateur fait partie de la solution générale, et les autres constantes ne donnent pas la valeur initiale demandée.

Question 25

25. Pour résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation $x^2y'-y=0$ , quelle démarche permet de vérifier correctement qu’une solution raccordée en $0$ convient ?

Résoudre sur les deux demi-droites, imposer la continuité de la dérivée en

0

, puis vérifier celle de la fonction

Résoudre sur les deux demi-droites, vérifier la dérivabilité en

0

, puis omettre le contrôle de la dérivée

Résoudre sur les deux demi-droites, imposer la continuité en

0

, puis vérifier la dérivabilité et la continuité de la dérivée

Résoudre sur les deux demi-droites et raccorder les expressions sans vérifier leurs limites en

0

Explication

Le raccordement sur tout $\mathbb{R}$ exige d’abord la continuité en $0$ , puis le contrôle de la dérivabilité et de la continuité de la dérivée. Raccorder sans vérifier les limites néglige la continuité, tandis que contrôler la dérivée en premier ne remplace pas ces étapes.

Question 26

26. Quelle forme décrit toutes les solutions de $x^2y'-y=0$ définies sur $\mathbb{R}$ ?

y(x)=0

pour

x\leq 0

et

y(x)=ke^{-1/x}

pour

x>0

, avec

k\in\mathbb{R}

y(x)=k'e^{-1/x}

pour

x<0

et

y(x)=ke^{-1/x}

pour

x>0

, avec

k,k'\in\mathbb{R}

y(x)=0

pour

x\leq 0

et

y(x)=ke^{1/x}

pour

x>0

, avec

k\in\mathbb{R}

y(x)=ke^{-1/x}

pour

x<0

et pour

x>0

, avec

k\in\mathbb{R}

Explication

Les solutions globales sont nulles pour $x\leq 0$ et prennent la forme $ke^{-1/x}$ pour $x>0$ . Une constante non nulle à gauche contredit le raccordement, et remplacer $e^{-1/x}$ par $e^{1/x}$ modifie la solution sur la demi-droite positive.

Question 27

27. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a,b$ sont des réels constants. Quelle condition définit une solution de $y''+ay'+by=f(x)$ sur $I$ ?

Être deux fois dérivable sur

I

avec des coefficients dépendant de

x

Être une fois dérivable sur

I

et vérifier l’équation en chaque point de

I

Être deux fois dérivable sur

I

et vérifier l’équation en un seul point de

I

Être deux fois dérivable sur

I

et vérifier l’équation en chaque point de

I

Explication

Une solution d’une équation linéaire du second ordre doit être deux fois dérivable et satisfaire l’égalité en tout point de l’intervalle. Une seule dérivée ne suffit pas, et une vérification en un point ne garantit pas l’équation sur $I$ .

Question 28

28. Sur un intervalle $I$ , une équation $y''+ay'+by=f(x)$ a des coefficients constants, $f$ est continue, et l’on impose $y(x_0)=2$ et $y'(x_0)=-1$ . Combien de solutions le problème de Cauchy possède-t-il sur $I$ ?

Une famille de solutions dépendant d’un paramètre

Une unique solution

Aucune solution sans condition sur

y''(x_0)

Deux solutions indépendantes

Explication

Pour des coefficients constants, un second membre continu et les deux conditions initiales sur $y$ et $y'$ , le problème de Cauchy admet une unique solution sur $I$ . Une condition sur $y''(x_0)$ n’est pas requise, et les données ne produisent pas une famille de solutions.

Question 29

29. Pour une équation non homogène, on connaît une solution particulière $y_1$ et une solution $y_0$ de l’équation homogène associée. Quelle fonction obtient-on en les combinant pour former une solution de l’équation non homogène ?

y=y_1-y_0

y=y_0

y=y_1+y_0

y=y_1+2y_0

Explication

Toute solution de l’équation non homogène s’obtient en ajoutant à une solution particulière une solution de l’équation homogène associée. La soustraction n’est pas la règle générale, et la solution homogène seule ne rend pas compte du second membre non nul.

Question 30

30. L’équation caractéristique d’une équation homogène du second ordre a pour racines $2+3i$ et $2-3i$ . Quelle forme générale donne ses solutions réelles ?

\lambda e^{(2+3i)x}+\mu e^{(2-3i)x}

(\lambda x+\mu)e^{2x}

\lambda\cos(3x)+\mu\sin(3x)

(\lambda\cos(3x)+\mu\sin(3x))e^{2x}

Explication

Pour des racines conjuguées $\alpha\pm i\omega$ , les solutions réelles sont $(\lambda\cos(\omega x)+\mu\sin(\omega x))e^{\alpha x}$ ; ici $\alpha=2$ et $\omega=3$ . Les exponentielles complexes ne donnent pas directement cette forme réelle, et le facteur exponentiel dépend de la partie réelle.

