Fiche de révision : Cours fondamentaux en mathématiques et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle
2. Produit scalaire et orthogonalité
3. Fonctions et lecture graphique
4. Fonctions du second degré
5. Probabilités et événements
6. Variables aléatoires et loi binomiale
7. Dérivation et variations
8. Suites numériques et trigonométrie
9. Fonction exponentielle
10. Vecteurs, distances et Al-Kashi
11. Tangente et règles de dérivation

📖 1. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la probabilité d’un événement B une fois qu’on sait que l’événement A est réalisé.
• Notation P_A(B) : P_A(B) désigne la probabilité de B sachant que A est réalisé, c’est-à-dire une probabilité calculée dans le cadre restreint à A.
• Événements contraires : Deux événements contraires, notés A et Ā, vérifient qu’ils couvrent tout l’univers Ω sans se recouper.

📝 Points essentiels

• Pour P(A)>0, on calcule P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) pour la probabilité de B sachant A réalisé.
• On ne confond pas P_A(B) et P_B(A) : elles correspondent à deux conditions différentes.
• Dans le cas de l’événement contraire, P_A(B̅) est la probabilité de ne pas réaliser B sachant A.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = “A filtre l’univers” : on divise par P(A).

📖 2. Produit scalaire et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire u·v associe à deux vecteurs u et v un réel dépendant des normes et de l’angle entre eux.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut 0, ce qui traduit un angle droit.
• Bilinéarité : La bilinéarité exprime que le produit scalaire se distribue sur une somme et qu’une constante se factorise.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : L’inégalité de Cauchy-Schwarz borne le produit scalaire par le produit des normes.

📝 Points essentiels

• Dans un plan euclidien, u·v = ||u|| ||v|| cos(u,v) avec un angle entre 0 et π.
• La condition d’orthogonalité est u·v = 0 si et seulement si l’angle vaut π/2.
• En coordonnées dans un repère orthonormé, si u=(x1,y1) et v=(x2,y2) alors u·v = x1x2 + y1y2.
• On a |u·v| ≤ ||u|| ||v||, avec égalité si u et v sont colinéaires.
• Le produit scalaire permet aussi de déterminer le signe : positif si angle aigu, négatif si angle obtus.

💡 Astuce mémo

u·v = 0 ↔ angle droit, donc “zéro sonne orthogonal”.

📖 3. Fonctions et lecture graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble de définition D_f regroupe toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) a un sens réel.
• Image et antécédent : L’image de a est f(a), tandis que les antécédents de b sont les valeurs de x qui vérifient f(x)=b.
• Parité : Une fonction est paire si f(-x)=f(x) et impaire si f(-x)=-f(x) quand le domaine est symétrique.
• Composition de fonctions : La composée f∘g est la fonction qui à x associe f(g(x)), tandis que g∘f correspond à l’ordre inverse.
• Fonctions usuelles : Les fonctions usuelles regroupent des expressions classiques comme constante, identité, carré, racine, valeur absolue et inverse.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer D_f, on exclut les divisions par 0, les racines carrées d’un nombre négatif et les logarithmes de valeurs ≤ 0.
• Lire sur une courbe : l’image de a est l’ordonnée du point de C_f d’abscisse a.
• Résoudre graphiquement f(x)=b revient à trouver les intersections de C_f avec la droite y=b.
• Parité : C_f d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et impaire par rapport à l’origine.
• Attention : en général f∘g ≠ g∘f, car l’ordre des transformations change le résultat.

💡 Astuce mémo

Graphique : ordonnée = image, intersections avec y=b = antécédents.

📖 4. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction du second degré a la forme f(x)=ax²+bx+c avec a≠0 et sa courbe est une parabole.
• Discriminant Δ : Le discriminant Δ, calculé par Δ=b²-4ac, permet de déterminer le nombre de racines réelles.
• Forme canonique : La forme canonique d’une telle fonction est f(x)=a(x-α)²+β où α est l’abscisse du sommet et β son ordonnée.
• Sommet et axe de symétrie : Le sommet S(α;β) est le point d’extrémum de la parabole et l’axe de symétrie est la droite x=α.

📝 Points essentiels

• Le discriminant est Δ=b²-4ac : si Δ>0 il y a 2 racines réelles distinctes, si Δ=0 une racine double, si Δ<0 aucune racine réelle.
• Les racines pour Δ>0 sont x1=(-b-√Δ)/(2a) et x2=(-b+√Δ)/(2a), et pour Δ=0 on a x0=-b/(2a).
• La forme canonique utilise α=-b/(2a) et β=f(α) avec β=-Δ/(4a).
• Si a>0 la fonction admet un minimum en x=α avec valeur β, et si a<0 elle admet un maximum en x=α avec valeur β.
• Le signe de f(x) dépend de Δ et du signe de a : notamment si Δ<0 alors f garde le signe de a sur tout R.

