Fiche de révision : Cours Fondamental de Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Dérivation et tangente
3. Fonction exponentielle
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Trigonométrie
6. Produit scalaire et géométrie analytique
7. Probabilités et variables aléatoires
8. Algorithmique Python

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction quadratique : Fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ dont les propriétés dépendent du discriminant $\Delta$.
• Forme canonique : Écriture centrée au sommet : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Nombre $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre de racines réelles du polynôme du second degré.
• Racines réelles : Valeurs $x$ telles que $f(x)=0$, obtenues à partir de $\Delta$ quand il est non négatif.
• Factorisation : Décomposition de $f(x)$ à l’aide de ses racines, quand elles existent et sont réelles, en conservant le coefficient $a$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, il n’y a aucune racine réelle et on ne factorise pas sur $\mathbb{R}$.
• Si $\Delta=0$, la racine double vaut $x_0=-\frac{b}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ avec $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• La somme des racines vaut $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Le signe suit $a$ : même signe que $a$ à l’extérieur des racines et signe opposé à $a$ entre elles.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ décide : négatif=0 racine, nul=1 racine double, positif=2 racines (avec $\sqrt{\Delta}$).

📖 2. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Expression $\tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ qui mesure l’évolution de $f$ entre $a$ et $a+h$.
• Nombre dérivé : Valeur $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, obtenue comme limite du taux de variation quand $h$ tend vers 0.
• Équation de la tangente : Droite au point d’abscisse $a$ donnée par $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Dérivation par opérations : Règles qui donnent la dérivée de $u+v$, $u\cdot v$, $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ à partir des dérivées de $u$ et $v$.
• Dérivées usuelles : Formules directes de dérivation pour $k$, $x$, $x^n$, $\frac1x$, $\sqrt{x}$ et $e^x$, avec domaines précisés.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation et le nombre dérivé s’obtiennent via le même quotient \frac{f(a+h)-f(a)}{h avant de passer à la limite en $h\to 0$.
• La tangente s’écrit toujours avec le point de contact : on remplace $y$ par $f'(a)(x-a)+f(a)$.
• La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : $(u+v)'=u'+v'$.
• La dérivée d’un quotient est $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Si $g(x)=f(ax+b)$ alors $g'(x)=a\,f'(ax+b)$.

💡 Astuce mémo

Tangente = pente fois déplacement plus ordonnée : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 3. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de l’exponentielle : Propriété caractéristique : la dérivée de $\exp(x)$ vaut $\exp(x)$, et $\exp(0)=1$.
• Signe de $e^x$ : Pour tout réel $x$, la valeur $e^x$ est strictement positive.
• Règle produit des exponentielles : Identité $e^{a+b}=e^a\times e^b$ qui permet de regrouper les exposants.
• Égalité des exponentielles : Règle de résolution : $e^a=e^b$ équivaut à $a=b$.
• Ordre des exponentielles : Règle de comparaison : $e^a<e^b$ équivaut à $a<b$.

📝 Points essentiels

• On a $e^{a+b}=e^a e^b$, $e^{-a}=\frac1{e^a}$ et $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$.
• Pour un entier $n$, on a $(e^a)^n=e^{na}$.
• L’unicité exponentielle : $e^a=e^b\iff a=b$.
• La comparaison exponentielle : $e^a<e^b\iff a<b$.
• Comme $e^x>0$, l’exponentielle ne s’annule jamais pour $x\in\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : même base, même valeur d’exposants, donc $e^a=e^b$ force $a=b$.

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite pour laquelle tout pas vérifie $u_{n+1}-u_n\ge 0$.
• Suite arithmétique : Suite définie par $u_{n+1}=u_n+r$ où $r$ est la raison.
• Somme arithmétique : Somme d’une liste de termes consécutifs d’une suite arithmétique, calculée via le nombre de termes et les extrêmes.
• Suite géométrique : Suite définie par $u_{n+1}=q\,u_n$ où $q$ est la raison.
• Somme géométrique : Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique quand $q\neq 1$, via la raison et le nombre de termes.