Question 31

31. Pour résoudre $y''+3y'+2y=e^x$ , un étudiant a trouvé une solution générale de l’équation homogène associée et une solution particulière. Comment doit-il former la solution générale de l’équation complète ?

Additionner la solution homogène et la solution particulière

Conserver uniquement la solution homogène

Multiplier la solution homogène par la solution particulière

Conserver uniquement la solution particulière

Explication

La solution générale de l’équation complète est la somme d’une solution générale de l’équation homogène associée et d’une solution particulière. Le produit des solutions confond la règle de superposition avec une multiplication, tandis que les deux dernières réponses omettent l’une des composantes nécessaires.

Question 32

32. Pour l’équation $y''-3y'+2y=5e^x$ , l’équation caractéristique a pour racines $1$ et $2$ . Quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière ?

Cx^2e^x

Ce^x

Cxe^x

Cxe^{2x}

Explication

Comme l’exposant $1$ est une racine simple de l’équation caractéristique, la forme à essayer est $Cxe^x$ . La forme avec $x^2$ correspond à une racine double, la forme sans facteur $x$ convient lorsque l’exposant n’est pas racine, et $Cxe^{2x}$ emploie l’autre racine au lieu de l’exposant du second membre.

QCM : Compléments d’analyse (32 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer la valeur absolue de −7-7−7 à partir de sa définition, quelle valeur obtient-on ?

2. Pour x=3x=3x=3 et y=−5y=-5y=−5, quelles valeurs encadrent ∣x+y∣|x+y|∣x+y∣ selon l’inégalité triangulaire donnée ?

3. Quelle caractérisation définit le logarithme népérien sur les réels strictement positifs ?

4. Pour simplifier ln⁡(a3bc2)\ln\left(\frac{a^3b}{c^2}\right)ln(c2a3b​) avec a,b,c>0a,b,c>0a,b,c>0, quelle expression résulte des propriétés du logarithme ?

5. Pour calculer une puissance réelle de base 555 et d’exposant 23\frac{2}{3}32​ à partir de l’exponentielle et du logarithme, quelle expression faut-il utiliser ?

6. En simplifiant 73/27−1/2\frac{7^{3/2}}{7^{-1/2}}7−1/273/2​, quelle puissance de base 777 obtient-on ?

7. Une fonction fff est définie par f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx. Quelles propriétés possède-t-elle sur R\mathbb{R}R ?

8. Un angle aaa vérifie cos⁡a≠0\cos a\ne 0cosa=0 et tan⁡a=2\tan a=2tana=2. Quelle valeur obtient-on pour cos⁡2a\cos^2 acos2a ?

9. Pour a=π3a=\frac{\pi}{3}a=3π​ et b=π6b=\frac{\pi}{6}b=6π​, quelle expression donne correctement sin⁡(a+b)\sin(a+b)sin(a+b) avant son éventuelle simplification ?

10. Pour retrouver un angle principal associé à une valeur de sinus, dans quel intervalle doit-on chercher la valeur de arcsin⁡(x)\arcsin(x)arcsin(x) lorsque x∈[−1,1]x\in[-1,1]x∈[−1,1] ?

11. Pour x=0x=0x=0, quelles valeurs obtient-on avec les définitions des fonctions hyperboliques usuelles ?

12. Pour une fonction continue sur [a,b][a,b][a,b], que représente géométriquement ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫ab​f(x)dx ?

13. Une fonction continue est intégrée de 222 à 777, et l’on sait que ∫25f(x) dx=4\int_2^5 f(x)\,dx=4∫25​f(x)dx=4 et ∫57f(x) dx=−1\int_5^7 f(x)\,dx=-1∫57​f(x)dx=−1. Quelle est la valeur de ∫27f(x) dx\int_2^7 f(x)\,dx∫27​f(x)dx ?

14. Une primitive de fff est F(x)=x2+1F(x)=x^2+1F(x)=x2+1. Quelle valeur obtient-on pour ∫13f(x) dx\int_1^3 f(x)\,dx∫13​f(x)dx ?

15. Pour calculer une intégrale dont l’intégrande contient une expression composée, on pose cette expression égale à une nouvelle variable. Quel effet cette substitution doit-elle produire ?