💡 Astuce mémo

Δ raconte le nombre de racines, a raconte le sens (minimum si a>0, maximum si a<0).

📖 5. Probabilités et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Un événement est un sous-ensemble de l’univers Ω sur lequel on peut définir une probabilité.
• Réunion et intersection : La réunion A∪B correspond au fait que A ou B se produit, et l’intersection A∩B au fait que A et B se produisent ensemble.
• Événements incompatibles : Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps, ce qui implique A∩B=∅.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la probabilité de leur intersection vaut le produit de leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• Les probabilités vérifient 0≤P(A)≤1, P(Ω)=1 et P(∅)=0.
• Pour les contraires, on a P(Ā)=1-P(A) et P(A∪Ā)=Ω avec P(A∩Ā)=0.
• Formule inclusion-exclusion : P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
• Événements incompatibles : si A∩B=∅ alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
• Indépendance : A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B), équivalent à P_B(A)=P(A).

💡 Astuce mémo

Incompatible = intersection vide = on additionne direct.

📖 6. Variables aléatoires et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire associe un réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité décrit les valeurs prises par X et la probabilité associée à chacune.
• Espérance : L’espérance E(X) mesure une moyenne probabiliste pondérée par les probabilités.
• Variance et écart-type : La variance V(X) mesure la dispersion autour de l’espérance, et l’écart-type σ(X) vaut √V(X).
• Loi binomiale : La loi binomiale B(n;p) donne la probabilité d’obtenir un nombre de succès sur n épreuves indépendantes de probabilité p.

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire X a une loi donnée par les valeurs x_i et les probabilités p_i telles que p_i≥0 et Σ p_i=1.
• Pour une loi binomiale X~B(n;p), on a P(X=k) = (n choose k) p^k (1-p)^(n-k) pour k entier.
• Pour X~B(n;p), l’espérance vaut E(X)=np et la variance vaut V(X)=np(1-p).
• Indépendance utile : si X et Y sont indépendantes alors E(X+Y)=E(X)+E(Y).
• Approximation normale : si n≥30 et np≥5 et n(1-p)≥5, alors B(n;p) est approchée par une loi normale de paramètres μ=np et σ=√(np(1-p)).

💡 Astuce mémo

Binomiale : succès répétés → moyenne np, dispersion √(np(1-p)).

📖 7. Dérivation et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée f'(a) est la limite du taux d’accroissement de f lorsque l’on approche a par h tendant vers 0.
• Tableau de variation : Le tableau de variation organise les signes de f'(x) et en déduit la croissance ou la décroissance de f.
• Point critique : Un point critique est une valeur a telle que f'(a)=0, correspondant à un extremum possible.

📝 Points essentiels

• Interprétation : si f'(x)>0 sur un intervalle alors f est croissante, et si f'(x)<0 alors f est décroissante.
• Si f'(a)=0, alors a est un point critique et peut correspondre à un maximum ou à un minimum.
• Méthode de tableau : calculer f'(x), résoudre f'(x)=0, étudier le signe de f'(x), puis construire le tableau de variation.
• Chaîne standard d’un exercice : dériver, résoudre f'(x)=0, étudier le signe, faire le tableau, conclure sur variations et extrema.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → flèches du tableau : + monte, - descend, 0 arrête.

📖 8. Suites numériques et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie u_(n+1)=u_n+r, donc le terme suivant s’obtient par addition d’une constante r.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie u_(m+1)=q u_m, donc le terme suivant s’obtient par multiplication par une constante q.
• Nuage de points : La représentation d’une suite se fait en nuage de points sans relier les termes, car n est entier.
• Fonctions sinus et cosinus : Sur le cercle trigonométrique, sin et cos relient un angle à des coordonnées, avec période 2π.
• Parité sinus et cosinus : Le cosinus est une fonction paire et le sinus est une fonction impaire.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r : u_n=u_0+nr et u_n=u_p+r(n-p).
• Pour une suite géométrique de raison q : u_m=u_0 q^m et u_m=u_p q^(m-p).
• Somme arithmétique : 1+2+…+n = n(n+1)/2.
• Somme géométrique : 1+q+q^2+…+q^n = (1-q^(n+1))/(1-q) (pour q≠1).
• Trigo : cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x), et cos et sin sont de période 2π.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r, Géométrique : ×q, donc “r” sonne “addition” et “q” sonne “quotient/multiplication”.

📖 9. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle exp(x)=e^x est définie sur R et vérifie exp(0)=1 et exp'(x)=exp(x).
• Propriétés des puissances : Les règles e^(x+y)=e^x e^y et e^(-x)=1/e^x permettent de transformer des expressions exponentielles.
• Équivalences exponentielles : Les comparaisons et égalités d’exponentielles se traduisent par des comparaisons simples sur les exposants.