📝 Points essentiels

• Une suite est décroissante quand $u_{n+1}-u_n\le 0$ pour tout $n$.
• Depuis $u_0$ : une suite arithmétique vérifie $u_n=u_0+nr$.
• Depuis $u_p$ : on a $u_n=u_p+(n-p)r$ pour une suite arithmétique.
• Pour une suite géométrique depuis $u_0$ : $u_n=u_0\,q^n$.
• Pour une suite géométrique de $q\neq 1$ : $S=\text{Premier terme}\times \frac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute ($+r$) ; géométrique : on multiplie ($\times q$).

📖 5. Trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité fondamentale : Relation centrale $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ reliant cosinus et sinus.
• Symétrie paire/impaires : Règles de signe : $\cos(-x)=\cos(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.
• Symétrie avec $\pi-x$ : Transformations : $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi-x)=\sin(x)$.
• Équation de cosinus : Résolution de $\cos(x)=\cos(\alpha)$ donnant deux familles de solutions modulo $2k\pi$.
• Équation de sinus : Résolution de $\sin(x)=\sin(\alpha)$ donnant deux familles de solutions modulo $2k\pi$.

📝 Points essentiels

• L’identité fondamentale permet de remplacer un carré de sinus ou cosinus par l’autre : $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.
• Les symétries principales incluent $\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)$.
• Si $\cos(x)=\cos(\alpha)$ alors $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
• Si $\sin(x)=\sin(\alpha)$ alors $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
• Les formules de symétrie listent aussi $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$.

💡 Astuce mémo

Sin/cos : $\cos$ a $\pm\alpha$, tandis que $\sin$ a $\alpha$ et $\pi-\alpha$.

📖 6. Produit scalaire et géométrie analytique

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Quantité géométrique reliant deux vecteurs : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v})$.
• Formule analytique : Expression du produit scalaire en repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.
• Orthogonalité : Condition $\vec{u}\perp\vec{v}$ équivalente à l’annulation du produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
• Distance euclidienne : Distance entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnée par une racine de somme de carrés.
• Équation cartésienne de droite : Forme $ax+by+c=0$ décrivant une droite, avec vecteur directeur $(-b;a)$ et normal $(a;b)$.

📝 Points essentiels

• En repère orthonormé, si $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$ alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.
• Le critère d’orthogonalité est direct : $\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
• On peut calculer via les normes : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac12(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2)$.
• La distance s’écrit $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
• Un cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $R$ vérifie $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité = zéro : $\vec{u}\perp\vec{v}$ exactement quand le produit scalaire vaut $0$.

📖 7. Probabilités et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité de $B$ sachant $A$, donnée par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• Partition de l’univers : Situation où $A$ et $\bar{A}$ couvrent l’univers et permettent d’écrire une loi de probabilité totale.
• Indépendance : Propriété où $A$ et $B$ ne s’influencent pas : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Espérance : Moyenne pondérée d’une variable aléatoire : $E(X)=\sum_{i=1}^k p_i x_i$.
• Variance : Mesure de dispersion : $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$.

📝 Points essentiels

• La loi des probabilités totales s’écrit $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$ quand $A$ et $\bar{A}$ forment une partition.
• L’indépendance est équivalente à $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• La variance se calcule aussi par $V(X)=\left(\sum_{i=1}^k p_i x_i^2\right)-(E(X))^2$.
• L’écart-type est la racine de la variance : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Pour une transformation linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$.

💡 Astuce mémo

Transformation linéaire : l’espérance suit $a$ (plus $b$) et la variance suit $a^2$.