16. Pour calculer ∫u′(x)v(x) dx\int u'(x)v(x)\,dx∫u′(x)v(x)dx, une étudiante choisit comme facteur à dériver vvv et comme facteur à intégrer u′u'u′. Quelle expression obtient-elle par intégration par parties ?

17. On pose x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) avec φ(α)=a\varphi(\alpha)=aφ(α)=a et φ(β)=b\varphi(\beta)=bφ(β)=b; les hypothèses de continuité et de dérivabilité sont satisfaites. Quelle égalité traduit le changement de variable pour intégrer fff entre aaa et bbb ?

18. Sur un intervalle [a,b][a,b][a,b], on sait que ∫abf(x) dx=3\int_a^b f(x)\,dx=3∫ab​f(x)dx=3 et ∫abg(x) dx=2\int_a^b g(x)\,dx=2∫ab​g(x)dx=2. Quelle est la valeur de ∫ab(2f−g)(x) dx\int_a^b (2f-g)(x)\,dx∫ab​(2f−g)(x)dx ?

19. Deux fonctions continues fff et ggg sont définies sur [0,2][0,2][0,2], et f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x)f(x)≥g(x) pour tout xxx de cet intervalle. Quelle relation entre leurs intégrales est garantie ?

20. Pour l’équation y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x)y′+a(x)y=b(x), que cherche-t-on dans un problème de Cauchy associé à la condition y(x0)=y0y(x_0)=y_0y(x0​)=y0​ ?

21. Sur l’intervalle I=[−2,3]I=[-2,3]I=[−2,3], les fonctions aaa et bbb sont continues. Pour une donnée initiale située en x0=1x_0=1x0​=1 avec y0=−4y_0=-4y0​=−4, quelle conclusion s’applique à y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x)y′+a(x)y=b(x) ?

22. Pour résoudre y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x)y′+a(x)y=b(x) avec y(x0)=y0y(x_0)=y_0y(x0​)=y0​, on choisit une primitive AAA de aaa telle que A(x0)=0A(x_0)=0A(x0​)=0 et une primitive BBB de beAb e^AbeA telle que B(x0)=0B(x_0)=0B(x0​)=0. Quelle expression donne la solution ?

23. Une solution de y′+xy=x3y'+xy=x^3y′+xy=x3 est de la forme y(x)=x2−2+ke−x2/2y(x)=x^2-2+ke^{-x^2/2}y(x)=x2−2+ke−x2/2. Quelle solution satisfait y(0)=0y(0)=0y(0)=0 ?

24. Sur ]−1,1[]-1,1[]−1,1[, quelle solution de (1−x2)y′−xy=1(1-x^2)y'-xy=1(1−x2)y′−xy=1 satisfait y(0)=2y(0)=2y(0)=2 ?

25. Pour résoudre sur R\mathbb{R}R l’équation x2y′−y=0x^2y'-y=0x2y′−y=0, quelle démarche permet de vérifier correctement qu’une solution raccordée en 000 convient ?

26. Quelle forme décrit toutes les solutions de x2y′−y=0x^2y'-y=0x2y′−y=0 définies sur R\mathbb{R}R ?

27. Une fonction fff est continue sur un intervalle III et a,ba,ba,b sont des réels constants. Quelle condition définit une solution de y′′+ay′+by=f(x)y''+ay'+by=f(x)y′′+ay′+by=f(x) sur III ?

29. Pour une équation non homogène, on connaît une solution particulière y1y_1y1​ et une solution y0y_0y0​ de l’équation homogène associée. Quelle fonction obtient-on en les combinant pour former une solution de l’équation non homogène ?

30. L’équation caractéristique d’une équation homogène du second ordre a pour racines 2+3i2+3i2+3i et 2−3i2-3i2−3i. Quelle forme générale donne ses solutions réelles ?

31. Pour résoudre y′′+3y′+2y=exy''+3y'+2y=e^xy′′+3y′+2y=ex, un étudiant a trouvé une solution générale de l’équation homogène associée et une solution particulière. Comment doit-il former la solution générale de l’équation complète ?

32. Pour l’équation y′′−3y′+2y=5exy''-3y'+2y=5e^xy′′−3y′+2y=5ex, l’équation caractéristique a pour racines 111 et 222. Quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière ?

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1. Pour calculer la valeur absolue de $-7$ à partir de sa définition, quelle valeur obtient-on ?

2. Pour $x=3$ et $y=-5$ , quelles valeurs encadrent $|x+y|$ selon l’inégalité triangulaire donnée ?

4. Pour simplifier $\ln\left(\frac{a^3b}{c^2}\right)$ avec $a,b,c>0$ , quelle expression résulte des propriétés du logarithme ?