📝 Points essentiels

• exp'(x)=exp(x) et donc la dérivée de e^x vaut e^x.
• e^(-x)=1/e^x, e^(x+y)=e^x e^y et e^(x-y)=e^x/e^y.
• Pour résoudre des égalités : e^a=e^b ⇔ a=b et pour comparer : e^a<e^b ⇔ a<b.
• e^a=1 ⇔ a=0 et e^a<1 ⇔ a<0.
• Si f(x)=e^(ax+b), alors f'(x)=a e^(ax+b).

💡 Astuce mémo

Exponentielle : égalité → mêmes exposants, et sens de variation identique à celui de l’exposant.

📖 10. Vecteurs, distances et Al-Kashi

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : La relation de Chasles relie les vecteurs issus de points successifs en AB+BC=AC.
• Distance dans un repère orthonormé : La distance entre deux points A et B s’obtient par la norme du vecteur AB.
• Théorème d’Al-Kashi : Le théorème d’Al-Kashi relie les côtés d’un triangle à l’angle et au cosinus de cet angle.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si le déterminant (coordonnées) s’annule : xy'−yx'=0.
• Projection orthogonale : Le produit scalaire peut s’exprimer via le produit de la base et de la projection signée pour l’angle considéré.

📝 Points essentiels

• Relation de Chasles :
  9AB+
  9BC=
  9AC pour trois points A,B,C.
• Distance : AB=
  9AB=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 sous racine, soit $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
• Coordonnées : si A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B), alors
  9AB=(x_B-x_A,\,y_B-y_A) et le milieu vérifie
  9AI\cdot
  9AB=0 pour la perpendiculaire au milieu.
• Colinéarité : u(x,y) et v(x',y') sont colinéaires si $xy'-yx'=0$.
• Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat A)$ relie le côté a à b,c et l’angle A.

💡 Astuce mémo

Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat A)$, donc “a = $\text{b carré} + \text{c carré} - 2bc\cos$”.

📖 11. Tangente et règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à la courbe : La tangente en x=a est une droite dont l’équation s’obtient grâce à f(a) et f'(a).
• Règle de dérivation de la somme : La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.
• Règle de dérivation du produit : La dérivée d’un produit fait intervenir les dérivées de chaque facteur.
• Règle de dérivation du quotient : La dérivée d’un quotient s’exprime avec une différence au numérateur et v^2 au dénominateur.

📝 Points essentiels

• Équation de la tangente en x=a : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Règle somme : $(u+v)'=u'+v'$, et constante : $(ku)'=k u'$.
• Règle produit : $(uv)'=u'v+uv'$.
• Règle quotient : $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ avec $v\ne0$.
• Règles d’exemples usuelles : $(1/x)'=-1/x^2$ et $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ (sur le domaine de dérivabilité).

💡 Astuce mémo

Tangente = “pente f'(a)” puis passage par “point f(a)” : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre P_A(B) et P_B(A) : l’événement conditionnant change le calcul.
2. Oublier la condition P(A)>0 dans la formule de probabilité conditionnelle.
3. Confondre image et antécédent sur une courbe : f(a) est une ordonnée alors qu’un antécédent résout f(x)=b.
4. Pour le second degré, confondre α (abscisse du sommet) et β (ordonnée du sommet).
5. Mélanger les variations avec le signe de f' : f'(x)>0 correspond à une croissance, pas à une décroissance.
6. Pour les suites, relier les points sur un nuage : une suite est définie par des valeurs entières de n.
7. Confondre f∘g et g∘f : en général l’ordre change complètement la fonction obtenue.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer P_A(B) = P(A∩B)/P(A) en vérifiant P(A)>0.
2. Savoir utiliser les notations A̅ et B̅ pour exprimer des probabilités conditionnelles d’événements contraires.
3. Savoir appliquer P(Ā)=1-P(A) et P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
4. Savoir identifier des événements incompatibles et en déduire P(A∪B)=P(A)+P(B).
5. Savoir utiliser la condition d’indépendance P(A∩B)=P(A)P(B) et l’équivalence avec P_B(A)=P(A).
6. Savoir écrire la loi binomiale P(X=k)=(n choose k)p^k(1-p)^(n-k) et donner E(X)=np et V(X)=np(1-p).
7. Savoir déterminer le domaine D_f en excluant division par 0, racine d’un négatif et logarithme ≤0.
8. Savoir lire sur une courbe : image f(a) comme ordonnée et antécédents de b comme abscisses d’intersections avec y=b.
9. Savoir traiter une fonction du second degré : calculer Δ=b²-4ac, déduire le nombre de racines, puis α=-b/(2a) et β=f(α).
10. Savoir écrire l’équation de la tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a).
11. Savoir appliquer correctement les règles de dérivation : somme, produit, quotient, et des dérivées usuelles comme (1/x)' et (√x)'.
12. Savoir classifier les suites : arithmétique (u_(n+1)=u_n+r), géométrique (u_(n+1)=q u_n) et utiliser les formules de terme général correspondantes.
13. Savoir utiliser les propriétés trigonométriques fournies : période 2π et parités cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x).