📖 8. Algorithmique Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Boucle for : Structure qui répète un bloc un nombre de fois déterminé, ici avec $range(1,n+1)$.
• Fonction somme_suite : Fonction Python qui met à jour une valeur $u$ puis additionne ses valeurs dans une somme $S$.
• Boucle while : Structure répétitive qui continue tant que la condition reste vraie, ici $u<limite$.
• Fonction seuil : Fonction Python qui compte le nombre d’itérations nécessaires pour que $u$ atteigne ou dépasse $limite$.
• Mise à jour itérative : Principe de calcul où $u$ est modifié à chaque tour selon une règle de type $u=2u+3$ ou $u=1{.}5u-2$.

📝 Points essentiels

• Dans somme_suite, $u$ commence à 5, puis à chaque itération on calcule $u=2u+3$ avant d’ajouter $u$ à $S$.
• Dans somme_suite, la boucle parcourt $i$ de 1 à $n$ inclus grâce à $range(1,n+1)$.
• Dans seuil, $u$ commence à 10 et $n$ démarre à 0 avant la boucle while.
• Dans seuil, à chaque tour on met à jour $u=1.5*u-2$ et on incrémente $n$ de 1.
• seuil retourne $n$, c’est-à-dire le nombre d’itérations effectuées tant que $u<limite$.

💡 Astuce mémo

for = nombre fixé ; while = condition : on s’arrête quand $u\ge limite$.

📊 Tableaux de synthèse

Racines d’une fonction du second degré

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En factorisant un trinôme, oublier le coefficient $a$ devant les parenthèses change complètement la fonction.
2. Confondre la formule de la tangente : la droite doit utiliser $f'(a)(x-a)+f(a)$ et pas une autre combinaison.
3. Prendre une dérivée de $e^x$ comme $e^{x}$ fois une constante en croyant qu’il faut multiplier par $u'$ alors que $u=x$.
4. Pour les suites géométriques, confondre $u_{n+1}=u_n+r$ et $u_{n+1}=q\,u_n$ conduit à des formules $q^n$ impossibles.
5. Mélanger les formules d’indépendance et de condition : l’indépendance utilise $P(A\cap B)$, alors que la conditionnelles divise par $P(A)$.
6. Oublier les conditions de domaine de $\sqrt{x}$ (il faut $x>0$) peut faire appliquer une dérivée à un ensemble non autorisé.
7. Dans le code, mettre à jour $S$ avant $u$ (ordre des lignes) change le résultat retourné.

✅ Checklist Examen

1. Identifier une fonction quadratique et calculer $\Delta=b^2-4ac$ pour décider le nombre de racines réelles.
2. Calculer $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ pour écrire la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$.
3. Factoriser $f(x)$ correctement en distinguant $\Delta<0$, $\Delta=0$ et $\Delta>0$, avec le bon coefficient $a$.
4. Savoir écrire les racines $x_0$, $x_1$ et $x_2$ avec les bons signes et le bon dénominateur $2a$.
5. Utiliser la relation $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$ sans dériver à nouveau.
6. Calculer $f'(a)$ via la définition de nombre dérivé ou appliquer les formules usuelles au bon domaine.
7. Écrire l’équation de la tangente en $x=a$ sous la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
8. Appliquer les règles de dérivation : somme, produit, inverse, quotient et compositions affines/racines/puissances/exponentielle.
9. Manipuler les identités exponentielles $e^{a+b}$, $e^{-a}$ et $e^{a-b}$ puis résoudre avec $e^a=e^b\iff a=b$.
10. Comparer des exponentielles grâce à $e^a<e^b\iff a<b$ et rappeler que $e^x>0$ pour tout $x$.
11. Déterminer le sens d’une suite avec les inégalités sur $u_{n+1}-u_n$.
12. Utiliser les formules explicites des suites arithmétiques depuis $u_0$ ou depuis $u_p$.
13. Calculer une somme arithmétique en utilisant le nombre de termes et la moyenne des extrêmes.
14. Utiliser les formules explicites des suites géométriques depuis $u_0$ ou depuis $u_p$.