5. Pour calculer une puissance réelle de base $5$ et d’exposant $\frac{2}{3}$ à partir de l’exponentielle et du logarithme, quelle expression faut-il utiliser ?

6. En simplifiant $\frac{7^{3/2}}{7^{-1/2}}$ , quelle puissance de base $7$ obtient-on ?

7. Une fonction $f$ est définie par $f(x)=\cos x$ . Quelles propriétés possède-t-elle sur $\mathbb{R}$ ?

8. Un angle $a$ vérifie $\cos a\ne 0$ et $\tan a=2$ . Quelle valeur obtient-on pour $\cos^2 a$ ?

9. Pour $a=\frac{\pi}{3}$ et $b=\frac{\pi}{6}$ , quelle expression donne correctement $\sin(a+b)$ avant son éventuelle simplification ?

10. Pour retrouver un angle principal associé à une valeur de sinus, dans quel intervalle doit-on chercher la valeur de $\arcsin(x)$ lorsque $x\in[-1,1]$ ?

11. Pour $x=0$ , quelles valeurs obtient-on avec les définitions des fonctions hyperboliques usuelles ?

12. Pour une fonction continue sur $[a,b]$ , que représente géométriquement $\int_a^b f(x)\,dx$ ?

13. Une fonction continue est intégrée de $2$ à $7$ , et l’on sait que $\int_2^5 f(x)\,dx=4$ et $\int_5^7 f(x)\,dx=-1$ . Quelle est la valeur de $\int_2^7 f(x)\,dx$ ?

14. Une primitive de $f$ est $F(x)=x^2+1$ . Quelle valeur obtient-on pour $\int_1^3 f(x)\,dx$ ?

16. Pour calculer $\int u'(x)v(x)\,dx$ , une étudiante choisit comme facteur à dériver $v$ et comme facteur à intégrer $u'$ . Quelle expression obtient-elle par intégration par parties ?

17. On pose $x=\varphi(t)$ avec $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ ; les hypothèses de continuité et de dérivabilité sont satisfaites. Quelle égalité traduit le changement de variable pour intégrer $f$ entre $a$ et $b$ ?

18. Sur un intervalle $[a,b]$ , on sait que $\int_a^b f(x)\,dx=3$ et $\int_a^b g(x)\,dx=2$ . Quelle est la valeur de $\int_a^b (2f-g)(x)\,dx$ ?

19. Deux fonctions continues $f$ et $g$ sont définies sur $[0,2]$ , et $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de cet intervalle. Quelle relation entre leurs intégrales est garantie ?

20. Pour l’équation $y'+a(x)y=b(x)$ , que cherche-t-on dans un problème de Cauchy associé à la condition $y(x_0)=y_0$ ?

21. Sur l’intervalle $I=[-2,3]$ , les fonctions $a$ et $b$ sont continues. Pour une donnée initiale située en $x_0=1$ avec $y_0=-4$ , quelle conclusion s’applique à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

22. Pour résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ avec $y(x_0)=y_0$ , on choisit une primitive $A$ de $a$ telle que $A(x_0)=0$ et une primitive $B$ de $b e^A$ telle que $B(x_0)=0$ . Quelle expression donne la solution ?

23. Une solution de $y'+xy=x^3$ est de la forme $y(x)=x^2-2+ke^{-x^2/2}$ . Quelle solution satisfait $y(0)=0$ ?

24. Sur $]-1,1[$ , quelle solution de $(1-x^2)y'-xy=1$ satisfait $y(0)=2$ ?

25. Pour résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation $x^2y'-y=0$ , quelle démarche permet de vérifier correctement qu’une solution raccordée en $0$ convient ?

26. Quelle forme décrit toutes les solutions de $x^2y'-y=0$ définies sur $\mathbb{R}$ ?

27. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a,b$ sont des réels constants. Quelle condition définit une solution de $y''+ay'+by=f(x)$ sur $I$ ?

29. Pour une équation non homogène, on connaît une solution particulière $y_1$ et une solution $y_0$ de l’équation homogène associée. Quelle fonction obtient-on en les combinant pour former une solution de l’équation non homogène ?

30. L’équation caractéristique d’une équation homogène du second ordre a pour racines $2+3i$ et $2-3i$ . Quelle forme générale donne ses solutions réelles ?

31. Pour résoudre $y''+3y'+2y=e^x$ , un étudiant a trouvé une solution générale de l’équation homogène associée et une solution particulière. Comment doit-il former la solution générale de l’équation complète ?

32. Pour l’équation $y''-3y'+2y=5e^x$ , l’équation caractéristique a pour racines $1$ et $2$ . Quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière ?